高考数学导数题的几种解题方法

宋傲寒

高考数学中考到导数题的可能性极高，而导数部分往往成为同学们的难点。全国一卷自13年至17年文数、理数均涉及导数大题，不难看出导数在高考试卷中所占的地位十分重要。并且在16年的高考大纲中明确提出：在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展現数学的科学价值和人文价值，努力实现全面考查综合数学素养的要求。本文针对近几年的高考导数题进行了分析与总结，归纳并整理了几种解题方法，希望能对考生起到一定的帮助。

方法一：放缩法

无法用分离法和主变量法解决的问题，可尝试用放缩法，放缩时需注意放缩的尺度，放缩尺度不同，精确度不同。在解答导数问题中，我们常用的是函数切线，割线逼近两种方法，这两个常用的结论为lnx≤x-1（当且仅当x=1时等号成立），ex≥x+1（当且仅当x=0时等号成立）。

例题  （2014 年全国Ⅰ卷，理 21）设函数，曲线在点（1，f （1））处的切线为y= e（x-1）+2

（I）求a， b; （Ⅱ）证明：.

高考中常用的几种放缩类型

一、对数放缩

（放缩成一次函数）

（放缩成双钩函数）

（放缩成二次函数）

（放缩成类反比例函数）

二、指数放缩

（放缩成一次函数）

（放缩成类反比例函数）

（放缩成二次函数）

三、指对放缩

四、三角函数放缩

五、以直线y=x-1为切线的函数

方法二：浮出主元法

浮出主元法即为将题目中的两个未知数a、b中的一个用未知量x进行代换，使得未知量x具有未知数的性质，此类方法使用时需注意可用x代换a、b，但不能用a、b代换x。

例题 （2013陕西，理21）（本小题满分14分）已知函数f（x）=ex，x∈R.

（1）若直线y=kx+1与f（x）的反函数的图像相切，求实数k的值;

（2）设x>0，讨论曲线y=f（x）与曲线y=mx2（m>0）公共点的个数;

（3）设a

解析 2013陕西理数第21题第三问 即可使用浮出主元法的方法进行运算

（1）f（x）的反函数为g（x）=lnx.

设直线y=kx+1与g（x）=lnx的图像在P（x0，y0）处相切，则有y0=kx0+1=lnx0，k=g'（x0）=，解得x0=e2，.

（2）略解得

当x>0时，

若0

若，曲线y=f（x）与y=mx2有一个公共点;

若，曲线y=f（x）与y=mx2有两个公共点.

（3）法一：（浮出主元法）由题可知a

那么比较与的大小

即比较（b-a）[f（a）+ f（b）]与2[f（b）- f（a）]的大小

不妨设x∈（0，b）

设g（x）= （b-x）[f（x）+ f（b）]- 2[f（b）-f（x）]  g（b）= 0

g'（x）= -[f（x）+ f（b）]+ （b-x）f'（x）+2f'（x）

   = -[f（x）+ f（b）]+ （b-x+2）f'（x）

   = -ex-eb+（b-x）ex+ 2ex

   = ex-eb+（b-x）ex

g'（x）= ex-eb+（b-x）ex         g'（b）= 0

g''（x）= ex+ex （b-x-1）=（b-x） ex>0

∴ g'（x）单调递增  又∵g'（b）=0 ∴g（x）单调递增  g（x）>0

令x=a 将a代入g（x）中  即可证出

法二：可以证明

事实上，

令

则 （仅当x=0时等号成立），

∴ψ（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴x>0时，ψ（x）>ψ（0）=0.

令x=b-a，即得（*）式，结论得证.

方法三：高等数学在导数中的应用

导数试题中涉及到了较多的高等数学知识，比如洛必达法则、泰勒展开式、中值定理等。适当的了解并学会应用高等数学的知识，可以使得解题速度大大提高。例题第二问中使用的简便方法便是洛必达法则。

例题  （全国卷）已知函数，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y-3=0，

（Ⅰ）求a、b的值;

（Ⅱ）如果当x>0，且x≠1时，，求k的取值范围。

解析  （Ⅰ）略解得a=1  b=1

  （Ⅱ）（洛必达法则）

参考文献：

[1]百度文库用户mhacker618. 高考导数大题中最常用的放缩大法. 百度文库. 2018（8）

[2]韦问敏.高考数学导数试题解题研究——以2013-2016年新课标全国卷为例，云南师范大学 2017