基于本原性问题发展数学核心素养的实践与思考——以苏科版七上《6.1线段 射线 直线》教学为例

钱建芬

(苏州市吴江实验初中 215200)

数学核心素养是人们通过数学的学习建立起来的，认识、理解和处理周围事物时所具备的能力和品格.史宁中教授将其概括为“会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型”，抽象、推理和模型就是数学的基本思想.

“本原性数学问题”是指在数学教学中，将某个数学问题的“要素”或“基本构成”作为思考的第一问题，即考虑对学生而言，什么是某个数学问题最为本质的、基本的要素或构成.因此本原性数学问题的产生主要有两个来源，一是教师在备课过程中精心设计的反映该数学主题实质的问题；二是在课堂教学活动过程中由学生所提出的涉及该数学主题实质的关键问题.前者要求教师善于发现实质性的数学问题，并创设机会让学生触及和逐步理解；后者意味着教师在充满不确定性的课堂里发现本原性数学问题，及时抓住学生的那些反映数学思想实质的朴素想法并加以发展.由此不难得出，本原性数学问题具有自然生成、预设下的原发性和多角度对话的品性等特征.

基于本原性问题的数学课堂，始于问题，源于本原，数学思想方法始终渗透其中.这样的课堂教学，始终以经历思考过程来发展学生数学核心素养，让本原性问题进入学生认知场域，促进其积极思考，进而形成自己的认识或解答，因为本原性问题的产生是基于学生的思维认知与生长，所以发展学生的数学核心素养是教学活动的最终目的.显然，基于本原问题的教学是发展数学核心素养的教学.

本文以苏科版七上《6.1线段 射线 直线》一课为例，分享基于本原性问题，发展数学核心素养的实践与思考.

1 教学实录与分析

1.1 回归本原经验，回忆旧识

师：今天我们来共同学习《6.1线段 射线 直线》，对于这个课题，大家一定不陌生吧？

众生：小学学过.

师：那么请大家回忆，看看我们还记得哪些内容？

生1：线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有，直线是无限延长的，射线也是朝一边延长，但是线段不能延长.(师板书“延长”两字)

设计思路《义务教育数学课程标准(2011年版)》中，对小学四年级学习线段射线直线提出的教学要求为：1.结合实例了解线段、射线和直线；2.体会两点间所有连线中线段最短，知道两点间的距离.本节课是在小学已经初步认识线段、射线、直线的基础上，进一步研究这些基本图形的一节课，所以既不能上成一节完全没有经验的新授课，又不能上成一节完全的综合复习课或是习题课，设置的问题回归学生的认知经验，让新知生长在学生已有的旧知土壤上.

1.2 还原认知过程，整理碎片

师:(板书“延伸”两字)看来大家对直线的“无限长”印象很深，不过我们把直线无限长的特性说成是延伸性，是直线所固有的特性，叫做直线向两方无限延伸，射线向一方无限延伸，而不说成直线无限延长，也就是说延伸更多地是指事物本有的属性，比如一条路若理解为无限长，我们说这条路一直往前延伸；但延长则不同，这是一个动词，通常指把本身没有延伸性的事物变得长一些，就使用延长，如延长线段，或反向延长射线，延长考试时间等.那么我们该怎么修改刚刚生1的话呢？

生2：线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有，直线向两方无限延伸，射线向一方延伸，但是线段没有延伸性.

师：请在学案上分别画一条线段、射线、直线.

众生：(每个人都感觉这个很简单，画出的线段的端点不规范.师对点的画法和表示方法做示范和要求，为下面直线、线段、射线的表示方法做铺垫.)

师：试一试，写出线段、射线、直线的区别与联系，可以用列表格的方法，从端点数、延伸性、能否度量等方面进行比较，比比看，谁写的最完整，最全面.

众生：(基本上能够写出线段、射线、直线在端点数上的区别，知道线段可以度量，而射线和直线不能度量，也知道他们延伸性的不同.画出的表格相去甚远，各式各样.)

对照表格讲解自己的理解，教师做纠正和要求.

设计思路学生已经具备了有关线段、射线、直线的经验和认识，这是学生在小学学习的过程中所积累的经验，也是本节课学习的基础，但是有些已经遗忘或是沉睡在记忆的深处，因而模糊甚至错误，需要激活、纠正和整理，为下面探究学习过程做好准备,这是一个还原已有认知的过程. 这种过程，体现知识的螺旋式上升——基于小学的学习，又在此基础上有进一步的要求.回忆旧识是回归本原，整理碎片是还原、是回忆旧知的必经之路.

1.3 基于本原问题，建构框架

师：我站在这里，请和我在一条直线上的同学站起来.(间断地，有一些同学站了起来，直至后来所有的同学都站了起来)，问最后一个站起来的同学：为什么大家都站起来了呢？

生4：因为每一个同学都和您在一条直线上.

师：这说明了什么？

生4：过一点可以画无数条直线.

师：说说你的想法.

生4：把老师您看成一个点，过这个点可以画无数条直线，所以每个同学都在其中的某一条直线上.

师：(在黑板上画出一点A)，这点代表老师，过这点A可以画无数条直线，每个同学是一个点，每个点总在其中的一条线上，所以每个同学都和老师在一条线上.(板书：过一点可以画无数条直线.然后再给出另外一点B)经过两点A和B，能画出几条直线呢？

生5：能画出一条直线，并且只能画出一条直线.

师：(板书：有且只有：确定)我们把这 “有且只有”简述成“确定”，得出：两点确定一条直线(并板书).

师：那么经过三个点中的两点可以画几条直线呢？

生6：一条！

师：为什么呢？

生6：(指着黑板上的图说)比如再加点C，点C在直线AB上.

生7：要是点C不在直线AB上呢？这时同时经过这三点就不能画直线了.要是只经过其中的两点就可以画三条直线了.所以要分类.

师：数学学习中，很多地方都要使用分类的方法. 因此，解答经过三个点可以画几条直线这个问题就不能以一概全，而是需要将三点的位置进行分类.若是四个点呢？五个点呢？n个点呢？

生8：都是一样的，需要分类.

师：对！这就是类比，学会了一种方法，就类比到同类问题中，用这种方法解决其他同类问题.

师：在A,B两点间可以画出多少条线？哪一条线最短？

生9：在A,B两点间可以画无数条线，其中A,B两点间线段最短.

师：你是怎么判断的？

生9：可以度量.

师：度量各种线的长度后，发现线段的长度最小，我们把两点间线段的长度称为两点间的距离(板书). 我们把这两个大家公认为正确的结论叫做基本事实：1.两点确定一条直线.2.两点之间线段最短.在初中阶段，我们还要学习其他的基本事实.

请在学案上写出你总结出的结论.

生：(1)过一点可以画无数条直线;

(2)两点确定一条直线;

(3)两点之间线段最短;

(4)两点间线段的长度称为两点间距离.

师：请用数学符号表示出上面画出的直线.

生10：表示为AB!

师：说说你的想法.

生10：我们刚刚学过基本事实：两点确定一条直线，所以可以用直线上的任意两点来表示一条直线.

师：很好！在说明问题时，我们一定要学会有依据地说明问题. 但是只说成是AB，行不行？

生11：还应该加上直线两个字，应该写成直线AB.当然还可以写成直线BA.

师：为什么也可以写成直线BA呢？

生11：因为直线不考虑它的方向.

师：你也学会了有依据地说明问题.

师：当然直线还有一种表示方法，就是用一个小写字母表示，写成直线a或直线l.

师：怎样表示线段呢？

生12：我认为是线段AB或线段BA,以及线段a.

师：你是怎么考虑这个问题的呢？

生12：我是根据直线的表示方法来考虑的.

师：你这是用类比的思想方法来认识问题，类比是解决问题非常有效的思维方式.

师：如何表示射线呢？

生13：我认为是射线AB或射线BA,以及射线a.

师：由于射线是有方向的，所以只能用两个大写字母表示，通常把射线端点的字母写在前面，如射线AB，要注意射线AB和射线BA不是一条射线.

设计思路本课是初中阶段系统研究几何图形的第一课，从本节开始出现的几何图形的画法、表示方法、几何语言等是今后学习必须的知识基础，对于学生来说是陌生的，而本课所蕴涵的数学思想方法(如类比、分类等)，也将始终伴随学生的学习过程，使其受益终生.但因为七年级学生的思维往往还停留在对具体事物的直观理解上，知识储备和生活经验都略显不足，所以这一环节的设计，从本原问题出发，将数学概念和基本事实进行联系和拓展，对于学生完全陌生的几何用语(如确定、延长和延伸等)就直接讲授，对于可以由学生探索生成的(如三种图形的表示方法等)，则坚持给予充分的时间让其思考总结、体验感悟，培养学生用数学的思维思考，用数学的语言表达，发展其数学核心素养.

1.4 连接本原问题，完善系统

师：根据学习目标要求，总结本节课内容，自我小结，将你在本节课学到的内容写下来.

生：(独立思考，写出总结交流互补.)

练习：1.按照要求画图：(1)画直线l，在直线l上画点M，在直线l外分别画点N、P；

(2)画线段MN，画射线MP；

(3)在线段MN上任取一点D，在线段MN上有几条线段，请写出来；

(4)延长线段MN，延长线段NM，在直线MN上有几条射线？请写出来.

2.(课外思考题)：往返于南京和上海两地的城际高铁，中途须停靠常州、无锡、苏州三站(若所有两个城市间距离都不同，票价根据距离制定)根据你所学回答：需要制定多少种不同的票价？多少种不同的车票？

设计思路知识不能仅仅局限于一节课，只要是相关的内容都可一并归纳，即对知识系统进行重组.同时，对于重新组建的知识系统要审视、甄别、检验，以便知识的迁移和应用，即知识反思，这两个过程才能算作是知识重建.知识重建应该是把新知识的学习纳入原有的知识体系，这无疑需要连接相关的本原问题，才能真正做到通过现象直达事物的本质，使知识的学习不再是孤立的、零散的，而是系统的、完善的，在此过程中，学生独立小结，自觉抽象，而后做必要的迁移与应用，数学核心素养的种子才能萌芽生长.

2 回顾与反思

(1) 努力营造课堂教学的原生态，使课堂回归本真，在经历数学概念的形成过程中，让数学核心素养生根.

数学概念是从生活中抽象出来的，它更深刻地反映了事物的共同特征和本质属性，可说是浓缩了的知识点.为使学生更好地理解概念，就应将它的形成过程重新“还原”，遵循“从具体上升到抽象、再由抽象回归具体”的认知规律，着力把概念的形成过程和运用过程生动地展现开来.需要教师以本原性问题做引领，营造课堂教学的原生态，使课堂回归本真.比如在引导学生学习“经过一点可以画无数条直线”的概念教学中，通过创设“老师站在这里，请和我在一条直线上的同学站起来”这一情境，抓住“经过一点画直线”这一数学事实的“要素”或“基本构成”作为思考的第一问题，引导学生抽象加工、巩固深化，参与并体验数学概念孕育、发展的全过程，从而对所学概念能够正确理解，并会灵活运用.培养学生抽象思维，使数学核心素养的种子生根.

基于本原性问题的课堂形态应该是本真的、自然的、和谐的.具体而言，一是本原的教学问题.即教学问题的选择、设计与呈现，应以某个数学问题的“要素”或“基本构成”作为思考的第一问题，应该从学生的实际出发，与他们的真实需求相吻合，和他们的实际水平相匹配，而不能只凭教师的才能或特长来“量身定制”；二是自然的教学过程.无论是教学流程的设计，还是教学活动的开展，都必须符合学生的学习规律和心理特点，教师不应包办代替，更不能揠苗助长；三是和谐的教学氛围.课堂上要力求建立一种良好的“情绪场”，使整个教学过程弥散着一种和谐融洽、振奋饱满的气氛.

(2) 甘做学生思想的助产婆，使思维还原稚化，在学生参与数学学习的设计过程中，让数学核心素养发芽

在数学课堂教学中，并存着三种思维活动，即数学家的思维活动、教师的思维活动以及学生的思维活动.教学中应将三种思维过程尽量开放，使它们水乳交融、相映成辉，形成一个和谐互补的有机整体，从而有效地促进学生的思维发展.第一，要揭示数学家的思维过程.教师要拨开教材严谨、神秘的面纱，把蕴含在字里行间的科学家的思维结晶开发出来，让学生循着前人的思维历程去亲身体验，使他们不仅从中获取知识，更能受到数学思维的熏陶.第二，要展现教师的思维过程.教师要敢于并善于把自己原始的思维过程充分展现在学生面前，让他们去评价、思索，从而达到启迪学生思维的目的.第三，要暴露学生的思维过程，通过上课、提问、练习等方式，使学生的思维活动轨迹自发地暴露出来，学生迸发出可贵的思维火花，这是本原性问题产生与发展的源泉，是课堂教学的亮点所在.

在上述三种思维活动中，教师的思维活动起着承上启下的作用，因而是关键.常见有的教师对教学内容烂熟于心，讲起课来行云流水，但教学效果却不尽人意.究其原因，是因为他居高临下，难以深入浅出.教师的思维说到底是为学生的思维服务的，两者不能脱节，为此，教师应有意识地将自己的思维还原稚化.所谓“还原”，就是把教师的思维过程充分地展现出来；所谓“稚化”，就是让教师的思维回到学生思维的原始水平上去，从本原问题出发，使师生的思维活动能够做到起点同步，发展同频，最终达成思维共振的最佳状态.比如本节课中引导学生对线段射线和直线的表示方法的探索过程，教师不是将表示方法简单告知，而是将思维还原，把三种图形表示方法的思维过程充分展示，回到学生思维的原始水平上去，寻找表示方法的依据，将他们推到一种“心求通而未得，口欲言而不能”的愤悱状态，然后再予以点拨开导，让学生得出所有的表示方法并内化.

引导学生思维的最好的办法，就是教师做“学生思想的助产婆”. 引导学生去追溯数学家思考、研究的源头，从本原性问题出发，领略他们精巧的设计、独到的方法或深刻的分析，从中汲取数学思想的营养，让数学核心素养的种子发芽.

(3) 拓展学生思维的跑马场，使教学留有余地，在学生探寻数学概念的发现过程中，让数学核心素养生长

数学的结论，反映的是数学概念之间的联系，所以，课堂教学不应急于把这些前人获得的结论直接端给学生，而应给学生留有足够的思维时空，经历必要的探寻数学概念的发现过程，即在教师的指导下，让学生去揭示并感受数学结论发生的原因、形成的经过、以及发展的方向，使他们在获取数学知识的同时，还能从中汲取前人的智慧，领悟思想方法，陶冶科学精神，让数学核心素养生长.

比如本节课学生所 经历的从“两点确定一条直线”“经过平面上三点中的两点可以画几条直线”“经过平面上若干个点中的两点可以画几条直线”的过程，一直是在本原性问题的导引下， 学生自己感受数学结论发生的原因、形成的经过、以及发展的方向，在这个过程中，学生学会类比、抽象，数学概念教学的成效深深地影响了学生数学后续学习能力.

综上，数学概念的课堂教学一定要注重概念的本质挖掘，要让学生在数学概念学习中充分体验概念的形成过程，理解概念的本质属性，从而形成一种形式化的概念表达；数学概念学习的过程应该是问题驱动的过程，而且应该是涉及概念本质的数学本原性问题驱动学习的过程；教师在数学概念课堂教学的各个环节中，要为学生提供充分的数学本原性问题，并能在教学过程中把握、发展学生提出的数学本原性问题，才能真正实现数学本原性问题的教学价值，达到发展学生核心素养的目的.