水驱曲线的进一步理论探讨及童氏图版的改进*

张金庆

(1.海洋石油高效开发国家重点实验室 北京 100028； 2.中海油研究总院有限责任公司 北京 100028)

随着勘探开发的不断深入，投入开发的油田类型也越来越多，同时越来越多的已开发油田进入高含水阶段或特高含水阶段，实施提液或产液结构优化调整等挖潜措施越发频繁，水驱曲线法、童氏图版法及Arps递减曲线等常用方法在应用过程中暴露出来的问题也越加明显。甲型水驱曲线是根据相渗曲线的比值为指数函数推导出来的，存在高含水期出现上翘的问题[1]。童氏图版法的基础有两个，一个是甲型水驱曲线，另一个是水驱储量和甲型水驱曲线的斜率之积为7.5[2]。然而，甲型水驱曲线高含水后期存在上翘现象，童氏图版通常只能预测到含水为98%时的采收率，且常数7.5仅是部分油田统计出来的一个近似数，很多油田偏离此值，特别是低渗透油田远大于此值。若实际值大于7.5，那么由童氏图版确定的采收率就偏大，反之预测值偏小。Arps递减曲线通常是通过定压条件推导出来的[3]，当然在定液条件下也适用[4]，但大多数油田的生产制度是变化的，因此用Arps递减曲线预测精度往往不够理想。

很多学者针对上述常用方法存在的问题进行了研究[5-16]。笔者基于相渗曲线的幂函数表达式将Welge微分方程转化为线性方程，并提出了Welge系数的概念[17]。本文进一步将前缘含水饱和度微分方程转化为线性方程，给出Welge系数w的计算方法，改进了童氏图版,并提出了新的近似理论水驱曲线和理论水驱曲线。改进后的童氏图版及新型水驱曲线理论基础更加扎实，适用范围更广，预测精度更高。

1 甲型水驱曲线的推导及童氏图版的改进

1.1 甲型水驱曲线的推导

油水两相相对渗透率可以用如下幂函数表示[18-19]：

(1)

Kro=Kro(Swi)(1-Swd)no

(2)

其中

(3)

分流量方程可以表示为[18-19]

(4)

将式(1)和式(2)代入式(4),可得

(5)

其中

根据式(5)可以得到水油比的公式为

(6)

相渗曲线比值可以表示为如下指数函数[19]：

(7)

将式(7)代入式(4)，可得水油比的公式为

(8)

其中

笔者从理论上解决了平均含水饱和度与出口端含水饱和度的相关关系，即改进的Welge线性方程[17]，并引入了Welge方程系数w。

-w)(1-Sor)

(9)

由文献[20]可知

(10)

根据式(9)和式(10)可得

(11)

根据式(3)可得

Swe=Swd(1-Swi-Sor)+Swi

(12)

将式(12)代入式(11)，可得

(13)

其中

将式(13)代入式(8),可得

(14)

对式(14)两边积分，整理后可得甲型水驱曲线

ln(Wp+C)=A+BNp

(15)

其中

(16)

当累积产水量足够大时，C值可以忽略，式(15)可以简化为

lnWp=A1+B1Np

(17)

1.2 童氏图版的改进及童氏图版系数的计算公式

式(15)两边对累积产油量求导，整理后可得

(18)

令含水率为98%时的累积产油量为Np98，则3.89=lnB+A+BNp98

(19)

式(18)和式(19)相减并结合式(16)可得

(20)

根据文献[13]，可得

b=2(nw+no)

(21)

将式(21)代入式(20)，可得

-ER) (22)

其中

式(22)可表示为常用对数公式，即

-ER)

(23)

其中

式(23)就是改进后的童氏图版模型。CT为童氏图版系数，其值与水相指数和油相指数之和成正比，与Welge系数驱油效率之积成反比。

1.3 Welge系数的计算公式

根据文献[18],前缘含水饱和度方程为

-Swi)

也可以用标准化的含水饱和度表示为

(24)

其中

(25)

根据式(5)可得水驱前缘处含水率为

(26)

将式(26)代入式(24)，可得

(27)

再结合式(26)及式(27)，可得

(28)

由此可见，水驱前缘处液油产量比与标准化的水油饱和度比呈线性关系，其斜率为油相指数，截距为水相指数。

由文献[17]可得

也可以用标准化的含水饱和度表示为

(29)

由式(28)可得

(30)

根据式(29)和式(30)可得

(31)

根据式(31)可得

(32)

由式(26)可得

(33)

将式(30)代入式(33)，可得

(34)

再将式(32)代入式(34)，可得

M=

(35)

已知水油流度比和水相指数及油相指数，就可以通过式(35)计算出Welge系数w。

2 理论水驱曲线的提出及与Arps递减曲线的关系

2.1 理论水驱曲线的推导

笔者曾探讨理论水驱曲线与Arps递减曲线的关系[4]，本文进一步探讨其内在关系。

Welge微分方程可以表示为[19]

(36)

由式(9)和式(36)可得

初始条件为：Swe=Swf；fw=fwf。

将式(37)积分后可得

(38)

将式(13)代入式(12),可得

-Swi-Sor)+Swi

(39)

将式(39)代入式(38),整理后可得

(40)

式(40)可以改写为

(41)

初始条件为：Np=Npbt，Lp=Lpbt。

式(41)分离变量并积分后可得

(42)

将式(25)代入式(29),可得

(43)

将式(43)代入式(42),可得

(44)

记

(45)

则式(44)可以改写为

(46)

将式(43)代入式(45)，可得

(47)

根据式(45)，式(47)可以改写为

(48)

2.2 递减率的定义

定义单位液量的产量变化率即递减率为

(49)

由式(49)可得

水驱前缘突破时的递减率为

(50)

将式(24)和式(13)代入式(50)，可得

(51)

将式(25)和式(43)代入式(51)可得式(47)，可见式(46)中Dlbt实际上就是水驱前缘突破时的递减率，w为递减指数。式(46)在形式上与Arps递减曲线完全一致。由于Arps递减曲线仅在定压或定液条件下适用，而理论水驱曲线适用范围更广，因此对水驱油田而言，理论水驱曲线可以代替Arps递减曲线。

理论水驱曲线克服了Arps递减曲线存在的一些问题，但理论水驱曲线仍存在不足，比如水驱前缘突破前并不适用，参数求解也有难度。为了解决理论水驱曲线的问题，提出了近似理论水驱曲线。由近似理论水驱曲线求出可动油储量后，就可解决理论水驱曲线参数求解难的问题。

3 近似理论水驱曲线的提出及参数解法

3.1 近似理论水驱曲线的推导

基于水油比的公式即式(6)可得

(52)

将式(13)代入式(52)，可得

初始条件为：Swd=0；Wp=0。积分后可得

在通常情况下，无法得到被积函数的原函数，但是加上一项高阶小项后得到[13]

Wp≈

积分可得

(53)

其中

将式(13)代入式(53)，可得近似理论水驱曲线

(54)

其中

(55)

Np0=(1-w)NR

(56)

3.2 近似理论水驱曲线参数的解法

式(54)可以改写为

(57)

两边对累积产油量求导并整理后可得

(58)

式(18)可以改写为

(59)

这里B2=B。

根据式(59)可得

(60)

由式(16)和式(21)可得

2(nw+no)=B2wNR

(61)

由式(17)可得

Wp=eA1+B1Np

(62)

对比式(53)、式(62)和式(6)、式(60)，由式(61)可得

(63)

令

(64)

将式(56)、式(60)、式(62)、式(63)和式(64)代入式(58)，可得

(65)

由式(56)可得

NRp0=(2-w)NR

(66)

将式(43)代入式(66)，可得

进而可得可动油储量计算公式为

NR=(2fwfNpbt+NRp0-Npbt)/2+

(67)

根据式(65)可得

Np0=NRp0-NR

(68)

由式(57)可得

-Np)=

待定q值，选取合适的线性段可以回归得到p/q和A值，直至计算的累积产油量和实际的累积产油量之差的平方和最小,这样可以求出近似理论水驱曲线的各项参数。

3.3 水驱前缘突破时的累积产油量和含水率的近似计算

水驱前缘突破时应该满足如下条件[13]

(69)

由式(18)可得

(70)

将式(70)代入式(69)，可得[13]

(71)

将式(71)代入式(70)，可得水驱前缘突破时的含水率为

(72)

4 可动用储量预测应用实例

以文献[21]中大庆油田小井距注水试验数据为例(表1)。根据表1的数据，可以绘制出累积产水量对数值与累积产油量的关系图(图1)，可见甲型水驱曲线已经出现线性段。

表1 大庆油田小井距注水试验数据Table 1 Injecting test data under small well spacing in Daqing oilfield

图1 实际累积产水量对数值与累积产油量关系图Fig.1 Relationship between logarithm of cumulative water production and cumulative oil production

为了求出累积产水量和水油比表示的甲型曲线的系数A1、B1和A2、B2，可以根据式(15)待定C值，使选定的线性段的数据点计算的累积产水量和实际累积产水量的平方和最小(图2)。回归方程为

ln(Wp+601.5)=3.541 3+0.001 029Np

(73)

即

A=3.541 3

B=0.001 029

C=601.5

图2 待定C值求取ln(Wp+C)甲型水驱曲线Fig.2 Calculating method of type A water drive curve with C constant undetermined

根据式(73)可以计算出累积产水量的值，根据计算的累积产水量，可以回归出甲型水驱曲线(图3)。

lnWp=2.797 7+0.001 146Np

(74)

即

A1=2.797 7

B1=0.001 146

图3 甲型水驱曲线回归计算Fig.3 Regression calculating method of type A water drive curve

由式(73)可得

即

A2=-3.338 2

B2=0.001 029

将A1、B1、A2、B2的值代入式(65),可得

将A、B的值代入式(71),可得

将式(72)及NRP0、Npbt的值代入式(67)，可得可动油储量的值NR=9 341.38 t。再通过式(68)可以计算出无水采油量Np0=1 546.51 t。

5 结论

1) 基于Welge线性方程，改进了童氏图版，并给出了童氏图版系数的计算公式，其值与水相指数和油相指数之和成正比，与Welge系数,驱油效率之积成反比。

2) 基于相渗曲线幂函数表示法，将前缘含水饱和度的微分方程转化为线性方程。水驱前缘处液油比和标准化的水油饱和度比呈线性关系，其截距为水相指数，斜率为油相指数；进一步推导出Welge系数和水油流度比、水相指数及油相指数的相关关系式。

3) 结合Welge微分方程和线性方程，推导出理论水驱曲线，引入了水驱前缘突破时的递减率概念。水驱前缘突破时的递减率的值与Welge系数和水驱前缘突破时的累积产油量之积的倒数成正比。

4) 理论水驱曲线与Arps递减曲线的形式完全一致，Welge系数类似于Arps递减曲线的递减指数。在定压和定液生产条件下，产量变化符合Arps递减规律。生产制度影响Arps递减指数，定压生产条件下递减指数为n，其值仅与油相指数有关；定液生产条件下Arps递减指数为w,其值不仅与油相指数有关，还与水相指数、水油流度比有关。在其他生产条件下，Arps递减曲线并不适用，但理论水驱曲线在任何生产制度下均适用，适用范围更宽。

5) 理论水驱曲线和Arps递减曲线一样，不适用于水驱前缘突破之前。为了解决这一缺陷，基于相渗曲线幂函数表示法，提出了近似理论水驱曲线，并结合甲型水驱曲线的特征，给出了近似理论水驱曲线参数的解法。

6) 用甲型水驱曲线确定水驱前缘突破时的累积产油量和含水率，有时误差较大，进而影响可动油储量及其他参数的预测精度。因此，如何准确确定水驱前缘突破时的累积产油量和含水率的值还有待进一步研究；同时水驱曲线推导过程中忽略了重力和毛管力的影响，其对预测精度的影响还需进一步探讨。

符号注释