该分则分——浅谈初中数学问题中的分类讨论

福建省晋江市金山中学 林丽娜

一、分类讨论遵循原则

分类讨论所包含的中心思想主要是指如何对问题进行合理分类，要做到合理分类，首先需要遵循四个基本原则：

(一)同一性

进行分类必须按照明确同一的标准，不能同时通过几个不同的标准进行分类，否则思路会更加混乱。

例如:三角形主要分为锐角三角形、等腰直角三角形、等边三角形、钝角三角形

在对三角形进行分类时，不能按照边分的同时又按照角进行分类，这样很容易造成分类的混乱，从而影响解题思路。

(二)全面性

进行分类讨论时必须考虑全面，主要指分类后子项的外延之和应等于母项的外延，而不能出现母项外延遗漏的现象。

很明显，分类后丢掉了的情况，造成分类后子项的外延出现了遗漏，导致分类不完整。

（三）互斥性

分类后的每项都应互不包含，达到相互排斥，如果分类后出现一些事物既属于这个范围，又同时属于那个范围，这样就造成子项外延重叠的现象。

这里，a=0被两个范围同时包含，这也就是违背了子项外延互斥性的原则。

(四)逐级性

简单的数学问题可能只需要一次分类，相反复杂的数学问题则会需要多次进行分类。多次进行分类主要是因为被讨论的对象较为复杂，需要将首次分类后的子项重新进行分类，直至满足需要为止，从而达到能够解决整个数学问题的目的。

例如，对方程ax2+ (a+ 1 )x+1 = 0的解的讨论，要进行多次分类讨论。先对a是否等于0进行第一次分类讨论，当a=0时a，＞方 0，程a为＜一0元一次方程，有唯一解。但a≠0时又要分为 进行第二次分类讨论。当a＞0时，又要对两个根的大小进行第三次分类讨论。

二、不同问题中的分类讨论

分类讨论主要指的是将数学问题划分为若干情况，然后逐一求解的过程。数学例题中求解过程的不确定性是引起分类讨论的主要原因。如果问题中的条件不能够使我们得到一个准确的答案或者没有办法求解释，这就表明需要运用分类讨论思想进行解答。分类讨论思想解题的根本实质，主要指的是将整体这个大问题分解成几个小问题来解决，化成小问题之后，就增加了问题的解题条件。这不仅与数学问题相关，还影响我们的现实生活，无论什么问题，都有可能因为有一定的变数从而使得结果模糊，但是当我们把变数一旦明晰化，就是增加了一个甚至多个解题条件，就可以得到确定的答案。

分类讨论的基本要求是不重复、不遗漏。然而，初中数学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题，从近几年的中考阅卷中发现，学生在解此类问题时，常常是不知道要进行分类讨论，或者知道了要分类讨论却考虑不周全，导致解答此类问题时得分率偏低。究其原因，主要是平时对“分类讨论”的数学思想渗透不够，学生对分类讨论思想的运用不熟练。以下就四个常见的问题，分别举例说明。

（一）绝对值问题

绝对值是初中代数中的一个基本概念，在绝对值问题中主要是因为数不确定正负即表示数的点不确定在原点的哪一侧而需要进行分类。

例1：已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，两点之间的距离为12，求这两个数；

分析：因为数轴上表示这两个数的点不确定位置，所以应该分为在原点的同侧或两侧，在这两个分类中数都还要再分为正数或负数。

解：设甲数为m，乙数为n，由题意得：

（1）数轴上表示这两数的点在原点两侧：

若m在原点左侧，n在原点右侧，即m＜0，n＞0，则4n=12，所以n=3，m= -9。

若m在原点右侧，n在原点左侧，即m＞0，n＜0，则-4n=12，所以n=-3，m=9。

（2）数轴上表示这两数的点在原点同侧：

若m、n在原点左侧，即m＜0，n＜0，则 -2n=12，所以n=-6，m=-18。

若m、n在原点右侧，即m＞0，n＞0，则 2n=12，所以n=6，m=18。

综上所述：这两个数为3，-9或-3，9或-6，-18或6，18。

（二）应用问题

在应用问题中，分类讨论主要是由于变量的不同取值会导致不同结果。解决这类问题时，要做到分析清楚问题中变量在整个过程中会造成质变的临界点，即变量的不同取值会对问题产生哪些不同的结果，把它们一一罗列出来，系统地分类，才能正确求解。

（三）方程问题

方程知识是初中数学知识的重点及基础，它涉及到一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，分式方程等，这些不同类型的方程之间又可以互相转化。解此类问题的关键是理清概念，在解题时应注意概念的重要性。学生解此类问题的错误往住是由于不细心审题，没有弄清已知条件中的各种可能情况而急于解题所造成。只有审清了题意，全面、系统地考虑问题，才可以确定出各种可能情况的分类框架，分类时也能做到条理清楚，解答此类问题就不易造成漏解。

例2：已知方程（a- 3xa-1+x2-3 = 0）。是关于的一元二次方程，求的值。

综上所述，a的值为-1，0，1，2或3

（四）圆的问题

针对这种例题非常容易产生遗漏的现象，主要因为考虑不周全，联想不到如何使用分类讨论。正确解答此类问题的关键是必须熟悉符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，准确地画出图形。解决此种例题的关键是拥有熟练的画图能力和空间想象能力，平时应注意多操作、多探索，提高动手能力和实践能力。

三、概括

初中数学的全部知识点都会需要运用分类讨论思想，解题的关键首先要清楚分类的起因，知晓分类讨论的对象以及分类的标准，按照所有可能出现的情况都要做好准确的分类，然后再分别求解，最后归纳综合，从而得到正确答案。数学中的分类讨论思想不仅可以培养学生思维的连贯性和有序性，更能够培养学生完整细致地分析问题的习惯和探索问题的能力，从而对养成学生严谨的思维品质有较大益处。