问题驱动，自然构建——由一堂课引发的思考

☉安徽省合肥市第四中学 唐爱民

张奠宙先生说过数学有三种不同的形态，第一种是数学家在创建数学结构过程中的原始形态；第二种是整理研究成果之后发表在数学杂志上、陈述于教科书上的学术形态；第三种是便于学生理解学习、在课堂上出现的教育形态.数学课堂教学就是要把抽象的第一、第二种形态转化为易于学生理解与接受的第三种形态，即教育形态，其中构建自然流畅的教学过程是实现这一转化的关键.最近，笔者观摩了一堂关于“数学归纳法”的公开课，纵观整个教学流程，发现还是有一些地方值得商榷的.

一、教学主要过程简介

1.创设情境，引入新课

故事情境：从前有个财主，虽有万贯家财，但几代都没人识字.这年，他请来一位先生，在家教儿子读书.先生上第一课时，先教写字.他写一画说是“一”字；写二画，说是“二”字；写三画，说是“三”字.教到这里，财主的儿子就把笔一掷，兴高采烈地跑去告诉父亲，说：“我全学会啦，我全学会啦！爹你快把老师辞退吧，不要破费钱财呀！”财主听了很高兴，真的打发走先生.过了不久，财主要请一个姓万的朋友吃酒，他就叫儿子起来写请帖.谁知过了半天，财主还不见儿子把请帖写好，便去催促他.儿子抱怨那人说：“天底下那么多的姓，他什么也不要，偏偏要姓‘万’的，害得我从早晨到现在，才写完五百画.爹，你说气人不？”

数学情境：12-1+11=11，22-2+11=13，32-3+11=17，42-4+11=23都是质数，于是就有人得出结论：任何形如n2-n+11的数都是质数？你认为这个猜想对不对？

设计意图：一方面，通过以上两个情境让学生了解什么是归纳法、归纳推理的特点；另一方面，通过运算让学生认识到归纳法存在的缺陷，引发学生的认知冲突，为后续的学习做好必要的思维铺垫.于是，教师就可以自然地提出“对如何优化归纳法”的思考.

2.动手操作，发现原理

教师为每个学习小组发放了一副多米诺骨牌，学生在“玩”的同时思考：多米诺骨牌全部倒下需要满足什么条件？

通过动手操作，学生提出了：必须有一块骨牌先倒下、骨牌的间隙不能太大、骨牌要排列整齐、骨牌要光滑等条件.

经过教师的引导，最后得到骨牌全部倒下的充分条件：第一块骨牌必须先倒下；前一块骨牌倒下必须能够碰到后一块骨牌.

设计意图：让学生在“玩中学，学中玩”的同时发现隐藏在背后的数学原理，这样的一种发现方式对学生来说是“有趣的”，能够调动学生的学习兴趣，并且能够让学生体会到数学与生活的联系.

3.抽象类比，形成方法

类比“多米诺骨牌”倒下的充分条件，可以得到证明上述结论的步骤.

第一块骨牌倒下：n=1时，等式成立；

前一块骨牌倒下后一块骨牌也倒下：n=k时，等式成立→n=k+1时，等式也成立.

经过师生的共同讨论，最后得到数学归纳法的一般步骤.

设计意图：通过类比，让学生经历感受、体验、领悟、深化的思维过程，从而实现从感性认知到理性思考的升华.

最后，进入方法应用环节.教师布置两道例题（证明等式、证明不等式），让学生用数学归纳法进行证明，通过纠正学生的错误，规范书写格式.

二、引发的教学思考

作为高中数学的经典课例，有关“数学归纳法”的教学探讨一直没有停止，如何让教学设计更加自然、符合学生的认知规律也一直是广大一线教师努力的方向.虽然本节课的设计有很多可圈可点之处，但总体上还是不够“自然”.

1.“数学归纳法”不同于“归纳法”

本节课不是概念课，也不是习题课、公式定理课，而是“数学思想方法”课.通过本节课的学习，要让学生掌握一种全新的思想方法，并认可其合理性、科学性，教学难度不言而喻.但不论什么课型，教师的教学必须立足于学生已有的认知经验，那么“数学归纳法”的认知基础是“归纳法”吗？两者从字面上看就差了两个字，看似是同一回事，其实不然.归纳法是从特殊到一般的推理过程，是通过特例来发现一般规律，它的适用范围不仅是数学学科，而是所有的科学研究.而数学归纳法仅仅是在数学中用来严格证明某一类命题的数学方法.归纳法是以获得结论为目标，而数学归纳法是以“皮亚诺自然数大理中的归纳公理”为理论基础的一种数学证明方法，追求的是过程的严密性.因此，归纳法与数学归纳法是有本质区别的.在本课中，把数学归纳法作为归纳法的一种拓展或者优化是值得商榷的.这样的做法，很容易让学生把归纳法与数学归纳法等同起来，从而在实际应用中出现一系列的问题.

2.“多米诺”骨牌不是数学归纳法的本质

在很多课例中，都把“多米诺”骨牌游戏作为发现、提炼数学归纳法的情境，教材也是这样处理的.但实际上，“多米诺”骨牌现象并非数学归纳法的本质.数学归纳法的出现要早于“多米诺”骨牌游戏，也就是说数学归纳法并不是从“多米诺”骨牌游戏中获得灵感的，只是类比发现“多米诺”骨牌效应中隐藏着“从一到多，从有限到无限”的数学原理，于是，就把“多米诺”骨牌游戏作为揭示数学归纳法的载体.但在实际教学中，这也是教师的“一厢情愿”而已.正如本节课中所出现的，在探讨让“多米诺”现象成功发生的条件时，很多学生却提出了“骨牌要排列整齐、骨牌要光滑”等类似的“无效”条件，这就充分说明了从“多米诺”骨牌游戏中提出“数学归纳法”有多难.

三、问题驱动，自然构建

那么本节课该如何设计？关键是要明确数学归纳法的本质.数学归纳法的本质其实就是“递推”，其证明步骤呈现的就是一个递推的过程.它的教学难点是如何从“有限”上升到“无限”，而数学中往往用“任意”过渡到“无限”，这就是证明步骤中为什么有“假设k”，因为“k”是任意的，任意都成立，从而推出所有都成立.明确了上述两点，本节课的自然构建也就不成问题了.

1.直面问题，引发思考

问题：已知数列{an}中，a1=1，且满足N*），计算a2，a3，a4，由此推测数列的通项公式an，并给出证明.

设计意图：通过计算a2，a3，a4的值，让学生经历归纳猜想的过程；猜想获得公式后，引发学生对于如何进行严格证明的思考.并且，本题原本就包含了一个明显的递推公式，其作用就是利用an可以求得an+1，即已知前一项可以获得后一项的结果，学生经过运算，不断地经历这样的一种“递推”的过程，然后教师再进行适当引导，类比就很容易从形式上与数学归纳法建立联系.

2.联系生活，发现原理

上述问题已经具备了提炼数学归纳法的基本要素，但要让学生直接从中得出数学归纳法的证明步骤，显然难度太高.联系生活中的一些常见现象，可以降低思维难度.

摸球问题：一个袋子里面装了很多球，如何确定里面装的全是红球？

问题1：摸1个球，发现是红球能否说明里面装的全是红球？

问题2：摸出2个球，3个球，4个球都是红球能否说明里面装的全是红球？

问题3：需要摸出几个球是红球才能说明里面装的全是红球？

设计意图：通过简单的生活例子，引发学生对于“数学归纳法”做出最原始的思考.显然，摸出“几个”球是无法得到“全是红球”的结论的，最直接的办法就是把所有的球都确认一遍.如果球的数量很多，这种“枚举”的方法效率太低.但无论如何，第1个球必须是红球，如果不是就可以直接得出否定的结论.这就是数学归纳法的第一步“n=1”，这一步是证明的开始，是不可或缺的.

问题4：能否通过足够少的摸球次数就能确定“全是红球”的结论？

设计意图：显然，这种办法在现实中一般是不可能办到的，除非能够证明任意两个球之间都存在着某种“传递”关系，“前一个球是红色能够推出下一个球也是红色”，这就是数学归纳法中的“递推”关系.最后，回到“数列通项问题”，类比“摸球”现象，提炼出数学归纳法证明的一般步骤，这样的教学设计就会显得很自然.

教无定法，贵在“自然”.教学不是方法的灌输，也不是技巧的训练，而是在丰富的情境下，通过问题驱动，让学生体会到每一个数学概念的出现，新知识、新方法的产生，从而实现学生思维的自然构建.