以数列证明问题为例谈逻辑推理素养培养

☉江苏省启东市汇龙中学 沈 辉

数学证明指的是在一个数学理论体系中，根据一定的规则或标准，依据确定其为真的命题推出另一命题真假的数学推理过程.数学证明是学习数学概念、命题、推理的关键活动，也是高考中考查考生逻辑推理素养的重要手段.数学证明问题在高考试卷中经常以函数导数、数列、不等式为知识载体，给出某些条件证明结论成立，条件是起点，结论是终点，依据学过的真命题（公理、定理、性质等），按照演绎推理的形式把起点和终点连接起来.在命题者所提供的标准答案中，从条件到结论，证明的是那么自然流畅、顺理成章，但学生在做题的时候却步履维艰、困难重重，要用到哪些命题？怎么想到的？如何组织语言？所以，要真正让学生学会分析问题完成证明，提高学生的推理论证能力，教学中教师应着重从学生的这些困惑之处设计，展开分析.下面，笔者以“高考中数列的证明问题”为例，谈谈自己在教学中的一些做法和体会.

一、等差数列的证明问题

例1（2011年江苏高考题改编）设M为部分正整数组成的集合，数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意整数k∈M，当n＞k时，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）都成立.设M={3，4}，求证：数列{an}是等差数列.

分析：第一步，看求证，我们会问：证明等差数列有哪些依据？

证明一个数列是等差数列有两个依据：（1）等差数列定义an-an-1=d（n≥2，n∈N*）；（2）等差中项定义2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N*）.

第二步，看条件，已知关系式与上述依据有差距，需要转化，怎么转化？为什么要这样转化？

注意到等差数列的两条证明依据里都是{an}中连续的项的关系，而已知关系式给出的是{Sn}中项的关系，所以要转化到{an}中去.常见的转化方法是“差分法”，即以n+1代替n构造一个式子，再两式相减.为什么要两式相减呢？因为Sn是数列{an}的项相加得到的，所以{Sn}的项相减就变成了{an}的项之间关系.

因为当n>k时，Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk），①

所以以n+1代替n得，Sn+1+k+Sn+1-k=2（Sn+1+Sk）.②

②-①得，an+1+k+an+1-k=2an+1.

所以，令k=3有an+4+an-2=2an+1，n＞3；③

令k=4有an+5+an-3=2an+1，n＞4.④

第三步，看③和④式中的项数（下标），能用自己的语言描述它们的数学意义吗？

③式中的三个项数按从小到大排列为n-2，n+1，n+4，相隔3项.

又n从4开始，所以③式表示数列{an}从第2项开始每隔3项是等差数列，设其公差为d1，则有：

an+4-an+1=d1，n≥2.⑤

类似的，④式表示数列{an}从第2项开始每隔4项是等差数列，设其公差为d2，则有：

an+4-an=d2，n≥2.⑥

⑥-⑤，并记d2-d1=d得，an+1-an=d，n≥2.⑦

第四步，⑦式能说明数列{an}是等差数列吗？如果不能，还要证明什么？

⑦式只能说明数列{an}从第2项开始是等差数列，所以还要证明首项满足等差规律，即a2-a1=d.因为在作差过程中，n的范围不断缩小，所以首项要看初始的关系式.

由①得，（Sn+k-Sn）-（Sn-Sn-k）=2Sk，分别令k=3，4得：

2S3=（an+3+an+2+an+1）-（an+an-1+an-2）=9d；⑧

2S4=（an+4+an+3+an+2+an+1）-（an+an-1+an-2+an-3）=16d.⑨

所以an-an-1=d（n≥2，n∈N*），故数列{an}是公差为d的等差数列.

第五步，解后反思：（1）利用“差分法”，先差分将含Sn的式子化成只含有an，再差分得到an-an-1=d（n≥2，n∈N*）或2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N*），从而证得{an}是等差数列；（2）注意差分时表示项数的n的范围变化，每次相减应取n的公共范围；（3）数学证明是要给别人看的，书写要清晰、简洁.

变式：（2006年江苏高考题改编）已知数列{an}，{bn}，{cn}满足：bn=an-an+2，cn=an+2an+1+3an+2，若数列{cn}是等差数列，且bn≤bn+1，n∈N*，求证：{an}是等差数列.

证明：设{cn}的公差为D，则有

①-②得，bn+2bn+1+3bn+2=-2D.③

将n+1代替n，由③得，bn+1+2bn+2+3bn+3=-2D.④

③-④得，（bn-bn+1）+2（bn+1-bn+2）+3（bn+2-bn+3）=0.

因为bn≤bn+1，n∈N*，所以bn-bn+1≤bn+1-bn+2≤bn+2-bn+3≤0.

所以bn-bn+1=0，即{bn}是常数列，不妨设bn=-2d，则an+2-an=2d.

所以数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以2d为公差的等差数列.

因此只需证明a2-a1=d.

根据题意有，c1=a1+2a2+3a3=4a1+2a2+6d；

c2=a2+2a3+3a4=2a1+4a2+10d；

c3=a3+2a4+3a5=4a1+2a2+18d.

上述三个式子代入2c2=c1+c3得a2-a1=d.因此，数列{an}是等差数列.

二、等比数列的证明问题

例2（2016年江苏高考题）记U={1，2，…，100}，对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T=∅，定义ST=0；若T={t1，t2，…，tk}，定义ST=at1+at2+…+atk.例如：T={1，3，66}时，ST=a1+a3+a66.现设公比为3的等比数列{an}（n∈N*），且当T={2，4}时，ST=30.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：ST＜ak+1；

（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：SC+SC∩D≥2SD.

分析：读懂题目后，第（1）问容易解得an=3n-1，过程略；第（2）问中，集合T是{1，2，…，k}的子集，所以ST≤Sk，要证ST＜ak+1，则只须证Sk＜ak+1成立.那么对于一般的正项等比数列，an+1与Sn之间有什么关系呢？

设正项等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，因为（q-1）Sn=a1qn-a1＜an+1，所以an+1＞（q-1）Sn.等比数列的这一性质，不仅可以提高我们对等比数列增长特征的认识，而且在等比数列的推理论证中也很有用.

当q＞2时，an+1＞（q-1）Sn＞Sn，第（2）问得证.

对于第（3）问，若D=∅，则C∩D=∅，结论显然成立.

若D≠∅，则C≠∅，设集合C中最大元素为i，集合D中最大元素为j.因为q-1=2，利用上述性质，SC≤Si＜2ai、SD≤Sj＜2aj.所以看SC，SD的大小，关键是抓住两个最大项ai，aj的大小.

①若SC=SD，则i=j.否则i≠j，不妨设i＞j，则i≥j+1，所以SC≥ai≥aj+1＞2Sj＞SD，矛盾.在集合C、D中去掉元素i、j后得到集合C1、D1，则SC1=SD1，设集合C1、D1的最大元素分别为i1、j1，同理可知i1=j1.依次类推，得C=D，所以SC+SC∩D=2SD，结论成立.

②若SC＞SD，则i＞j，即i≥j+1⇒SC≥ai≥aj+1=3aj；由上述性质继续推理，3aj=2aj+aj＞2aj+2Sj-1=2Sj≥2SD，因此SC≥2SD.又SC∩D≥0，所以结论成立.

三、体会与感悟

数学证明是数学本身的有机组成部分，也是数学教学的重要内容之一.通过对数学证明的学习，学生能够更好地理解和应用所学的数学知识，锻炼从繁杂的信息中读出联系、形成自己的认识，提高逻辑推理素养，塑造理性的品格.通过数学证明问题的教学，师生在共同探求由条件到结论的分析、推理过程中，促进学生积极思考，在更高层次上发展学生的思维能力，在追求证明的表达简洁的过程中，使学生学会演绎推理的一般规则，学会用数学语言表达自己的思维成果，培养了学生严谨求实的科学精神.