对光电门测量的“动能增加量”及“加速度”的误差讨论

周 勇 郑 丹

(深圳实验学校高中部,广东 深圳 518055)

1 问题的引入

例1.(山东省青岛市2015届高三下学期一模考试·理综物理第21题)某实验小组利用图1所示的实验装置验证机械能守恒定律．小钢球自由下落过程中,计时装置测出小钢球先后通过光电门A、B的时间分别为tA、tB,用小钢球通过光电门A、B的平均速度表示钢球球心通过光电门的瞬时速度．测出两光电门间的距离为h,当地的重力加速度为g,小钢球所受空气阻力可忽略不计．

图1

原题第3问的部分内容如下.

(3)实验中小钢球通过光电门的平均速度(选填“大于”或“小于”)小钢球球心通过光电门时的瞬时速度,导致动能增加量ΔEk总是稍________(选填“大于”或“小于”)重力势能减少量ΔEp,且随小钢球下落起始高度的增加,误差越来越________(选填“大”或“小”)．

试题所给的参考答案为:小于、小于、大．

原试题没有给出详细解答,网上流传的解析如下:由于小钢球做匀加速直线运动,平均速度等于中间时刻的速度,中间时刻的速度小于中间位置的速度,因此平均速度小于小钢球球心通过光电门时的瞬时速度,从而导致动能增加量ΔEk小于重力势能减少量ΔEp．

根据题意,如果只考虑光电门测速原理而不考虑其他因素的影响,那么小球重力势能的减少量ΔEp的测量值应该是准确的,并且等于小球动能增加量的真实值ΔEk真.上述解析其实只说明了通过光电门测得的小球在某个状态的速度比实际值小,从而导致小球在某个状态的动能偏小.而题目中设问的“动能增加量ΔEk”是指末状态动能测量值与初状态动能测量值之差ΔEk测,它与某个状态的动能并不是一个概念．因任意两个状态通过光电门测得的动能都比实际值偏小,所以由此并不能很直接的看出“动能增加量ΔEk”的误差情况如何.下面我们进一步分析说明“动能增加量ΔEk”的误差情况到底如何．

2 分析与说明

我们知道,光电门以及与其配合使用的滑块或挡光片都有一定的宽度,此时不能视为质点,但只要我们研究的物体不发生形变,那么其精确位置可以用该物体上任何一个确定的点的位置来代表．以图1(甲)中的装置为例,显然,最能方便的代表光电门精确位置的是光电门的发光孔所在的位置,最能方便的代表小球精确位置的是球心所在的位置．所以,小球通过光电门时的瞬时速度其实就是指其球心刚好运动到光电门发光孔位置时的速度．又由于小球通过光电门的过程中所发生的位移大小等于小球的直径,那么其球心运动到发光孔处的位置刚好就是它在这个过程中所通过的位移的中点,因此,小球通过光电门时的瞬时速度v其实就是它通过光电门过程中位移中点处的瞬时速度．而我们通过小球直径d除以挡光时间Δt得到的速度v测得到的是小球通过光电门过程中的平均速度,因小球做匀变速直线运动,此时它又等于小球通过光电门这个过程的始末速度的算术平均值．

2.1 理论推导

图2

如图2所示,设小球做匀加速直线运动的加速度大小为a,其最下端靠近光电门A的发光孔(即挡光开始)时的速度为vA1,最上端离开(即挡光结束)时光电门A的发光孔时的速度为vA2,其最下端靠近光电门B的发光孔时的速度为vB1,最上端离开光电门B的发光孔时的速度为vB2．设滑块经过光电门A和B时的瞬时速度的真实值分别为vA和vB,测量值分别为vA′和vB′,则有

此过程中滑块“动能增加量”的真实值为

测量值为

两式相减,可得

设滑块(挡光片)经过光电门A和光电门B所经历的时间分别为ΔtA和ΔtB,则有

显然,ΔtA>ΔtB,可得ΔEk测>ΔEk真,而ΔEp=ΔEk真,故用小钢球通过光电门的平均速度代替其球心通过光电门时的瞬时速度,将导致其动能增加量的测量值ΔEk测总是稍“大于”重力势能减少量ΔEp,而并非答案所给的“小于”．

通过解析的方法来分析“随着小钢球下落起始高度的增加,误差情况如何变化”会比较繁琐,为了直观地说明此问题,笔者采用了数值作图的方法来加以说明．

2.2 数值作图

若取小球质量m=20 g,直径d=1.5 cm,光电门A、B之间的距离L=0.45 m,设小球释放时其下边缘到光电门A的发光孔的高度为h,忽略其他因素,则有

ΔEp=mgL,

取g=9.8 m/s2,基于上述原理,当小球释放高度h取不同值时,通过Excel计算出对应数据并作出小球动能增加量ΔEk测和其重力势能减少量ΔEp(等于ΔEk真)随h变化的图线,如图3所示．从图3也可看出,小球动能增加量的测量值ΔEk测“大于”重力势能减少量ΔEp,并且随着小钢球下落起始高度的增加,误差越来越 “小”,而并非答案所给的误差越来越“大”．

图3

综上所述,原题第(3)问所给的参考答案只有第一空是对的,后面两空都不对.

3 拓展与应用

由光电门测量的速度进而计算出来的常见物理量,除了(例1)中的动能增加量ΔEk,还有大家熟悉的“加速度a”．

取小球直径d=1.5 cm,光电门A、B之间的距离L=0.45 m,当小球释放高度h取不同值时,通过Excel计算出对应数据并作图,如图4所示．

图4

图中a是小球下落时加速度的真实值,a1是依据位移公式得到的加速度测量值;a2是依据加速度定义式得到的加速度测量值,其中的tAB取的是小球从靠近光电门A的发光孔(即开始挡光时刻)到靠近光电门B的发光孔之间的时间间隔;a3也是依据加速度定义式得到的加速度测量值,但其中的tAB取的是小球从离开光电门A的发光孔(即挡光结束时刻)到离开光电门B的发光孔之间的时间间隔．

由图4可见,用光电门测量匀变速直线运动物体的加速度时,如果仅考虑挡光片宽度的影响,在计算方法和时间间隔的取法不同时,加速度测量值的误差情况有所不同,但是随着小球释放高度的增加,加速度的测量误差都会越来越小,并且在释放高度一定时,根据位移公式得到的加速度测量值比根据加速度定义式得到的加速度测量值的误差要小．

4 结语

考虑挡光片宽度的影响时,做匀变速直线运动物体的“动能增加量”以及“加速度”的测量值的误差情况一般比较复杂.笔者认为该误差分析可以以思考题的形式留给学生进行自主探究,不宜以考试题的形式来呈现,不当之处,敬请批评指正!