关于分离参数法在解决函数方程实根问题的研究

摘 要：分离参数法：众所周知，就是求谁的参数就把谁分离出来研究，我们知道这是在解决不等式问题时常用的方法。但是，其实利用它的原理，我们可以把它用来解决函数方程的实根问题。

关键词：分离参数法；不等式问题；函数方程

一、 应用举例

让我们看一看以下例题：

例1 （2017年山东省实验中学月考）是否存在实数m，使函数f（x）=x2-（m-1）x，f2m在区间[0，1]上有且只有一个零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。

解析：对于这类问题，一般解法：

（1） 当方程x2-（m-1）x+2m=0在[0，1]上有两个相等实根时，则

（2） 当方程x2-（m-1）x+2m=0有两个不等实根时

（a）有且只有一根在（0，1）上时，有f（0）f（1）<0即2m（m+2）<0，所以

m<0m+2>0或m>0m+2>0解得-2

（b）当f（0）=0时，m=0，令f（x）=x2+x=0，解得x1=0，x2=-1符合题意。

（c）当f（1）=0时，吗，令f（x）=x2+3x-4=0，解得x1=1，x2=-4，符合题意。

综上所述，实数m的取值范围为[-2，0]。注：求解本题不仅应注意到函数的零点应用f（1）*f（0）<0，而且也应该注意问题其他形式：（1）在[0，1]上有二重根；（2）端点函数值可能为0.。因此，我们由上述过程，不难看出：讨论很复杂。尽管思路清晰，但仍避免不了大量的分类讨论，易出错。

让我们看一下如下巧解：

解：令f（x）=0得：x2-（m-1）x+2m=0

所以m=x2+xx-2

设y=x2+xx-2所以yx'=（x2+x）′（x-2）-（x2+x）（x-2）′（x-2）2

=（x-2）2-6（x-2）2

因為x∈[0，1]

∴1≤（x-2）2≤4

∴-5≤（x-2）2-6≤-2

即（x-2）2-6<0

∴（x-2）2-6（x-2）2<0

∴y2x<0

故函数y=x2+xx-2在

[0，1]上单调递减，

∴当x=0时，ymax=0

当x=1时，ymin=12+11-2=-2

∴y∈[-2，0]

即此时，m∈[-2，0]

我们不难从上例题看出，此做法十分简单，不管它如何，我们只把参数分离开，用x表示参数。因为题目已给出了x的取值，再利用单调性及函数相关知识即可求出。

我们再来看一道例题：

例2 已知方程x2+3ax+4=0，在（1，2）有实根，求a的取值？

解析：方程在一个区间内有实根，我们知道可转化成其对应的方程的函数f（x）在这个区间有零点，这也就转化成零点问题。但是零点问题，由上我们已得出可以利用分离参数函数来解决，所以解题如下：

解：∵x2+3ax+4=0，x∈（1，2）

∴-3a=x2+4x=x+4x

设y=x+4x，∴yx′=1-4x2

∵x∈（1，2）

∴1

∴12<1x2<1

∴2<4x2<4

∴4x2>1

∴1-4x2<0

即yx′<0，故函数y=x+4x在区间[1，2]上单调递减

∴当x=1时，ymax=1+41=5

当x=2时，ymin=2+42=4

故函数y=x+4x在区间（1，2）上值为（4，5）

∴y∈（4，5）即-3a∈（4，5）

故a∈（-53，-43）

二、 总结

其实，对于普遍的一个零点问题，方程实根问题，都可以利用分离参数法来思考。因为题目已给出了实根、有零点，势必分离出来的参数所对应的关于x的方程在一个区间上是恒成立的。它的最后解集是将所有取值并起来。因为并集本身是取值范围更大的子集，而分离参数法则省去了中间求解，参数取值集合子集的步骤，直接求出大的集合。即不论用x表示出的方程所对应的函数单调性如何，只要利用单调性求出值点，进而推出最值点，便得取值范围。

参考文献：

[1]张文鹏.初等数论[M].陕西师范大学出版社，2007.

[2]李文林主编.王元论哥德巴赫猜想[M].山东教育出版社，1999.

[3]潘承洞，潘承彪著.初等数论[M].北京大学出版社，1992.

[4]潘承洞，潘承彪著.解析数论基础[M].科学出版社，1991.

作者简介：

刘书岳，广东省潮州市，饶平县第二中学。