方阵及其伴随矩阵的重要等式及应用

梁 静，李红菊

（安徽新华学院通识教育部，安徽合肥230088）

矩阵是线性代数的重要概念，是连接线性代数各知识点的桥梁，伴随矩阵是矩阵运算过程中一个重要工具. 通常用伴随矩阵求解矩阵的逆[1-2]，事实上伴随矩阵不仅仅用于求逆，还有许多重要的关系和性质需要研究.伴随矩阵的相关性质许多文献都做过详尽的阐述[3-4]，因此对伴随矩阵的研究开始转向矩阵与伴随矩阵的特殊关系上[5-6]，这些关系使人们进一步认识了用伴随矩阵解题的方法.对于正交矩阵的相关定义文献[1][2]已经做了详细表述，学者们也研究了正交矩阵的相关性质[7]，高小明进一步研究了拟正交矩阵的行列式，给出了相关的等价条件[8]. 本文在以上研究的基础上，研究了矩阵与伴随矩阵的另一个重要关系式，并由此关系等式研究了正交矩阵的相关结论，以期从另一个层面理解伴随矩阵与矩阵的应用关系.

1 预备知识

定 义 1[1]A 是 n×n 矩 阵 ，M=是 ||A 中 第 1,2,…,r 行 和k1,k2,…,kr列交叉处的元素组成的子式，是在 ||A 中将M 所在的r行和r列全部删去后剩下的元素按原来的顺序排成的子式，称为M 的余子式，(-1)1+2+…+r+k1+k2+…+kr与M的余子式的乘积称为M的代数余子式.

引理1如果A是n×n矩阵(n ≥2)，那么

因 为AA*=det(A)I，当R(A)=n 时，有detA ≠0，则detA*≠0，即R(A*)=n. 当R(A)=n-1 时，A*中 至 少 有 一 个1 阶 子 式 不 为0，则R(A*)≥1；同时有detA=0，则AA*=O，由矩阵秩的 性 质 R(A)+R(A*)≤n，有 R(A*)≤1，故R(A)=n-1 时 有R(A*)=1. 当R(A)＜n-1时，A 的所有n-1 阶子式全为0，故A*为零矩阵，R(A*)=0.

引理2（Binet-Cauchy 定理）[2]设A,B 分别为n×s,s×n的矩阵，有

引理3（拉普拉斯展开定理） 设detA是n阶行列式，任意取定r(r ＜n)个指标1 ≤i1＜i2＜…＜ir≤n，则detA 等于它的第i1,i2,…,ir行（列）元素组成的所有r阶子式与它们的代数余子式的乘积和，得

其 中 i1,i2,…,ir,ir+1,ir+2,…,in和 k1,k2,…,krkr+1,kr+2,…,kn均 是1,2,…,n 的 排 列，且ir+1≤ir+2≤…≤in，kr+1≤kr+2≤…≤kn.

2 主要结果

2.1 方阵与伴随矩阵的等式关系

定理1若矩阵A ∈Fn×n，A 中元素aij的代数余子式为Aij，则有

其中(i1,i2,…,in),( j1,j2,…,jn)均为1,2,…,n 的排 列，且i1＜i2＜…＜ir,ir+1＜ir+2＜…＜in，j1＜j2＜…＜jr,jr+1＜jr+2＜…＜jn.

证明：（1）r=1，定理显然成立.（2）r ≥2，有

①当det(A)=0 时，由引理1 知式（2.1）左边为0，定理成立.

②当det(A)≠0 时，有A*A=det(A)In. 由引理2（Binet-Cauchy定理）知

又由引理3得

故C1⋅C2=(detA)r-1C3⋅C2.

又det(A)≠0，故 ||C3⋅C2≠0，有 ||C2≠0，则C2可逆. 可得C1=(detA)r-1C3，代入C1、C2并展开，由相等矩阵对应位置元素相等，因此有

推论若A为正交矩阵，则

证明：（1）A 为n 阶正交矩阵，则ATA=In，有

AT=A-1=A*，当detA=1时，AT=A*，即

（2）当detA=-1 时，交换A 的ik,is(1 ≤k ＜s ≤r)列得矩阵B，则detB=1，由推论（1）的结论有：

再交换B 的ik,is(1 ≤k ＜s ≤r)列得矩阵A，因此

detA=-1，detB=1，试验证推论成立.

即满足推论的结论.

2.2 等式关系的应用

例2：A 为三阶正交阵，且detA=1，则(TrA-1)2+(aij-aji)2=4.

证明：

根据推论，当detA=1 时，有a11=a22a33-a23a32，a22=a11a33-a13a31，a33=a11a22-a12a21，故：

又A 为三阶正交阵，则ATA=I3，则=1，1 ≤i ≤3，则有

将（2.3）式、（2.4）式代入（2.2）式即证.

例3：A、B 均为正交阵，且detA+detB=0，证明det(A+B)=0.

证明：设detA=1，detB=-1，则

det(A+B)=

det(A+B)detA-1=

det[(A+B)A-1]=det(I+BA-1)

设C=BA-1，易知C也正交，且detC=-1，有

由推论知，当detC=-1时，有

例4：①设A 为奇数阶实正交方阵，且detA=1，则A 具有特征值1. ②设B 为n 阶实正交方阵，且detB=-1，则B具有特征值-1.

证明：①因为A为奇数阶实正交方阵，那么

则A具有特征值1.

②由

则B具有特征值-1.

另证：①设A 为2n-1 阶实正交方阵，detA=1，则有

即2 ||A-I =0 ⇒ ||A-I =0，则A 具 有 特征值1.

②因B为n阶实正交方阵，detB=-1，则有

有2 ||B+I =0 ⇒ ||B+I =0，则B 具 有 特征值-1.

3 小结

本文利用Binet-Cauchy 定理及拉普拉斯展开定理研究了伴随矩阵A*与n 阶方阵A 之间的关系，给出了具体的关系等式. 由此等式研究了n 阶正交矩阵A 的r 阶子式与其余子式的关系，进一步研究了正交矩阵的相关应用.这些研究更加明晰了正交矩阵余子式的相关关系，可为以后研究正交矩阵的其他应用奠定基础.