《初等数学研究》的探索

田果萍，康淑瑰

(山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009)

《初等数学研究》作为师范类数学教育的必修课，起着联系高等数学与初等数学的桥梁作用。其高观点整合初等数学的特殊内容性质、一周2课时的偏少教学时数、学生已学过但又基本遗忘了的独特学情、考试成绩与课堂表现极低的相关性等诸多因素迫使本课程的授课教师不断探索教材内容的整合，不停尝试并反思各种教学方式，不断提高课堂教学的有效性，以期贴近核心素养观下的基础教育改革需求，为中小学教育教学的发展服务。对照2018年4月4日印发的《山西省教育厅高等教育处2018年工作思路及要点》文件中关于高校“课堂革命”的精神、以慕课建设与翻转课堂为切入点，加强教师能力建设，推动大学课堂从内容到方法、到技术的深刻革命从而深化大学课堂教学改革的具体工作思路，结合山西省从2018年起将实施新一轮的高考课程改革的现实背景，每一位高校教师不得不迎头接受这场挑战，勇于尝试，主动总结，积极探讨，共同进步。以下是近10年来在《初等数学研究》这门课程中的课堂教学探索路径，望与同行商榷。

1 课标的认识

《初等数学研究》是学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继《心理学》《教育学》之后，《教学论》之前（我校一般安排在二年级第二学期）开设的一门师范类数学专业选修类课程（我校采用必修形式）。培养严谨、系统的初等数学理论和基本知识以及训练解题技巧是其基本目标，服务中学数学教学是其价值所在[1]。

2 教学现状及困惑

《初等数学研究》是《初等代数研究》与《初等几何研究》的合成版。教学实施也由原来的2学期变为1学期，课时每周2小节，共36课时。在这样的时间内面对如此多的内容，如何达到或基本达到课标的目标？求全？不可能。求精？局部可能。

曾经尝试过代数几何各选一部分，求细不求全，但难以完善学生系统的初等数学知识结构；之后，只讲代数，结果对几何一些经典问题未曾涉猎感到遗憾；目前尝试代数全部涉猎，但目标不同，有注重知识结构的系统与完整性（如数系的扩展），有注重解题技巧的（如因式分解、勾股定理的证明等），有注重概念的发展与理解（如函数概念的发展）等，根据教学内容的性质设置多元化的课堂教学目标。以下是在探索过程中的一些路径与所思。

3 教学理念

龚雄飞的“学本教学”是在基础教育课程改革催生下，由“教本范式”转型而来的，经过中学教学实践的一种区域性教学范式。其核心内涵是“以学生学习为本，以学生发展为本”，前者要求充分相信学生的学习潜力，激发学生的学习动力，依靠学生的学习实践；后者要求既关心学生当前的发展，又着眼学生长远的发展；是一种由教学原则、教学目标、教学程序、教学评价等构成的基本结构支撑下的联系教学理念与教学实践的系统性的中介或桥梁，具有完善理论和指导实践的双重功能，因此说也是一种教学模式。其重要功能体现在落实课堂三维目标、促进学生自主成长、提高教师专业水平与推动教育内涵发展等四方面[2]。该理念为本文做了理论支撑，也给高校本科教育教学改革提供一种参照。

4 实践探索

在教学实践过程中，主要根据教学内容与课程的主要目标与价值来决定教学策略与教学方式的，目前的实践经验归纳如下：

4.1 高度重视绪言——厘清学科结构，明确课程目标与学习方法

绪言作为每一门课程的开场白，会介绍该课程的发展历程、专业地位与作用、内容、学习目标及学习方法建议等，通常采用不讲或让学生自己阅读、或老师简要介绍一言带过的教学方法。本文认为绪言犹如课堂教学目标一样，是该课程教与学的总目标，至始至终统领着每个课堂教与学的全过程，教学方法不是单向的告诉与倾听的关系，而是学生主动查阅资料、自我感知、阅读讨论、归纳概括的一个必要经历，是自己对学科结构与学习目标的“再发现”过程，只有这样才是发自学生内心的声音，才能对其后续的学习起到引领作用，发挥出学生自我评价时的标准作用。用时2课时。教师要懂得且学会舍得。表明看来浪费时间，实则相当于学生自己拟定学习计划，自己对自己负责，从而学习不再盲目，一学期三维教学目标之一的情感态度价值观目标能否树立在学生心中，全依仗着这一节绪论课如何上。重视了，学生经历了，学生对本专业热爱了，认识到本课程的重要性了，正确的学科思想树立起来了，努力的方向与目标有了，教师就省心了、放心了，是师生双方都划算的事情。

4.2 结合数学史领略历史渊源，厘清基本概念，压缩课时——以数系为例

“调整、挖掘、补充、还原、整合、改进”[3]是加工处理数学教材的7种常用方法。不论哪一种版本的教材，均把数系置于第一章的位置，展示了数系的产生与扩展过程。结合《数学史》让学生明了数学的产生渊源、数的发展史、数系扩展的方法与得失、数学符号的来由、数学学科结构的划分、教材体系的公理化结构（整合几何部分的欧氏几何体系）、关于结构与模式的数学本质等，让学生领略数学发展史带来的数学概念、语言与方法等重要信息。下面是一些教学片断：

片断1：关于数学生成源的对话。

这类课堂基本是师生对话交流的课堂，鲜有纯讲授方式，而且允许学生课堂使用手机查阅资料，或借助微信平台传阅共享资料。

师：心理学认为，任何行为的产生都有一个称之为动机的事物在催生着，思考、讨论、查阅是什么促使数学的产生？

生：原始社会就有吧，公有制下要分配，就得数数吧。

生：我在网上搜了几次运动鞋之后，一打开网页，运动鞋的广告就首先跳了出来，是谁怎么知道我关注这个？（同学开始笑）

生：华为在法国与俄罗斯都设有数学研究所呢！

生：听《抽象代数》老师说过，抽象代数的产生是源于对五次方程求根公式的探索。

……

看讨论的差不多了，研究者引导学生总结出了如下结论：数学的主要生成源是自然宇宙，外部动力源为社会实践，内部动力源为数学本身。

片段2：数的发展简史、数系的扩展——数学阅读的培养。

十分重视学生数学阅读能力的培养，认为数学学习的过程是学习数学化的过程，数学阅读是数学化的突破口，也是数学化学习方式的瓶颈。因为数学阅读能指引着学习者从生活走向的数学世界，也引领着学习者在数学符号世界中移动[4]。常利用微信平台指导学生如何进行数学阅读。

在规定时间内阅读完之后，让学生回忆自己的数系扩展过程，将目前小学生的数系扩展过程（以苏教版为例）进行对比，让学生体会到：历史上新数的产生是交替出现的，如历史上负数前于无理数，虚数早于实数理论等；而且学生的数系扩展与历史发展过程中的顺序也不一样，如真分数-小数-假分数穿插在一起交替出现，使学生明白学术形态的数学与教育形态的数学是有差异的，前者是为了适应学生心理发展的年龄特征，用教育学与心理学理论加工过的后者的变式，但作为职前教师，两种形态都得明了。而且每一次扩展后，先前数集的一些性质可能会失去，并举例说明。

片段3：各种数集符号的研究——渗透数学是关于模式的数学观。

教师的数学观影响着其教学观，教学观决定着其教学设计与教学行为。认同数学是关于模式的科学（science of pattern）这一数学观，也践行着这一数学观。

师：每种数集的专用符号不同，谁最先提出来的？查阅并汇报。

生：自然数集、实数集与复数集均取自其英文的首字母，原词分别为natural、real、complex；有理数集用Q表达，是源于有理数的实质是分数，本质是两数之商，商的英文是quotien，Q是其首字母，文献中有理数用rational munber表示；最有意思的是整数集用Z表示，有2个版本：一是20世纪30年代布尔巴基学派在《代数》第一章中正式使用；二是德国女数学家诺特首次提出，因为Z是德文整数Zahlen的首字母。但文献中依然用英文whole number来表述整数。

师：从此，这些符号就成为一种固定的模式被沿用下来。还有，每一个数学概念、公式与法则等都是某种规律的概括，成为一种固定的模式文化传递下来，教育就是一种文化传承嘛，这种模式观代表着一种前沿的数学观，即数学是关于模式的一种科学，是20世纪80年代一批美国学者在《振兴美国数学——90年代的计划》一书中提出的，其目的是要揭示来自于自然、社会与数学内部世界中的结构与对称性[5]。当康托尔建立了集合理论之后，布尔巴基学派将此看作树根，将代数、拓扑与序结构看作主杆，将数学各分支看作枝叶，形象地描绘出了一棵茂盛的数学学科结构树图，在现实生活中日益突出了强大的理论价值。

4.3 上通高等数学，下达中小学课堂——以运算为例

始终将《初等数学研究》的桥梁作用贯穿于课堂教学之中，不失时机地让学生体验本课程上通数学，下达课堂，为中小学服务的宗旨。有时采用问题串的提纲形式进行讨论，有时采用追问的形式。

片段1：自然数的基数理论与序数理论的研究——高观点下审视初等数学。

师：概念提出之后，继而就得构建相应的理论了，阅读基数理论与序数理论后思考并讨论以下问题：

·分别从意义与运算角度分析乘法交换律ab=ba(回忆小学学习经历)

·利用《高等代数》中的矩阵转置知识分析ab=ba

·从运算的实施角度评价康托尔的基数理论

·书中2+3=5的证明过程共有几步？计算a+b时，需要几步？如果b很大会带来什么麻烦？如何消除这一麻烦？（体会加法交换律的必要性）

·读了例2（5*3=15）的证明，你能提出类似的问题吗？试一试。

片段2：带余除法的研究——抽象与具体的结合，学术形态到教育形态的转化。

虽然学生在上学期的《抽象代数》中也学过带余除法，但经过与其授课教师的交流，得知当时只是从理论上讲解，学生没有经过实践操作。基于这一学情，认同苏霍姆林斯基的观点，即这样做引不起学生的注意。学生大脑中的一些积极的、最富有创造性的区域只有依靠把抽象思维跟双手的精细的灵巧的动作结合起来，才能激发这些区域活跃起来。如果没有这种结合，那么大脑中的这些区域就处于沉睡状态[6]。具体操作如下：

·《抽象代数》中如何表述带余除法？

·计算-27÷4，27÷4,27÷（-4），体会余数的要求（非负且小于除数的绝对值）。

·辨析“除法是由减法导出来的”这一观点。

·思考0.7÷0.3的余数是多少？

·小学与初中教材如何表述？为什么这样处理？（由教师解释）

4.4 追根溯源，将概念追踪至原始概念或公理——以代数式与整数集的某个性质为例

对某一数学概念尤其是常用概念的剖析是学生习得系统数学的良好载体，对此概念所涉及到的数学概念进行追问才能剖析清晰。如对于代数式的界定：只含有关于变数字母的代数运算的解析式。剖析时层层剥开才能露出真面目：什么是解析式？初等数学中的运算有哪几类？分别是什么？什么是算术运算？什么是代数运算？什么是超越运算？回答了以上问题方能将什么是代数式解释到位，顺便把超越式也弄清楚了。

再如在整数集是一个交换环这一性质的教学过程中，重点不是证明而是厘清一系列概念：交换环←环←交换群←群←半群←代数系统，体会高观点下审视初等数学的优势，增强学生思维深刻性，优化思维品质。

这样的方式进行几次之后，学生会以类似的方法对后续的每个概念进行思考，从这一角度看，《初等数学研究》这门课程与其说学知识，不如说学方法——用概念思维，学一种科学研究的方法与精神。学本教学观也强调教学既不是师本的教学，也不是短期行为的考本教学，而是促进学生主动学习和充分发展的教学[2]。此处不敢说促进了学生的充分发展，起码示范给了学生主动学习的一种方法。

4.5 恢复计算能力——以一道因式分解题为例

《初等数学研究》这门课程为恢复学生的计算能力搭建了一个良好的平台。方法如下：选择低难度，高等数学与初等数学均能解决的例题或练习题；教学方法采用课堂师生头脑风暴法，谁做出一种方法立即写在黑板上；社会互赖理论为之提供理论依据：即个体间在合作性和竞争性情境中相互影响其行动效率、内在心理过程、互动方式及结果。这样的示范呈现出之后，其它的学生立即受到启发，即使方法一样，但具体运算技巧路径不同，也会出现不同的解法。同伴思维的碰撞，师生共同的参与，常会出现一个人发现多种方法或一种方法下多种表征形式的现象。就分解x3+6x2+11x+6因式一题进行尝试。

此题是整系数一元三次多项式，可依据因式分解定理，采用《高等代数》有理根的寻求办法去处理，也可采用初等数学中先拆某一项后合并同类项的方法去解决。明确指出有人认真按照以上诸种方式做了一遍，结果共得出32种不同解法[7]。该数据激励着我们师生想把这32种不同解法呈现出来。于是大家撸起袖子，跃跃欲试，开始在纸上演算开来，并陆续上黑板展示。渐渐地，当黑板上呈现了单拆一次项，单拆二次项以及单拆常数项的基本类型之后，学生就开始自发合作起来，有的甚至离开座位去寻找思路类似的同伴去讨论并尝试，择其善者而从之，择其不善者而改之，一个个疑点就通过合作解决掉了，使得一个个“盲点”做亮了、“误点”做对了、“弱点”做强了[2]，上讲台的人多了起来，有时同时上来几个人，使得黑板笔都供不过来，于是，大家干脆写在纸上直接用胶带纸粘在黑板上，待到上台的人逐渐少下来之后，大家看着黑板上粘的满满的纸张，不由得鼓起掌来，大喊大叫：“奥，太棒了！”于是，吩咐学生记录在书中空白页处作为今后工作之参考，并让学习委员将所有解法按类别记录下来，竟然有77种解法[8]。一直坚持教学与科研相结合的做法，一方面有意识地将新的研究成果列入教学设计中，以综述的形式呈现给学生。有时同时带3、4个班的课，就将几个班出现的研究成果汇集在一起大家共享，有时也将课堂教学中发现值得进一步研究的问题列入自己的研究课题，同时可以将其列入学生探究性学习的任务之中，既培养了学生批判性思维和创新精神又为自己的研究做了先行铺垫。多年实践下来，发现职业倦怠感不但不减，反而递增。学生给教师带来的一股永远无法预设的意外收获总是激励着教师不断更新教学设计，不仅是在下一届准备更新，有时即使是同一届，在前两个班教学之后，到第3、第4个班教学的时候就会临时调整教学计划，这种平行班的同步比较也会给人带来预想不到的收获。

4.6 利用微信平台开阔视野，不占课时——以勾股定理的证明方法为例

教学设计时不仅仅设计课上的，也得设计课下的。受课时的限制，不得不把一些内容放在课外活动的设计行列。近年来，充分利用班级微信群平台，将能开阔视野的内容分享给学生，考虑学生能看懂的前提下，将数学与其它学科整合性的材料（生物数学、数学物理等）或数学史上的一些名题的多样化解法展示给学生，并让学生操作或证明。如国内称之为勾股定理（西方人称毕达哥拉斯定理）的证明，就将数学史上采用剖分法的毕达哥拉斯学派的证明、1873年珀里盖尔的证明、1971年杜德尼的证明、达·芬奇的证明、中国赵爽与印度婆什伽罗的证明、欧几里得“僧人头巾”或“新娘椅子”的证明、中国刘徽的勾股术——以盈补虚的证明、1876年美国总统加菲尔德的证明、十七世纪沃利斯重新发现的印度证法等9种证明方法[5]发到班级群中，并鼓励学生寻找更多的证明方法，并让学生整理保存，结果发现了十几种证明方法，甚至有学生尝试自己去创造一种新的证明方法。结果并不重要，但这一经历很重要。

随着新高考新课改的不断展开，对高中教师的学科知识结构会随时带来一些不可预料的挑战，创新驱动时代背景下的基础教育又一轮改革已经开始倒逼高校教育教学不得不做出深刻的革命。文献调查显示：66%的高校教师缺乏对课堂教学新思想、新理念的了解与认识,不善于应用新的教育教学方法[9]。作为高校本科教学的工作者，无法回避这一时代浪潮，只有积极回应，学习、实践各种自己认为合适可行的教学理念，从自己的课堂着手，从课程设计启程，不断反思，不断总结、不断尝试。