类比方法：科学知识的拓展

吴以义

确定两个静电荷之间作用力大小的定律，是法国人查理·奥·库伦1777年提出来的。如果是单位电荷，则可以简单地说，f∝1/r2，即力和电荷间距离的平方成反比。

库伦出生在外省，1758年迁居巴黎。一年后考入皇家军事工程学院，学习土木工程。毕业后被派到法国在加勒比海的海外省马提尼克。库伦在那儿负责修建工事，一忙就是8年，最终因为健康原因回国。生活渐趋安定，而又无碉堡要塞可造，库伦遂潜心研究他所称的“物理问题”。

在稍早的文章中，库伦记录了11项实验，报告了几年来他对金属丝和扭力的关系所做的研究。由此得到的关于金属材料的知识，帮助他发明了一种“秤”，可以用来测量非常小的力。1785年，在一系列7篇论文的第1篇中，库伦描述了他利用扭力秤测量同性静电荷之间的斥力的3次实验。在第1次试验中，两球之间的斥力造成的偏转是36°，利用扭力秤，库伦得出这一偏转所相当的作用力为1/3 400的“格雷姆”，1“格雷姆”约为 0.064 8克。第2次取18°，这时“两球的距离只是第1次的一

半，可是后者的斥力却4倍于前者”。在第3次试验中，两球相距只有8.5°，结果全部扭力4倍于第2次试验，而第3次试验中两球的距离，则比第2次试验的距离的一半还少半度……这3次试验的结果说明，两球带有同性电以后，它们之间的斥力，与两球距离的平方成反比。

毫无疑问，这是精密的实验，得力于库伦创制的精密的扭力秤，库伦由此名垂史册。问题是，这就是证明吗？的确是，刊登在1788年《法兰西科学院研究报告》的第578页上。但是，这儿一共只列举了3次实验，而且第3次中的重要参数8.5°较之他谈论的“一半”还差半度，几乎差了5.5%，“平方反比”的基础真如我们所相信的那么可靠吗？

库伦以降，历代物理学家力图通过实验来夯实这儿“平方反比”的基础，其中最重要的成果可简略地胪列如下：

原来，我们所谓的“平方反比”，最初是通过实验建立起来的。那么库伦为什么有信心马上认定指数是2，而不是2.1或1.9呢？库伦没有回答这个问题。他不是理论家，他所受的教育是军事工程，他的强项是动手干。

库伦去牛顿逝世约50年，这时欧陆的物理学，正笼罩在牛顿的辉煌之中。按牛顿，两个质点之间的万有引力和它们之间的距离成平方反比。既然引力有如此关系，而静电荷实验的实测又差不多是2，那么假定它为2应当不致大错，这大概就是库伦的逻辑了。这种推理方法常被称为“类比”—— “既属同类，自当可比”之谓也。

那么，向前倒溯，牛顿的平方反比又是从哪里来的呢？牛顿说，早在1666年，他就 ——

物理学家 实验年代 指数2的可能误差C. A. Coulomb 1777 ±4x 10-2 J. C. Maxwell & D .M. MacAlister 1873 4.9x 10-5 S. J. Plimpton&E. Lawton 1936 2.0x 10-9 D. F. Bartlett & P. E. Goldhageb 1970 1.3x 10-13 E. R. Williams，经 L. P. Fulcher 重算 1985 1.2 x 10-16

从开普勒关于行星公转周期同它们到各自轨道中心的距离成3/2次方比的定律中推出，把行星保持在它们的轨道上的力必与它们绕之旋转的中心到行星的距离的平方成反比……

这是牛顿50多年以后的回忆，不太准确：可能因为年久而模糊，可能因为虚荣而夸大。的确，1665—1666年间的一份手稿表明，牛顿利用开普勒第三定律即 r3∝T2和惠更斯的离心力公式 f ∝v2/r，得到过 f∝1/r2，这儿r是行星距其环绕的中心天体的距离，T是运行周期，v是其运行的线速度，常为 2πr/T。但是，行星运行的真实情形并非如此简单—— 远非如此。要证明天体之间的万有引力是依平方反比作用的，牛顿还有很长的路要走，其中有好几个棘手的问题。

首先，牛顿的简单优美的数学推演是对圆轨道而言的，要把这一结论扩展到椭圆轨道，绝非易事；为此，他还要花将近10年的时间去发展必要的数学工具。其次，他还要证明对于理论计算而言，可以假定天体的全部质量都集中在其中心的一个点上，这对于定义问题中至关重要的“距离”当然是必不可少的。再次，计算中涉及的一系列数据，如月地距离，尚自远未准确测得，致使计算值和实验测得的实际数值，相差大至15%，并不如牛顿所称的“密合”，也谈不上“验证”。至此，我们只能说，牛顿1666年的笔记和他1718年的回忆，实际上是从圆轨道和开普勒定律导出平方反比的特例。他的成绩虽然确乎颖异，但如何把它推广为普适的定律，尚需时日。

1670年代好像有些沉寂。1679年，罗伯特·胡克接任皇家学会的秘书，写信给牛顿，重提引力作用问题。胡克常被称为当时仅次于牛顿的实验物理大师，成果丰硕，但其为人行事令人讨厌殊甚。这倒不只是他形容猥琐，言语傲慢，而是他处处与人争功，掠人之美。在1679年12月13日给胡克的信中，牛顿以引力是“均匀作用的”为基本假定，测算了坠向地心的重物的下落轨迹。胡克立即在次年1月3日的回信中纠正说，重力作用应该是平方反比的；他没有给出证明，但信心满满，好像引力必定是如他所说的作用一样。两个星期之后，胡克再次穷追猛打，指责牛顿的“均匀作用”，强调“平方反比”。但是他的数学能力也让他走到了头：他始终无法证明他已经猜到的结论，最终只好把完成这份“天文学的至高成就”的光荣让给

了牛顿，请求后者用“绝妙的方法”算出在引力作用下天体运行的轨道。

既然他没有能力证明“平方反比”，又是什么让胡克对此笃信不疑呢？他自己解释道，这是来自对光的研究：

接下来是两条伟大的运动定律的描述…… 第一条关于光，第二条关于重力。

为什么单列这两条呢？胡克引《创世记》说，上帝先是创造了光，然后是大地—— 这是创世最初3天的事，而与之相连接的作用，就是光和重力。“这两种力量似乎构成了世界万物的灵魂……没有任何一事不在一定程度上兼有两者……”“光的传播是物体的作用，不是神灵，光的作用在传播中是一种和距离成平方反比的扩展……其他有形物体的作用一样遵从相同的定律……”

容易证明，在包围光源的球面上，光的强度的确是随球的半径的平方衰减的；但从光强度和距离的平方反比直接得出了引力的作用也是平方反比，胡克的类比逻辑在现代读者看来却多少有些匪夷所思。在他那儿，这一跳跃的基础是神的创造：神在创世时一口气造了光和陆地，它们的运作应该是一样的。说实在的，在他那时候，胡克还真不是奇葩。先胡克30年，1645年，法国人布里阿就作过相似的类比：

太阳得以挟持众行星的力量…… 变得越来越弱，巨大的距离，或者叫间隔，消弱了它，而它减弱的速率和光的情形一样，即以平方的方式，反比于距离 ……

胡克知道布氏，但在谈论光和引力的类比时，没有明白地引述他，所以倒也不好断言他们是否有承继关系，牛顿倒确实提到过布氏的“平方反比”。由库伦到牛顿到胡克和布里阿，这些类比的基础是什么呢，或者说，推理的这一连串的飞跃是如何实现的呢？

牛顿面对的是整个大自然。在他看来，正如他后来多次强调的，“自然本来就是和谐的”，种种类比的基础正在“自然现象相通相联”的信念之上。但在另一方面，尽管类比方法在开拓视野，启迪神思上屡屡奏效，对于精密实证科学而言，经验和观测，当然仍占据了更加基础的位置。这正是牛顿之所以为牛顿：从他后来撰写的《原理》的逻辑结构，这一考量清晰可见。作为讨论的出发点，牛顿列出了6项“现象”，包括开普勒3/2定律，而平方反比并不在其中。上文我们提到过的从3/2定律导出平方反比，正是牛顿走的路。《原理》第1篇定理11所做的，正是由椭圆轨道和开普勒定律出发推导出向心力的平方反比作用方式。有趣的是，1684年秋，哈雷造访牛顿，代皇家学会同仁向牛顿提出的问题是，如何求出物体在平方反比作用力支配下的运动轨迹，而这也常被称作是牛顿撰著的肇始。但在这本大书里，牛顿只证明了沿圆锥曲线运行的物体受到的向心力是平方反比的，而非相反—— 平方反比始终没能成为推理的出发点。