“错题”遇“错解” 直觉是错觉

刘彦永

(吉林省长春市东北师大附中 130021)

笔者偶然看到《中学数学教学参考》2015年第4期(上旬)赖淑明老师的《极值点偏移问题的另一本质回归》一文，受益匪浅.然而文中赖老师对2013年高考数学湖南卷文科第21题的解答值得“商榷”，是一种似是而非的证明，问题在哪里？又如何完善呢？以下是笔者的思考，仅供大家参考.

一、“错题”与“错解”的展示

(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，x1+x2<0.

证明(1)略.

(2)由(1)知y=f′(x)在上R上单调递减，且f′(0)=0.y=f(x)在(-,0)上单调递增，在(0,+)上单调递减，x1<0

f(x1)=f(x2)(x1≠x2)

=x1-x2

根据对数平均不等式，有

二、“错因”与“正解”的完善

=1.(*)

根据对数平均不等式，有

存在两个问题.

①忽视了“x1+x2=0”的处理；

因此是一个“似是而非”的“错误”证明，是解题过程中“直觉”造成的“错觉”.

下面尝试完善文[1]的证明.事实上，同文[1]可知：

而由对数平均不等式知

=1，矛盾.

②若x1+x2>0，则

=1 (*)

根据对数平均不等式，有

移项化简有

而x1<0

综上所述，x1+x2<0.问题得证.

三、感悟与感触

在教学一线，偶尔会因为直觉和思维定势造成“错觉”和“错解”，这是十分正常的现象.当遭遇这种情况时，我们应该和学生一起发现问题的根源并深入探究解决问题，以此培养学生发现问题和解决问题的能力，从而激发学生学习数学的兴趣和向权威挑战的勇气.