浅谈平面直角坐标系内三角形的坐标面积公式的推导及应用

云南省昆明市宜良县第二中学 李春红

初中阶段求三角形面积的方法有很多，常见的有直接计算法与割补法.本文在此基础上总结出一种利用坐标计算三角形面积的方法，对涉及平面直角坐标系中三角形面积问题时，用这种方法计算能省时省力.

一、平面直角坐标系内三角形的坐标面积公式的推导

例1，如图，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)，求S△ABC.

解：过点A 作EF∥x轴，分别过点B、C作y轴的平行线交直线EF于点E、F，

把上式中的xAyB、xByC、 xCyA、yAxB、 yBxC、yCxA分别记为①、②、③、④、⑤、⑥，则三角形ABC的面积公式可以表示为：

如果把三角形ABC的三个顶点的坐标按逆时针排序如下：

则公式S△ABC=[(①+②+③)-(④+⑤+⑥)]可以描述为：三角形三个顶点的坐标逆时针排序一周，则这个三角形的面积等于“大跨度积之和”与“小跨度积之和”之差除以2.

如果把三角形ABC的三个顶点的坐标按顺时针排序如下：

二、三角形坐标面积公式的应用

(一) 求定点三角形的面积

例2，已知，三角形三个顶点的坐标分别为A(-2，3)、B(6，-1) 、C(4，5)，求S△ABC.

解法一(点的坐标逆时针排序一周)：

△ABC公式)

解法二(点的坐标顺时针排序一周)：

∴S=-1[(⑥+⑤+④)-(③+②+①)](三角形坐标面

△ABC2积公式)

=-12[(-10-4+18)-(12+30+2)]

=-12×(-40)

=20

(二) 求动点三角形的面积

例3，如图，在直角坐标系中，直线AB与抛物线y=x2+x的交点A、B的坐标为A (-1，0)、B(1，2).

(1)在抛物线上是否存在点Q (x，y)，且-1＜x＜1，使S△ABQ最大？若存在，求出点Q的坐标和S△ABQ的最大值；若不存在，请说明理由.

(2)在抛物线上是否存在点P，使S△ABP=2？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)结论：存在.

理由：∵点Q的坐标为(x，y)，且在抛物线上，

∴Q点的纵坐标y=x2+x，

△ABQ三个顶点的坐标逆时针排序一周如下：

△ABQ积公式)

∴满足条件的点Q的坐标为(0，0)，S△ABQ的最大值为1.

(2)结论：存在.

理由：设点P的坐标为(x，y)，且在抛物线上，

∴P点的纵坐标y=x2+x，

以上△ABP三个顶点的坐标排序可能是逆时针(x＜-1或x＞1)，也可能是顺时针(-1＜ x＜1)，

可得两个方程：x2=3，x2=-1(无解)，

解x2=3，得x1=-，x2=，从而可得y1=3-，y2=3+.

∴满足条件的点P的坐标有两个点P1(-,3-)、P2(，3+).

总之，三角形的面积用坐标的形式公式化以后，可为学生提供解决定点简单问题和动点复杂问题的通法，对解决实际问题起到事半功倍的作用.