从一道高考题思考学生的数学核心素养

摘 要：2019年全国一卷理科数学：21题以数列加概率综合的形式取代了以往函数与导数压轴题的位置。在限定时间内要快速理解题意并克服题型变换的压力，无疑增加了考生答题的难度。笔者对此题及学生的答题情况进行具体分析，思考学生在数学核心素养上的缺失。

关键词：高考数学;解题;数学核心素养

一、 问题的呈现

为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分;若都治愈或都未治愈則两种药均得0分。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为x。

1. 略;

2. 若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则P0=0，P8=1，其中Pi=aPi-1+bPi+cPi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（x=-1），b=P（x=0），c=P（x=1）.假设α=0.5，β=0.8。

（ⅰ）证明：{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）为等比数列;

（ⅱ）求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性。

二、 问题的难点

难点一：无法适应试卷结构，认为题目的阅读量较大，对题目的信息理解不到位，觉得读不懂题。

难点二：目标不知如何转化，证明等比数列的常规方法是证明Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常数），但从题干的等式中难以得出需要的目标式。

难点三：能证明出{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）为等比数列，但由于得不到P1而无法求得P4。

难点四：无法根据P4的值解释试验方案的合理性。

三、 问题的分析与解决

（一） 问题的分析

本题通过概率为载体，考查了概率统计和数列的交汇，以及概率与统计的实际应用。在题目的背后，需要学生具备数学抽象、数学建模、逻辑推理、数据分析等数学学科核心素养。

（二） 问题的解决

1. 理解题目本质，发展数学抽象核心素养

突破难点一

由于本题题干较长，试验的规则较复杂，学生在短暂的时间里可能摸不着头脑。要有效地解决这个问题，需要对题干的信息进行简单的整理和加工。从对试验方案的理解中我们意识到一轮试验是一次随机试验，即分配两只小白鼠分别试验甲药和乙药是随机的，所以两次试验是独立的。这样一轮下来会得到四个结果，我们抽象成如下的表1（这里用符号√表示治愈，×表示未治愈）：

对文字的抽象可以更清晰地帮助我们理解题意，方便后面解题，但是这种抽象更多的是一种翻译，还停留在表层，我们需要进一步抽象。随着试验的不断进行，这就是独立重复试验，这个试验结束的时刻是当其中的一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，如果还是不能理解，我们可以举一个具体的例子看看甲有效的情况，如表2：

通过上述例子可以发现要结束试验，∑Xi=-∑Yi，更近一步，当且仅当∑Xi=4或-4时，试验结束。到此，数学抽象帮助我们深刻地理清了题意及考查的大致知识情况。

2. 建立数学模型，培养数学建模核心素养

突破难点二

在清楚题意之后，难点就变成了如何证明等比数列。等比数列这个数学模型的本质特点是：一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数q（q≠0），即a1≠0，anan-1=q。如果能熟练运用这个模型，学生会知道要证明{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）为等比数列即要得到Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常数）或Pi+2-Pi+1Pi+1-Pi=q（常数）。更近一步，观察题干可以发现，与Pi相关的题设条件仅有递推式Pi=aPi-1+bPi+cPi+1（i=1，2，…，7），所以我们下一步应该是要在求得a，b，c具体数值的基础上得到Pi+1-PiPi-Pi-1=q（常数）这个目标式。

由于Pi=0.4Pi-1+0.5Pi+0.1Pi+1（i=1，2，…，7），通过分析目标式结构，移项与拼凑，可以得到0.1Pi+1-0.1Pi=0.4Pi-0.4Pi-1，即Pi+1-PiPi-Pi-1=4（常数），下面还需验证首项不为零，由于P1-P0=0.5P1+0.1P2，题上没有给出P2，故“P1-P0是否为零”这个问题暂时还无法解决。但题上给出了P8=1，那是否可以根据这个条件得到P1呢？

3. 寻求数学联系，提升逻辑推理核心素养

突破难点三及首项P1-P0是否为零的问题

现在，把相关信息进行整理：①Pi+1-PiPi-Pi-1=4 ②P0=0，P8=1我们要求的是P4和P1，那如何从①这个一般式推得特殊值呢？从一般入手，等比数列{Pi+1-Pi}中，P1-P0，P2-P1……P8-P7这八项后一项与前一项的比值都为4，可以根据等比数列前n项和的公式计算得到这八项之和。这样有两个好处，一是根据等比数列前n项和公式得到（P1-P0）+（P2-P1）+……+（P8-P7）=P1（1-48）1-4，二是把括号打开得到（P1-P0）+（P2-P1）+……+（P8-P7）=P8，由于P8已知，所以我们可以反推P1。值得注意的是，整个过程的前提都是首项不为0，数列{Pi+1-Pi}（i=0，1，…，7）是等比数列的前提下进行的，如果首项为0，那整个过程将毫无意义，这实际上是一种逻辑假设，我们计算得到P1=348-1说明假设是成立的。

在我们得到P1后，我们可以用刚才的方法求得P4，这里进一步地训练逻辑思维，即顺向思维和逆向思维，我们要得到P4，需要从另一个角度进行构造，即P4=（P1-P0）+（P2-P1）+（P3-P2）+（P4-P3）=1257。

4. 分析理解数据，渗透数据分析核心素养。

突破难点四

计算出P4=1257后，根据这个数值解释试验方法的合理性，我们首先要弄清P4的具体含义。由题可知，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率。即1257代表的是甲药比乙药更有效的概率的大小。那如何根据概率的大小来判断试验方案的合理性呢？甲药的治愈率是0.5，乙药的治愈率是0.8，在这个前提下，我们得出甲药比乙药更有效的概率是1257（约为0.0039），这个概率与0.05相比是很小的。所以甲药比乙药更有效的概率很小，这與两种药本身的治愈率的大小是相吻合的，故试验方案是合理的。

这里很多考生直接把0.0039与0.05相比较，得出概率小所以不合理的结果，这是由于没有真正理解“合理”二字的意义，数据分析不够全面透彻。没有弄清数据可能性大小代表的真正含义，只是单从数字大小本身进行解读，这样的结果往往都是片面的、易错的。数据分析要想准确，离不开题目、数学学科、社会生活这些大环境，在我们学习数学的过程中，会出现一些特殊的数字或字母，这些数字和字母都具有丰富的含义，可以帮助我们更方便简洁地分析理解数据。

四、 结语

波利亚在《怎样解题》中提供了一种解题的思路，学生可以通过思考“你以前见过此题吗？你见过一道和它相关的题目吗？”来找到解题的方法。但值得思考的是，随着时代的发展，学科要求的不断提高。学生面临的是题量增大，题型多变，他可能很难通过一道题马上联想到其他与之相关的题，因为范围太大，时间太短。笔者认为，学生应该在融会贯通的基础上，通过数学学科核心素养来了解数学的基本特征，完善数学重要的思维品质，提高自己的学科能力。如此，以不变应万变，做好面对一切未知的准备，遇到难题时才会有行之有效的方法。

参考文献：

[1]教育部.普通高中数学课程标准[M].人民教育出版社，2013.

[2]管宝.从数学高考题看学生思维能力的培养[J].科学教育家，2008（1）.

[3]马云鹏.关于数学核心素养的几个问题[J].课程·教材·教法，2015，35（9）.

作者简介：陈瑶瑶，四川省南充市，西华师范大学。