注重概念生成 提升数学理解

摘 要：新颁布的课程标准指出：在数学学习中学生应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握。在教学的始终，要加强学生对一些核心概念的理解和深化。本文拟以《导数的概念》为例，阐述在概念教学中注重其生成过程，提升数学理解。

关键词：概念；教学；导数

数学概念教学是数学知识教学的重要环节，学生掌握和理解数学概念的程度，直接影响到其他数学知识的学习。这就需要教师在高中数学概念课的教学中抓住数学学科的特点，积极为学生创设各种情境，让学生体验数学的科学价值和应用价值。

一、 教学过程分析

注重数学概念的形成过程，重视学生的思维发展。本节课采取“情境—探究—体会—形成概念”的过程学习，以恰当的问题为桥梁，引导学生类比探究形成导数概念。

（一） 创设情境，自主探究

1. 变速直线运动的瞬时速度的探究

问题1 铁球从50 m高的天台落下，请问在铁球落下2 s 时距离地面还有多高？这个时刻的速度是多少？此处教师可以借助Excel表的快速计算功能并展示给学生看。（设计意图：以学生熟悉的自由落体运动为例，借助多媒体技术和教学软件计算数据，学生通过数据分析，直观感受和认识瞬时速度的形成过程。）

问题2 上述表格你有什么发现？如何刻画铁球落下2 s 时速度？（设计意图：通过具体情境，借助数据让学生对瞬时变化率有直观而清晰的认识，是可以触摸的抽象概念。让学生感受平均速度的变化，用平均速度逼近瞬时速度，领悟极限思想。）

问题3 铁球在落下的每一时刻t0的运动快慢都是不同的，在每一时刻t0都有一个对应的数来描述这一时刻的快慢程度，如何求出这个数？（设计意图：让学生对瞬时速度的认识从具体时刻到一般时刻，通过类比达到一般化。）

2. 曲线上一点处切线的探究

问题4 上述的物理背景能抽象出来变成数学模型吗？ 提炼数学模型：y=4.9x2。

问题5 借助几何画板演示，点P是函数y=4.9x2曲线上一个定点P（xp=2），点Q是该图像上点P附近的一个动点，试观察：当点Q无限逼近点P时，这条割线PQ有怎样的变化趋势？（设计意图：借助数学软件，通过运动的观点来分析问题，让学生体会割线逼近切线的过程，发展直观想象能力。）

问题6 如何计算曲线上一点P（xp=2）处切线的斜率？

（二） 归纳类比，形成概念

问题7 （1）对瞬时速度和切线的斜率两个具体问题，解决方法上有什么共同之处？以上两个问题，虽然背景不同，但数学模型相同，归结为函数在某一点处函数值的增量与自变量的增量的比值的极限问题。（2）更一般地，如何求一般函数y=f（x）在x=x0处的变化率？（设计意图：创设学生熟悉的情境，让学生找到概念的现实原型，体验、感受直观背景和概念间的关系。从具体到抽象，特殊到一般，利用瞬时速度进行类比迁移，引出导数概念的形式化定义，促进学生对数学概念的理解。）

定义1：函数在x=x0处可导及其导数

问题8 函数y=f（x）在x=x0处导数是什么？（设计意图：引导学生用三种语言：文字语言、符号语言、图形语言来理解和把握概念的内涵与外延。）

问题9 求函数y=f（x）在x=x0处导数的方法是什么？

（三） 数学运用，深化理解

例1 已知函数f（x）=x2+2。（1）求f（x）在x=1处的导数；（2）求f（x）在x=x0处的导数。

设计意图：渗透算法思想，加深对导数概念的理解。

问题10 由例1让学生思考y=f（x）在x=1处可导，那么在x=-1，x=2，x=3，x=4处可导吗？若可导，导数是多少？（a，b）内任一点都可导吗？（由特殊到一般引出导函数的概念）

定义2 函数y=f（x）在开区间（a，b）内的导函数

問题11 怎样求导函数的解析式？

运用函数思想，只要把求一点处的导数x0替换成x，就可以求出导函数的解析式。

例2 已知函数f（x）=x3。分别求（1）f′（1）；（2）f′（x）。（设计意图：两问虽是求导数，但有本质上的不同！通过此例让学生分清“函数f（x）在一点处的导数”与“函数f（x）在开区间内的导数”的关系。）

问题12 f′（x0）与f′（x）的含义有什么不同？

二、 教学感悟

根据奥苏贝尔的学习理论，学生学习数学概念有两种最基本的形式。一是概念的形成；二是概念的同化。本节导数概念的学习是概念的形成，从大量具体例子出发，从学生熟悉的例子中，观察、分析、抽象、归纳出一类事物的本质属性。以“问题串”形式将导数概念的学习按内容的深度性和连贯性呈现出来，从具体的生活情境入手，逐步抽象到一般的数学模型，便于学生对导数概念理解难度的突破。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中课程标准实验教科书：数学选修2-2[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2012.

[2]徐波.高中新课程“导数的概念”教学分析[J].中国数学教育，2012（1-2）.

作者简介：

张弟，江苏省常州市，江苏省常州市北郊高级中学。