双曲线的中点弦什么时候存在

摘 要：对于中点弦问题同学们习惯用“点差法”解决，首先回忆一下点差法的步骤：1. 设点，设出弦的两端点坐标；2. 代入，代入圆锥曲线方程；3. 作差，两式相减，再用平方差公式展开；4. 整理，转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解。

关键词：双曲线；方程；中点弦

一、 问题提出

问题1 已知双曲线的方程为x2-y22=1，问是否存在被点P（1，2）平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，说明理由。

解：假设存在被点P平分的弦AB，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则有：x21-y212=1，x22-y222=1，两式相减，得：

（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）2=0

因为P（1，2）为AB中点，从而x1+x2=2，y1+y2=4，

所以kAB=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=1，

故所求直线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0。

至此，我们利用“点差法”解决了双曲线的中点弦问题，为了验证所求的直线x-y+1=0是否是满足条件的直线，我们将该直线方程和已知双曲线方程联立成方程组

x2-y22=1x-y+1=0，消去y后得到一元二次方程x2-2x-3=0，Δ=（-2）2-4×（-3）=16>0，

说明所求直线的确和双曲线有两个交点，同时，用几何画板作出已知的双曲线x2-y22=1和所求出的直线x-y+1=0的图像（图1），可以看到，所求直线就是满足条件的直线。

图1

问题2 已知双曲线的方程为x2-y22=1，问是否存在被点Q（1，1）平分的弦？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在，说明理由。

解：假设存在被点Q平分的弦AB，设A（x1，y1），B（x2，y2），

则有：x21-y212=1，x22-y222=1，两式相减，得：

（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）2=0

因为Q（1，1）为AB中点，从而x1+x2=2，y1+y2=2，

所以kAB=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=2，

故所求直线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0。

同样，我们将该直线方程和已知双曲线方程联立成方程组x2-y22=12x-y-1=0，消去y后得到一元二次方程2x2-4x+3=0，Δ=（-4）2-4·2·3=-8<0，说明所求直线和双曲线没有交点，满足条件的中点弦不存在。用几何画板作出已知的双曲线x2-y22=1和所求出的直线2x-y-1=0的图像（图2），可以看到，所求直线不满足题目要求。

图2

二、 规律探究

通过以上两个问题可以看出，双曲线的中点弦可能存在也可能不存在，为了探求规律，研究以已知点为中点的弦是否存在，我们作一个推导。

首先不妨把双曲线所在的平面区域分成以下几个部分：

在双曲线x2a2-y2b2=1所在的平面内任意一点P（m，n），我们可以得到（图3）：

图3

①当点P（m，n）在渐近线上时，m2a2-n2b2=0；

②当点P（m，n）在双曲线上时，m2a2-n2b2=1；

③当点P（m，n）在双曲线左右（A、B区）时，m2a2-n2b2>1；

④當点P（m，n）在渐近线上下（C、D区）时，m2a2-n2b2<0；

⑤当点P（m，n）在渐近线和双曲线之间（E、F区）时，0

接下来，已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1，求被点P（m，n）（mn≠0）平分的弦所在的直线方程。假设所求的中点弦存在，重复点差法的步骤：

设弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），

则有：x21a2-y21b2=1，x22a2-y22b2=1，两式相减，得：

（x1+x2）（x1-x2）a2-（y1+y2）（y1-y2）b2=0

因为P（m，n）为AB中点，从而x1+x2=2m，y1+y2=2n，

所以kAB=y1-y2x1-x2=x1+x2y1+y2·b2a2=mb2na2，

联立直线和双曲线方程y-n=k（x-m）x2a2-y2b2=1消去y得到：

（b2-a2k2）x2+2ka2（km-n）x-[a2（km-n）2+a2b2]=0

当b2-a2k2≠0时，把k=mb2na2代入得Δ=4a2b6n2m2a2-n2b2m2a2-n2b2-1

按照上述P（m，n）所在区域进行讨论（图3）：

①当点P（m，n）在渐近线上时，m2a2-n2b2=0，得Δ=0，所求直线与双曲线只有一个交点，故以P（m，n）为中点的弦不存在；

②当点P（m，n）在双曲线上时，m2a2-n2b2=1，得Δ=0，所求直线与双曲线只有一个交点，故以P（m，n）为中点的弦不存在；

③当点P（m，n）在双曲线左右（A、B区）时，m2a2-n2b2>1，得Δ>0，所求直线与双曲线有两个交点，故以P（m，n）为中点的弦存在；

④当点P（m，n）在渐近线上下（C、D区）时，m2a2-n2b2<0，得Δ>0，所求直线与双曲线有两个交点，故以P（m，n）为中点的弦存在；

⑤当点P（m，n）在渐近线和双曲线之间（E、F区）时，0

三、 规律总结

（图3）当点P（m，n）在渐近线或双曲线上，或在E、F区域，中点弦不存在；

当点P（m，n）在A、B、C、D区域，中点弦存在。

对于焦点在y轴上的双曲线，同样可以得到（图4）：

图4

当点P（m，n）在渐近线或双曲线上，或在E、F区域，中点弦不存在；

当点P（m，n）在A、B、C、D区域，中点弦存在。

参考文献：

[1]贾周辉.例谈双曲线的中点弦问题的解法[N].数学通报，2016.

作者简介：

杨昕雯，广东省惠州市，广东省惠州市仲恺中学。