基于FFT的间谐波优化检测算法研究

荆雪君， 智泽英

(太原科技大学 电子信息工程学院，山西 太原 030024)

0 引 言

目前，各种新能源(风电和光伏发电等)、冲击性负荷(高铁等)和电动汽车快速发展，使得电网中谐波、间谐波成分不断增加，进而降低了电能质量[1]。基于此，研究间谐波检测算法从而得到实时精确的数据，对电网的进一步发展至关重要。

快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)因其技术发展成熟、计算效率高[2]，在谐波检测分析中有着广泛的应用。然而间谐波成分的增加导致采样无法同步，需采用加窗插值对FFT算法进行改进，但前提条件又稍显苛刻，需在无噪声的条件下才能保证参数的检测精度[3]。小波阈值去噪法拥有低熵性、选基灵活性、去相关性和多分辨率等多种优点[4]，适合分析突变和非平稳信号。本文将小波阈值去噪算法进行改进，并组合性能良好的加窗插值FFT算法，给出一种新的优化检测方案，保证对电网谐波、间谐波幅频参数的精确检测。并通过MATLAB仿真平台，对比了算法改进前后的去噪效果及检测误差，从而验证本文算法的可行性。

1 算法原理

1.1 小波阈值去噪法

小波阈值去噪法的原理是依据信号和噪声在小波域内的能量分布的差别来实现信噪分离。含噪信号经小波分解后，得到的小波系数幅值各不相同。通常信号的幅值比噪声大，由此便可以通过设定一个阈值来决定不同信号的取舍以实现去噪。其过程如下所述：

图1 小波分解示意图

选定合理的小波基和分解层数。图1为四层小波分解过程。ca1为近似信号，cd1、cd2、cd3、cd4为细节信号。s=ca4+cd1+cd2+cd3+cd4。近似信号和细节信号分别为原始信号的低频和高频部分，也就是信号的主要成分和高频噪声成分。一个合理小波基的选择能够使有用信号在小波分解后的能量集中分布在几个主要基底上。

在处理过程中，应根据噪声含量的不同来适时更改小波变换的尺度。首先保留小波变换后的近似信号，再对每一层细节信号的高频系数选择对应合理的阈值，并利用阈值函数进行具体的量化处理。

最后依据小波分解后的各种系数完成真实信号的小波重构工作，从而得到去噪之后的信号波形。

小波阈值去噪法中两个最关键的问题就是如何求取合适的阈值和阈值函数。阈值的大小影响到信号的重要信息是否能完整保留。阈值函数的弯折程度则会对采样信号整体的去噪结果产生影响。

1.1.1改进的阈值选取方法

通用阈值能根据采样信号中噪声的强弱而改变，其选取方式简单，应用广泛[5]。通用阈值的表达式如下：

(1)

式中:T为阈值;σ=median(WHH)/0.647 5(噪声的标准方差)，其中WHH为噪声图在高频子带HH的正交小波系数，median为取中值;N为信号长度。

通用阈值在小波求解时，小波系数随分解尺度的增加而减少，但阈值却是不变的，这样得到结果会存在较大的偏差[6]。本文在此基础上增加其与分解尺度的关系。所得关系式如下：

(2)

式中：j为分解尺度。此时阈值的选取因小波分解层数的不同而变化，这样就能够对应分解后每层噪声的具体分布情况。假设分解尺度增大，噪声信号的能量就会随之减小，则阈值也会相应减小。与传统的通用阈值相比，新的阈值选取方法具有良好的自适应性，能配合噪声在分解后各层的不同分布。

1.1.2改进的阈值函数

阈值函数就是对采样信号中的高频部分进一步作阈值处理，是对小波系数进行去噪处理的一种方法。硬阈值函数和软阈值函数是传统阈值函数的两大类别。其表达式分别如下：

(3)

(4)

硬阈值函数就是将大于阈值的小波系数原样保留，将小于阈值的部分全部置零。这样虽能够完整保留原始信号的特征值，但在不连续点处会出现伪吉布斯现象。软阈值函数则是将大于阈值的小波系数按一定的比例逐渐向零变化。这样处理之后的小波系数具有较好的连续性，重构后可以得到平滑的去噪信号，但会存在边缘模糊等失真现象。

本文基于以上两种阈值函数进行了一些改进，改进后的阈值函数表达式如下：

图2 改进的阈值函数曲线

其函数曲线的大致走向如图2中的实线所示。图中的点划线表示硬阈值函数曲线，虚线表示软阈值函数曲线，其在[-T,T]区间均为零。

由式(5)可知，改进后的阈值函数在阈值点±T附近依旧是连续的。随着调节参数n值的变化，改进的阈值函数总是位于软、硬阈值函数两条曲线之间。当n=0时，小波系数不变，依旧可以得到原信号；当n→∞时，改进后的阈值函数无限接近软阈值函数。这样既不会像硬阈值函数那样界限过于分明，也不会像软阈值函数那样易损失一些高频信息。改进后的阈值函数不仅连续，而且可导，便于进行各种数学处理。

1.2 加窗插值FFT算法

由于间谐波的存在干扰了基频的稳定性，导致采样过程无法实现同步。而非整周期同步采样使得采样序列周期延拓后在边界处发生跳变，所以会产生频谱泄露和栅栏效应，这些都是影响FFT谐波检测精度的主要原因[7]。

对于电网中含有不同频率的原始待测信号，其通用表达式为：

(6)

余弦窗的一般表达式为：

(7)

则加窗运算之后为：

xi(n)=xm(n)wi(n)n=0,1,…N-1

(8)

加窗实际上就是利用各种窗函数将无穷长的采样序列截短。窗函数的频谱特性主要包括有主瓣宽度、旁瓣峰值电平以及旁瓣渐近衰减速率等。当主瓣的宽度越窄，其对频率的分辨率就会加强；当旁瓣的峰值电平较低时，频谱泄露的情况就会有所改善；当旁瓣渐近衰减的速率越快，其对泄露的抑制能力就会增强。因此，一个理想的窗函数应该具备主瓣宽度窄，最大旁瓣小，峰值电平低，旁瓣衰减快等特点[8]。同时，还需要应用插值算法对加窗后所得的数据进行修正，以抑制非同步采样带来的影响，获得较为精确的数据。

目前，由于余弦窗的频谱简单，性能良好，在窗函数领域获得较为广泛的应用。随着系数的项数增加，旁瓣衰减变快，频谱的计算精度有了一定的提高，但同时主瓣宽度也会增加，使得频谱分辨率降低。所以项数的取值通常不会超过四项[9]。本文选取了三项系数中典型的Blackman窗和四项三阶Nuttall窗进行研究比较，其频域特性对比如表1所示。

1.2.1Blackman窗插值算法

三项余弦窗的计算比较复杂，需要求解一元三次方程，故运算速度慢，但计算精度比较高，其中典型的代表窗为Blackman窗。其表达式如下：

(9)

首先要对加窗后的信号xi(n)作离散傅里叶分析，得到Xi(λ)(λ是与频率有关的系数)。但其谱值会因为非同步采样发生偏移，从而出现偏差。此时需要参照任意两个相邻频率点的谱值关系[10]如式(10)所示。

表1 窗函数的频域特性

(10)

式中：km为采样点，为正整数。

将式(10)作为修正插值公式，即获得频率偏差值δm，进而用δm(取其在0～1范围内的解)作为插值系数来求取修正后信号的幅频信息：

(11)

1.2.2Nuttall窗插值算法

四项系数余弦窗通常被认为是项数最多、计算最为复杂的余弦窗，但同时也获得了较高的精度。4项3阶Nuttall窗不仅仅具有高精度的优点，通过不断地取值分析，当系数选择适当时，便可以使一些其他的相关系数为零，从而达到简化计算的目的。代入系数后的相关表达式如下：

(12)

同理可得Nuttall窗的插值系数和频率、幅值的修正公式分别为：

(13)

(14)

2 仿真验证

本文所使用的是MATLAB R2012a仿真试验平台。由于通常情况下电网中谐波与间谐波的含量较小，为方便观察分析，本文设定信号的基波频率为f=50 Hz，幅值为100 A，然后分别叠加了3次、5次、7次三个奇次谐波，4次偶次谐波和2.5次、10.5次间谐波。其表达式如下：

x=100sin(2πft)+5sin(2.5×2πft+π/3)+

10sin(3×2πft+π/3)+2.5sin(4×2πft+π/3)+

5sin(5×2πft+π/3)+2sin(7×2πft+π/3)+

2.5sin(10.5×2πft+π/3)

(15)

图3 原始设定信号

将设定信号输入仿真平台后可以得到如图3所示的波形，可以看出，在叠加了谐波、间谐波成分之后的基频正弦波信号出现了畸变，且每个周期的畸变程度不同。

算法的具体步骤如下：

(1)选取合适的小波基与分解层数，确定采样信号在各层的样本数量，求出分解后各层的小波系数；

(2)依据新的阈值选取方法求取合适的阈值，比较分解后的各层系数与阈值的大小关系，并通过新的阈值函数对其进行循环处理，得到去噪后的小波系数；

(3)利用新的小波系数完成波形的重构；

(4)对重构的波形进行加窗运算，得到新的序列；

(5)先对加窗后的新序列进行离散傅里叶分析，再求取插值系数对新序列进行修正；

(6)根据修正公式计算幅频信息即可完成检测。

2.1 去噪分析

图4 含噪信号序列

为了说明改进后的小波阈值去噪算法的有效性，本节将其与传统的软、硬两种阈值函数进行比较，对同一原始信号做去噪试验。本节在原始设定信号的基础上添加了rayleigh噪声信号，含噪信号如图4所示。试验选用db8小波进行4层分解。三种去噪算法的结果如图5所示。

由图5对比可以看出：利用硬阈值去噪后的波形的去噪效果明显不佳，虽然能够保留所有的特征值，但依旧存在较多的干扰信号，不能达到去噪的目的。利用软阈值去噪得到的波形平滑，但在局部特征值处存在失真现象，不能保留完整的真实信号，无法进行下一步的检测工作。改进后的阈值去噪算法在保留原始信号特征值的基础上，可以最大程度地去除噪声信号，能够得到良好的去噪效果。

2.2 检测分析

通过上述改进后的小波阈值去噪法进行信号处理，得到接近真实信号的采样序列。仿真试验的第二个阶段此基础上进行谐波、间谐波参数的检测分析。本节通过对传统FFT、加Blackman窗FFT、4项3阶Nuttall窗FFT三种检测算法进行实例仿真比较，验证不同加窗插值算法对间谐波检测的精确程度。三种算法的频谱分析如图6所示。

图5 小波阈值去噪对比

图6 三种算法的频谱图

试验证明，传统FFT算法已不能适应间谐波成分的检测。加Blackman窗插值FFT算法在间谐波频率的检测上要明显优于传统FFT算法，但计算量较大，使得实时性上有一定缺陷，而且在幅值检测上有较为明显的误差存在。显然，4项3阶Nuttall窗FFT算法在这三种算法中精度最高，误差最小，同时计算量也较少，更适用于电网谐波和间谐波的实时检测分析。

以上三种算法测得的幅频信息如表2、表3所示。

表2 幅值参数的仿真结果

表3 频率参数的仿真结果

根据以上仿真结果证明，本文提出的将去噪和检测优化组合的算法可以完成现场采样信号的基本去噪与准确检测，与理论分析的预想基本相符。

3 结束语

本文利用加窗插值算法解决了间谐波带来的频谱泄露和栅栏效应，又为进一步提高检测精度及抗干扰能力，加入了改进后的小波阈值去噪算法。一方面实现了较好的信噪分离，另一方面提高了间谐波成分的检测精度。最终通过仿真比较，证明了该优化方案具有良好去噪、简化计算和检测准确等优点，为后续的谐波抑制与补偿做了良好的前期准备工作。但考虑噪声信号与间谐波真实信号之间可能会存在相互干扰，本算法还需要更多的实际论证。