例谈数列中的创新题

2019-02-15 08:27:28何文清

何文清

(河北省唐山市第二中学 063000)

数列的创新题在各类考试中都有出现，下面是我在学习过程中归纳的几种创新题型，供同学们参考.

一、类比推理题型

(1)请你证明上述命题；

(2)请你就数列{an}、{bn}是两个各项均为正的等比数列，类比上述结论，提出正确的猜想，并加以证明．

分析(1)直接利用等差数列的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq及等差数列的前n项和公式即可得到证明；

(2)等比数列通常与等差数列类比，加法类比为乘法，平面中的面积类比为体积，算术平均数类比为几何平均数，本题是一个加法类比为乘法，算术平均数类比为几何平均数．

点评在解题过程中，寻找解题的突破口，往往离不开类比联想，我们在解题中，要进一步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径，来提高类比推理的能力，培养探究创新精神．

双数列问题主要考查等差数列、等比数列的基本概念、公式以及递推数列等，求解这类问题的基本策略是重点加强数列基本方法的训练，将复杂问题转化为常规的等差、等比数列问题求解.

例2 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)令bn=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

由题意得q>1，∴q=2.∴a1=1.

故数列{an}的通项为an=2n-1.

(2)由于bn=lna3n+1，n=1，2，…，由(1)得a3n+1=23n

∴bn=ln23n=3nln2.又bn+1-bn=3ln2,∴{bn}是等差数列.

点评双数列问题在高考中常考查数列通项an、前n项和Sn以及求某特定项的基本求法，一般属于中低档题，求解这类问题的关键是理清各数列基本特征量以及明确两个数列间的关系.

数表(阵)问题频繁地出现在高考试题中.它从能力上立意，追求创新意识，不仅考查学生的信息收集和加工能力，而且考查学生的探索能力.

例3 将各项均为正数的数列{an}排成如图所示的三角形数阵(第n行有n个数，同一行下标小的排在左边)．bn表示数阵中第n行第1列的数．

已知数列{bn}为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d的等差数列，a1=1，a12=17，a18=34．

(1)求数阵中第m行第n列(m，n∈N+且m≥3，n≤m)的数Amn(用m，n表示)；

(2)试问a2015处在数阵中第几行第几列？

(3)试问这个数列中是否有2015这个数？有求出具体位置，没有说明理由．

分析(1)由题意和等差、等比数列的通项公式，列出关于公差d和公比q的方程组，求出q、d的值、bn，由题意和等差、等比数列的通项公式求出Amn的表达式；

(2)由图表得到每一行中数的个数，由等差数列的求和公式求出前62、63行数的个数，从而确定a2015为数阵中第63行第62列的数；

(3)假设2015为数阵中第m行第n列的数，由数的规律列出不等式，再取特值进行验证，从而确定不等式没有整数解，即可说明2015不在该数阵中．

a2015为数阵中第63行第62列的数．

(3)假设2015为数阵中第m行第n列的数，

由第m行最小的数为2m-1，最大的数为2m-1+m-1，所以2m-1≤2015≤2m-1+m-1.

当m≤11时，2m-1+m-1≤210+10=1034<2013；

当m≥12时，2m-1≥211=2048>2015，

于是，不等式2m-1≤2015≤2m-1+m-1没有整数解.

所以2015不在该数阵中．

点评在此类问题中，一些数按照一定的规律被排成若干行和列，形成一种图表，综合考查等差、等比数列及其相关知识，有利于考查学生的观察、归纳以及逻辑推理能力.

在数列这一章节中，数列常常与几何、向量、不等式、函数以及导数等内容相结合，此类题目综合性较强，这是高考中数列部分的重要题型.

例4 已知函数f(x)=x-sinx，数列{an}满足：0

分析第(1)问是与正整数有关的命题，可以利用数学归纳法进行证明，通过归纳假设，借助于导数，从而得证；第(2)问是不等式的证明，可利用函数思想，借助于导数研究单调性，再进行放缩证明.

证明：(1)先用数学归纳法证明0

①当n=1时，由已知，结论成立.

②假设n=k时结论成立，即00，所以f(x)在(0,1)上是增函数，又f(x)在[0,1]上连续，从而f(0)

点评本题考查数列、数学归纳法等基本知识，同时考查函数、导数的应用，考查函数思想的应用和逻辑推理能力，函数、导数与数列相结合.