波纹夹层板冲击响应理论计算方法研究

刘 昆，王 哲，王自力

(1. 江苏科技大学 船舶与海洋工程学院，江苏 镇江 212003；2. 船舶与海洋工程碰撞搁浅研发中心，江苏 镇江 212003)

随着现代海军的不断发展，舰船结构的抗冲击性能已经成为了设计人员广泛关注的问题，抗冲击性能的好坏直接影响到舰船的作战能力和舰上人员、设备的安全，对于整个舰船来说十分重要。夹层板作为一种组合结构，具有重量轻、比强度和比刚度高、抗冲击能力强等优点，近年来国外先进造船国家已将其应用于军船和民船部分区域结构的设计制造当中[1-3]。由于夹层板拥有广阔的应用前景，近年来国内外学者进行了深入的研究。Fleck等[4]研究了空爆载荷作用下夹层梁结构的动态响应，并结合刚塑性材料模型推导了求解夹层梁塑性变形的解析计算公式，所得公式计算结果与有限元结果吻合良好。Xue等[5]通过理论与有限元相结合的方法研究了蜂窝夹层板、桁架夹层板以及波纹夹层板在局部压溃及冲击载荷作用下的动态响应，研究表明夹层板抗冲击能力显著优于等质量的平板。刘均等[6-7]对冲击载荷下方形蜂窝夹层板的残余变形进行了理论研究，并给出了简化解析计算公式。Yuan等[8]考虑弯矩和轴力的影响，研究了夹层梁在冲击载荷作用下的塑性变形理论计算方法，并与仿真结果进行了对比，两者吻合较好。Li等[9]针对铝制波纹夹层板开展了空中爆炸试验研究，并进行了有限元数值分析，两者一致性较好，验证了有限元分析技术的可行性。Xia等[10]通过近距离空中爆炸试验和接触爆炸试验研究了圆管夹芯夹层板的动态响应，研究发现近距离爆炸主要导致迎爆面和夹芯产生较大面积的塑性变形，而接触爆炸则主要是迎爆面和夹芯的局部撕裂。

波纹夹层板夹芯形式多样、力学性能复杂，爆炸冲击载荷作用时间短且结构响应表现出强非线性特点，给理论求解带来很大的困难，因此需对波纹夹层板的响应过程和变形模式进行适当简化。本文以两种典型的波纹夹层板为研究对象，基于动能定理和能量守恒等理论，考虑弯矩和膜力的影响，推导出波纹夹层板在爆炸载荷作用下塑性变形的解析计算公式，并与仿真结果进行对比分析以验证和完善相关理论。研究成果可为波纹夹层板结构的设计和抗冲击性能评估提供参考。

1 结构响应过程简化分析

根据爆炸冲击载荷的作用特点，可以把波纹夹层板的响应过程简化为流固耦合作用、芯层压缩和整体变形3个阶段，如图1所示。其中，图1(a)为夹层板在冲击载荷下受流固耦合作用而获得初速度，夹层板受到爆炸冲击波作用时，由于整个冲击过程很短，在这一过程中可近似认为仅有迎爆面面板获得初始速度，而其余结构此时仍保持静止；图1(b)为夹芯层受压变形阶段，当夹层板迎爆面产生初始速度后，波纹夹芯受迎爆面载荷的作用开始压缩，同时芯层和背爆面在迎爆面的推动下逐渐加速，夹层板的面板和夹芯最终可以达到某一相同速度，这时夹芯压缩过程结束；图1(c)为夹层板的整体变形阶段，芯层压缩结束之后，整个夹层板仍具有速度，处于运动状态，在惯性效应的作用下夹层板将继续运动，直至速度为零，至此波纹夹层板完成整个变形响应过程。

图1 波纹夹层板动态响应过程Fig.1 Dynamic response process of corrugated sandwich panel

2 波纹夹层板理论计算方法

2.1 波纹夹层板初始动能

在爆炸载荷作用下，波纹夹层板瞬间获得较大的运动速度而进入塑性阶段，因此在进行理论计算时忽略其弹性效应的影响，选用理想刚塑性材料进行分析。

冲击载荷作用在夹层板迎爆面上，当冲击波正入射一个刚性固定的平面时，单位面积上的入射冲量(I+)为[11]

(1)

I=2I+

(2)

式中：Ai为系数[12]，且Ai=200～250；me为TNT当量；r为爆距；I为单位面积反射冲量。

根据第一阶段分析，由动量定理可得迎爆面面板初始速度为

(3)

忽略四周约束对迎爆面瞬时运动状态的影响，根据动能定理，此时结构的初始动能为

(4)

式中：S为夹层板的面积；ρf为夹层板材料密度；tf为夹层板迎爆面面板厚度。

2.2 波纹夹层板芯层压缩

根据第二阶段分析，夹芯压缩完成后整个夹层板达到相同速度，依据动量守恒可得此时整个结构的运动速度为

(5)

图2 波纹夹层板几何参数Fig.2 Geometric parameters of corrugated sandwich panels

由动能定理可得压缩完成后整个结构的动能为

(6)

夹芯压缩过程中，爆炸冲击波的部分能量被芯层吸收，主要转化为塑性变形能。由夹层板的初始动能和压缩后的动能可以求得夹芯压缩所吸收的能量

Ec=E0-Ea

(7)

对于矩形波纹夹层板，当坐标原点位于板的中心时，夹芯压缩后夹层板的变形可通过傅里叶级数表示为

(8)

则夹芯压缩所吸收的能量与夹芯压缩变形量之间的关系可表示为

(9)

联立式(7)和式(9)可得夹芯压缩量为

(10)

2.3 波纹夹层板整体变形

芯层压缩结束之后，波纹夹层板进入第三阶段响应过程，在这一过程中夹层板将产生塑性弯曲和拉伸，其动能也将主要被塑性应变能所耗散。

对于四周刚性固定的矩形波纹夹层板，为分析其整体变形，假设其在冲击载荷作用下的塑性变形模式如图3所示[13]。变形后的夹层板可分为4个呈中心对称的刚性区域，分别为区域Ⅰ和区域Ⅱ。由于采用固支约束，因此各个区域的边界处均为塑性铰线，同时认为在冲击过程中夹层板的变形模态不发生变化。

图3 固支夹层板塑性变形模式Fig.3 Plastic deformation mode of the clamed sandwich panel

各个刚性区域变形后的位移场可由几何关系表示

刚性区域Ⅰ为

(11)

刚性区域Ⅱ为

(12)

式中：a，b为分别夹层板的长和宽，且a≥b；w为最大位移； 角度φ由式(13)求得[14]

(13)

参考文献[15]，单位长度铰线消耗的塑性能为

D=(M+Nwi)θi

(14)

则夹层板在变形过程中所有塑性铰耗散的总塑性变形能为

(15)

式中：M为夹层板的弯矩；N为夹层板的膜力；wi为第i个铰线处的横向位移；θi为第i个铰线的转角；li为第i个铰线的长度；n为铰线个数。

对于矩形波纹夹层板，由于铰线存在对称性，则变形过程中其结构在铰线处耗散的总能量为

(16)

波纹夹层板在铰线处的转角θAD，θAB，θAE和θEF可由几何关系求得，分别为

(17)

(18)

(19)

θEF=2θAD

(20)

将式(17)～式(20)代入式(16)，可得夹层板变形过程中在铰线处的总耗散能为

(21)

板的屈服函数可由膜力(N)和弯矩(M)来表示，对于夹层板而言，其屈服面的形式与面板和夹芯的相对强度和夹层板的厚度有关，因此与普通平板有所不同，可表示为

(22)

式中：M0为极限弯矩；N0为极限膜力。

由于波纹夹层板为各向异性结构，其不同方向的极限弯矩和极限膜力并不相同。

如图4所示，以上述两种波纹夹层板为研究对象，其x轴方向的极限弯矩

M0x=σftf[(hc-wc)+tf]

(23)

y轴方向的极限弯矩

(24)

图4 波纹夹层板Fig.4 Corrugated sandwich panel

x轴方向的极限膜力

N0x=2σftf

(25)

y轴方向的极限膜力

(26)

对于夹层结构的动态响应问题，一般很难得到其最终变形的解析解，为了尽可能准确求得其变形量，采用屈服函数的外接方形和内接方形作为其屈服面进行求解，如图5所示。

夹层板外接屈服面

|N|=N0, |M|=M0

(27)

夹层板内接屈服面

|N|=0.5N0, |M|=0.5M0

(28)

采用外接屈服面，计算所得最终变形量比实际变形量偏小；而采用内接屈服面，求得的最终变形量比实际变形量偏大。因此，在求得结果之后，为尽可能使得结果准确可靠，取其平均值作为夹层板最终变形量的计算值。

图5 夹层板结构屈服曲线Fig.5 The field curve of the sandwich panel structure

当屈服曲面为外接方形时，总耗散能为

(29)

当屈服曲面为内接方形时，总耗散能为

(30)

在波纹夹层板的整体变形过程中，其初始动能最终由其塑性变形能所耗散，因此

Ep=Ea

(31)

将式(31)分别代入式(29)和式(30)，得

(32)

(33)

把式(23)～式(26)中的M0x，N0x，M0y，N0y分别代入式(32)和式(33) ，解上述两个方程，舍去不符合实际的负值解，可分别得

(34)

(35)

(36)

(37)

取其平均值，即可得到波纹夹层板在爆炸冲击载荷作用下的最终塑性变形量。

3 理论仿真结果对比分析

为了考察以上计算公式的可靠性，分别利用公式计算V型和U型两种波纹夹层板在爆炸载荷作用下的位移响应。同时，利用大型有限元软件ABAQUS进行相关数值仿真分析，并将两者计算结果进行比较分析，验证本文所建立的理论分析方法。

为了便于分析和比较，夹层板的位移用无量纲参数表示

(38)

式中：D为夹层板的最大位移量。

爆炸载荷冲量用无量纲参数表示

(39)

式中：M为单位面积夹层板的质量，M=2ρftc+hcρc。

3.1 波纹夹层板结构模型

选取V型和U型两种波纹夹层板作为研究对象，对其塑性动力响应进行分析。对于图2所示的V型和U型波纹夹层板，确定其几何尺寸参数，如表1所示。

表1 波纹夹层板几何参数Tab.1 Geometric parameters of the corrugated sandwich panel mm

根据几何尺寸建立两种波纹夹层板的有限元模型。其中，空气模型采用中间为柱体两端为半球体的形状，为减小空气边界的影响，确保计算精度，流场半径取为结构半径的6倍[16]，并在流场边界设置无反射边界条件，有限元模型如图6所示(1/2流场模型)。数值分析采用声固耦合算法，流场选用4节点线性声学四面体单元(AC3D4)，空气密度为1.25 kg/m3，体积模量为1.42×105Pa，结构流场之间设置耦合边界。夹层板材料类型选用理想弹塑性材料，屈服强度σf=235 MPa，弹性模量E=210 GPa，密度ρf=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3。两种夹层板的有限元模型如图7所示，夹层板选用壳单元模拟，单元类型为4节点减缩积分四边形单元(S4R)，边界条件为约束夹层板四周6个自由度。

3.2 有限元模型网格敏感性分析

在进行有限元数值仿真分析时，有限元模型网格尺寸会对结构动态响应产生一定的影响，首先研究有限元模型的网格敏感性，充分探究结构单元尺寸的影响规律，以便更好的验证理论分析方法。冲量大小选取I=0.185。根据夹层板结构尺寸，有限元网格大小选取10 mm，20 mm，30 mm，40 mm和50 mm，共5种单元尺寸，分别由S-1，S-2，S-3，S-4和S-5表示。在有限元数值分析中选取波纹夹层板背爆面中心点为典型测点，研究夹层板的最大位移量。

图6 结构-流场有限元模型(1/2)Fig.6 Finite element model of structure-flow field(1/2)

图7 波纹夹层板有限元模型Fig.7 Finite element models of corrugated sandwich panels

计算分析结果汇总于表2，对于V型夹层板，最小位移与最大位移相差3.98%；对于U型夹层板，两者相差1.70%；V型夹层板的网格敏感性大于U型夹层板。位移曲线图如图8所示，可以看出，随着单元尺寸的增大，有限元计算结果有逐渐减小的趋势，但整体来说差别不大。单元划分较大时，夹层板的夹芯压缩等微小变形不能很好地体现，局部变形被忽略导致夹层板的整体抗弯强度增大，从而使得计算结果偏大。为了减少单元划分对计算结果的影响，对不同单元尺寸的计算结果取平均值，可以看出，平均位移值与单元尺寸为20 mm和30 mm时的位移值较为接近，因此综合考虑夹层板的结构尺寸、单元尺寸及计算机时的影响，后续分析时单元网格特征长度选取25 mm。

表2 网格敏感性分析Tab.2 Sensitivity analysis of elements

图8 单元尺寸-位移曲线Fig.8 Element size-displacement curve

3.3 结构塑性变形对比分析

理论解求解过程应用计算程序MATLAB编程计算，通过初试参数输入直接输出计算结果。把理论计算结果与有限元分析结果进行整理，汇总成如图9所示的位移-载荷曲线图，从图中可以看出，在不同冲量作用下，两种波纹夹层板的位移趋势基本相同，其位移值均随着冲量的增加而近似呈线性增长。对比外接屈服面理论值和内接屈服面理论值，采用外接方形屈服函数求解得到的最大塑性变形比仿真值偏小，而采用内接屈服函数得到的最大塑性变形比仿真值偏大。将两者平均值后，得到的理论值与仿真值较为接近。

当冲量相同时，V型波纹夹层板的位移均小于U型夹层板。这主要是由于V型夹层板单位长度的夹芯数量多于U型夹层板，虽然U型夹层板的夹芯结构中存在与上下面板连接的水平部分，增加了其结构强度，但单位面积内V型夹层板的截面惯性矩仍大于U型，故V型夹层板的抗冲击能力相对较好，塑性变形量平均比U型低10.4%。但是，V型夹层板单位面积的质量比U型高14.7%。本文并未将两种夹层板的质量统一化，因为夹层板的结构形式多种多样，在同一质量下会得到很多种不同的结构形式，而不同的结构形式又具有不同的抗冲击性能。由此可见，夹层板复杂的结构形式使得其具有多变的结构质量和力学性能，因此，在实际应用时应当根据需求合理选择波纹夹层板类型。

图9 波纹夹层板冲量-位移曲线Fig.9 Impulse-displacement curves of corrugated sandwich panels

两种波纹夹层板理论与仿真计算的得到的最大塑性误差在10%以内，其计算精度可满足相关工程设计分析的要求。

3.4 结构变形模式对比分析

为了研究波纹夹层板的整体变形情况，选取相同冲量下(I=0.185)长、宽两个方向中部典型剖面处夹层板的结构位移进行分析。夹层板沿长边、短边方向中心线的位移分布分别如图10、图11所示。可以看出，波纹夹层板的中部变形量与理论值较为接近，但在靠近中部区域的两侧，夹层板变形量大于理论值。利用内接屈服面求得的位移值与波纹夹层板两侧变形值相对来说较为接近，但最大值偏大。利用外接屈服面求得的位移值在整个结构中均小于仿真值。由于简化解析采用刚塑性材料模型，位移曲线具有明显的折点，因此与实际变形模式相比这种偏差不可避免，但本文简化解析方法也能在一定程度上反映结构的变形情况，具有一定的参考价值。

总体来说，在波纹夹层板的整体变形方面，理论值所得趋势与仿真值基本一致，沿长边方向均存在一定程度的平台区，而沿短边方向则并不明显，两者峰值吻合较好，但在边缘区域仿真值大于理论值。利用内接屈服面求解，能更好的反映其部分区域的变形情况，但峰值偏大；而利用外接屈服面求解则始终小于仿真值，且两者偏差较大。

图10 长边方向中心线位移Fig.10 Displacement of the center line in the long side direction

图11 短边方向中心线位移Fig.11 Displacement of the center line in the short side direction

4 结 论

以典型波纹夹层板为研究对象，基于动能定理、能量守恒和塑性力学相关理论，建立了波纹夹层板在爆炸冲击载荷作用下塑性变形计算方法，并开展相关仿真分析予以验证。主要结论如下：

(1) 将波纹夹层板在爆炸冲击载荷作用下的动态响应简化成3个阶段，逐一研究每一个阶段的响应特点，采用刚塑性材料模型对其响应过程简化分析，得到了冲击载荷作用下波纹夹层板结构塑性变形的理论预报公式。

(2) 对夹层板结构有限元模型开展了网格敏感性分析，分析发现随着网格尺寸的增大，有限元计算结果有减小的趋势，但总体来说网格尺寸对计算结果影响较小。

(3) 采用理论及仿真方法计算了冲击载荷下两种典型波纹夹层板的最大塑性变形，两者计算结果具有较好的一致性，验证了该理论分析方法的可行性。

(4) 不同形式波纹夹层板的力学性能和结构质量有所差异，在实际设计应用过程中应具体分析，根据不同需求选择合理的结构形式和结构尺寸，以便最大限度的发挥波纹夹层板的良好力学性能。