考虑强度参数弱化非线性损伤本构模型研究

陈清通

(1.煤炭科学技术研究院有限公司 安全分院，北京 100013；2.煤炭资源高效开采与洁净利用国家重点实验室(煤炭科学研究总院)，北京 100013)

煤炭资源的开发为工业发展和人民生活水平的提高做出了巨大贡献，同时也产生了大量的采空区，采空区的形成导致覆岩底部约束缺失，应力平衡状态消失，覆岩在自身重力作用下向采空区方向发生变形、破坏。岩石强度是影响覆岩破坏的诸因素中最重要的因素之一，水的作用对岩石强度的影响不可忽视。

作为一种特殊的地质构造材料，岩石内部结构不均匀，存在大量缺陷[1-2]，其在外部荷载作用下，岩石内部缺陷的产生、发育、扩展和贯通之后所表现出的力学特性具有非线性和各向异性特征，运用传统弹塑性力学分析很难解决，引入损伤力学来进一步研究岩石在荷载作用下应力应变之间关系，而建立岩石损伤模型需要引入损伤变量这一反应材料内部特性的内变量[3-5]。

为了可以更好地研究材料内部损伤的变化规律，需要根据不同损伤过程来选取合适的损伤变量，从而建立考虑材料损伤的本构关系，来具体反映材料宏观上受力与变形特征。曹瑞琅[6]等基于对残余强度修正的思想，通过weibull分布建立岩石损伤软化统计本构模型，很好地描述了岩石在压缩破裂过程中应力应变关系和残余强度特征。董春亮等[7]考虑岩石在压缩工程中能量转化和声发射特征建立损伤演化模型，很好地反映了岩石损伤各个过程，使得本构模型更加符合实际工程应用。李天一[8]等利用MTS815 Flex Test GT岩石力学试验系统，对节理岩石进行水-岩耦合三轴试验，基于试验结果，分析强度参数随孔隙水压力增加的变化规律，得出当孔隙水压大于2MPa时，黏聚力可能完全丧失。刘再斌[9]为了研究孔隙水压力对岩石抗剪强度参数的影响，对不同岩性岩石进行了水-岩耦合三轴压缩试验，然后通过最小二乘法计算出不同孔隙水压力作用下黏聚力和内摩擦参数。

虽然前人对于岩石损伤本构模型研究已有很多，但是从强度参数出发，考虑岩石在孔隙水压作用下建立损伤变量的研究就甚少。因此，本文通过对砂岩在不同孔隙水压作用下蠕变试验研究，推导出关于强度劣化的损伤变量，从而建立基于强度参数影响的岩石损伤软化模型，为采空区覆岩破坏尤其是采空区地表稳定性评价提供理论依据。

1 砂岩蠕变试验

采用MTS815.02岩石试验机对砂岩进行室内压缩蠕变试验，负荷控制施加围压，以0.25MPa/s的加载速率通过油压系统不断给压力室施加围压，到达设定的预定值后，稳定一段时间；将拟施加的轴向荷载分成若干等级，以同样的加载负荷控制速率施加轴压，当轴压达到预定值后，在施加孔隙水压至预定值后，立即读取此时的轴向、径向变形值并记录下来。当变形值基本保持稳定即可施加下一级荷载，三轴蠕变实验所需围压为20MPa，而孔隙水压分别拟定为0MPa，5MPa，10MPa和15MPa，各级应力水平如表1所示。

表1 各级应力水平 MPa

由于实际岩体往往都是处在三维的应力状态中，且易受高孔隙水压作用的影响，因此很有必要进行带孔隙水压的三轴蠕变实验研究。三轴实验仍采用单体分级加载形式加载，三轴蠕变应力加载以单轴为参考，由于单轴在0.5倍偏应力下没有发生流变现象，而且岩石的三轴抗压强度大，为尽可能缩小寻找蠕变发生的应力范围，综上考虑以0.5倍偏应力作为起始加载应力，直到岩石发生蠕变破坏为止，获得的蠕变曲线如图1所示。

图1 不同孔隙水压下轴向分阶段蠕变曲线

图1中分别给出了砂岩试样在孔隙水压为0MPa，5MPa，10MPa和15MPa情况下的轴向蠕变变形曲线，每一级应力加载初期都会出现瞬时弹性变形，其量值随着应力水平的提高而增加。孔隙水压5MPa和10MPa下第一级轴向应变速率分别经过10.4h和15.2h衰减到零，此时应变不再随时间发展而增长，所施加的应力还未超出长期强度，表现为稳定蠕变。当应力水平高于长期强度时，第三级蠕变曲线，应变经过衰减阶段进入等速蠕变阶段，蠕变变形稳定发展，表现为亚稳定蠕变。第四级蠕变曲线，其所施加的应力已超出长期强度，变形很快从减速蠕变阶段过渡到等速蠕变阶段。

2 基于强度参数劣化的岩石损伤本构方程

由于岩石本身为损伤体，在岩石蠕变压缩试验中，岩石的强度会随着外部荷载作用逐渐劣化，用岩石强度参数的变化规律便可以较好地反映岩石损伤过程，而由于孔隙水压作用一定程度上加剧了岩石的损伤进度，所以在引入损伤变量过程中需要考虑孔隙水压对于损伤变量的影响。

根据Lemaitre应变等效基本假定可以得出关于强度参数劣化的损伤变量公式如下：

(1)

式中，D为损伤变量；C为岩石黏聚力；C*为t时刻下岩石黏聚力。

在三轴压缩蠕变试验中，强度参数黏聚力C与时间、应力水平和孔隙水压有关，且随着时间逐渐减小，根据文献[10]～[11]可知，此时黏聚力不仅与时间t和孔隙水压pw有关，还与外荷载和长期强度之差有关联[12-13]，即

C*=C(σ-σ∞，t，pw)

(2)

式中，σ∞为长期强度；pw为孔隙水压；σ-σ∞为过应力差。

C=A×exp(-(σ-σ∞)t/B)+E

(3)

式中，A，B，E为试验拟合参数。

当施加在岩石上的外界荷载低于某一应力固定值时，岩石蠕变试验只会产生衰减蠕变阶段，且此蠕变阶段最终蠕变速率衰减至零，蠕变变形值达到恒定值；当施加在岩石上的外界荷载大于此应力值时，岩石蠕变试验除产生衰减蠕变阶段外，还存在稳定蠕变阶段和加速蠕变阶段，此时将此恒定应力值称为岩石的长期强度值[14-15]。根据上述原理可以计算出岩石黏聚力与时间t和外荷载与长期强度之差，计算结果如表2所示。

表2 砂岩力学参数和(σ-σ∞)t关系

而此时只是考虑了应力和时间对于岩石的共同作用，根据表2和式(3)可以拟合出各孔隙水压下(σ-σ∞)t与黏聚力之间的曲线，如图2所示。

图2为应用式(3)得到的高围压不同孔隙水

压作用下砂岩三轴压缩蠕变试验加速蠕变段曲线与理论曲线的对比，对应的拟合参数如表3所示，参数拟合相关系数平方均达到了0.95以上，故采用指数函数对不同孔隙水压下砂岩(σ-σ∞)t与黏聚力之间曲线进行拟合是合适的。

表3 不同孔隙水压下拟合参数

其中拟合参数E为岩石黏聚力在初始零时刻时与y轴截距，水对A和E变化幅度影响不大且没有规律性可循，故本文暂不考虑他们对损伤变量的影响[16-17]，而拟合参数B值随着孔隙水压的增大而增大，且具有较为明显的变化规律性，采用软件Origin对其按照下式(4)进行非线性拟合，拟合曲线如图3所示，对应的拟合参数见表4，参数拟合相关系数平方均达到 0.99以上，拟合效果比较理想。

(4)

式中，a，b，c为拟合参数。

由式(1)～(4)可知损伤变量D为：

(5)

根据齐亚静[18]对于西原体改进推导过程可得西原体如图4的三维蠕变损伤本构方程。

当σ<σs时，

(6)

图4 西原模型

当σ≥σs时，

(7)

式中，σ1和σ3为最大主应力和最小主应力；G0、G1为剪切模量；K为体积模量；η1，η2为黏滞性系数。

3 岩石损伤本构模型参数识别

对于本文所建立的非线性蠕变损伤模型的参数辨识，采用软件Origin，基于最小二乘法原理[19]利用本文所建立的模型分别对不同孔隙水压下三轴蠕变试验曲线进行参数辨识，得到其模型参数及相关系数见表5。

表5 西原体模型的蠕变参数(pw=0MPa)

利用所取得的参数，经计算获得的非线性蠕变损伤模型曲线与三轴蠕变试验曲线的对比结果见图5。整体上模型计算结果与试验结果具有良好的吻合性，在低围压作用下模型曲线与试验曲线拟合程度较高，而在最后一级加载蠕变破坏阶段时，模型曲线与试验曲线出现偏差，但是相关性系数均在0.98以上，说明了该模型可以较好地描述衰减蠕变、稳定蠕变、加速蠕变，克服了传统西原体难以描述加速蠕变特性的缺点，验证了该模型的正确性与合理性。

图5 试验结果与计算值对比

4 结 论

岩石的蠕变是一个岩石结构非线性劣化破坏的过程，而且深部围岩受高孔隙水压的影响，使得岩石强度参数随应力水平、时间和孔隙水压变化而变化，建立非线性损伤本构模型，得出如下结论：

(1)在孔隙水压作用下，岩石的应变更加明显，且随着水压的增大岩石蠕变加速阶段的蠕变速率显著增大；且水压越大对于岩石强度参数削弱能力越强。

(2)当处于高应力状态下，即应力超过长期强度时岩石的强度力学参数存在明显的弱化，不再是一个定值，而是随着时间和过应力差变化而变化，并且受孔隙水压的影响。

(3)基于西原模型引入关于强度参数的损伤本构模型，较好地描述了岩石蠕变全过程，并且对西原体难以描述的加速蠕变阶段特性有较好分析；经计算获得的非线性蠕变损伤模型曲线与三轴蠕变试验曲线的对比，具有良好的吻合性。

(4)孔隙水压力在采空区覆岩体中普遍存在，现有采空区覆岩稳定性评价中常忽略孔隙水压力对岩石强度的影响导致参评岩石强度偏高，建议开展富水地层区域采空区覆岩相关评价工作时适当降低岩石强度。