创设深度说理时空培养归纳推理能力

林彩莲

归纳推理是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳推理能力的培养是数学课程和教学的重要目标，归纳推理能力的培养有利于数学推理能力和数学学习力的形成。小学阶段是培养学生归纳推理能力的关键期，在小学数学中适时、适当地进行归纳推理的教学，有利于小学生思维水平产生及时的飞跃，甚至可以提前产生质变。

史宁中教授指出：“数学教学的最终目标……会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界……数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。”这一观点基本符合小学数学学习的目标，只不过在小学阶段是初步要求，或初步渗透。曹培英教授认为：“启发学生说理，是培养推理能力初级教学阶段最主要的手段与基本途径。诱导学生恰如其分地使用尚未学习的数学知识来说理，是小学数学教学的一种境界。”因此，作为小学数学教师，要有意识地为学生创设深度说理的时间和空间，恰如其分地启迪学生用语言表达归纳推理过程，使学生无意识地进行推理，“用而不宣”，即“渗透”，从而达到培养学生归纳推理能力的目标。

一、分层启迪，在理清关系中培养归纳推理能力

学生归纳推理能力的培养，需要经历在教师启迪下的一定层次的分析说理，通过纵横对比，在发现不同点的基础上发现相同点，理清关系，从而归纳出结论。

【片段一】

层次一：纵横分析，寻找异同

师：刚才我們通过摆一摆，写出了很多算式，我们一起来观察一下，这些算式之间有什么不同的地方？有什么相同的地方呢？

层次二：引发猜想，验证结论

师：（圈上除数，同时板书：除数）你能发现每个除法算式的余数和除数之间的秘密吗？如果用一个符号来连接，你会用什么符号？……如果用20根小棒摆正方形，余数也是比除数小吗？……25根呢？30根呢？ 39根呢？……看来，余数确实比除数小（擦去）

层次三：归纳小结，形成结论

师：那为什么余数一定要比除数小呢？余数比除数大行吗？如果剩余的小棒数为4根、5根、6根，行吗？……看来，如果余数是4根、5根、6根都还可以再摆一个正方形，只有余数小于4根才不能再摆正方形，所以余数<除数。

层次四：深入感悟，理性认识

师：既然我们知道余数必须比除数小的关系，那么是不是所有的除法算式都适用呢？如果不是用小棒摆正方形，而是摆三角形，如果有剩余，可能剩余几根小棒？……用一堆小棒摆五边形，如果有剩余，又可能剩几根小棒？……看来，不管摆几根小棒，也不管摆成什么图形，剩余的根数都比除数小。

以上是人教版《义务教育教科书·数学》二年级下册第六单元编排的例2“余数与除数的关系”的教学片段，在学生进行了“自主探究，合作交流”后，笔者有意识地启迪学生纵横分析，寻找除法算式的异同，从而发现余数小于除数的关系;接着分别通过增加小棒（改变被除数的大小）和改变形状（改变除数的大小）的活动，让学生经历各层的感悟过程，让学生在说理的过程中领悟余数必须小于除数的关系，体验和感悟归纳推理思想，积累一定的操作、猜想、归纳的经验，培养学生观察、分析、表达、动手操作及归纳推理的能力，在思想引领下产生顿悟，理解余数必须比除数小的道理，实现了归纳推理从方法到思想层面的上升，促进了学生归纳推理能力的发展，让课堂成为学生终身发展的起点。

二、巧妙留白，在公式的推导中培养归纳推理能力

小学数学的数量关系式有很多，其中计算公式主要是图形的周长、面积和体积公式，以及比、正比例、反比例、比例尺、百分数等的应用和计算。很多计算公式是在学生探索、交流的基础上归纳得到的，在引导学生进行公式的推导过程中，如果能够巧妙地留白，有利于培养学生的归纳推理能力。

浙江省的袁晓萍老师在执教浙教版五年级上册“平行四边形的面积”中，首先为每一位学生提供两张画有完全一样的平行四边形的纸，其中一个画在方格纸上，一个画在白纸上，让学生自主选择独立验证“平行四边形的面积为什么等于底乘高”后，发出挑战：“你能不能不仅自己会研究，还能看懂别人是怎么研究的？”

【片段二】

留白一：生3：我认为他那里面有漏洞，这个和这个可以拼……但是他并没有数。师：他关注的漏洞是哪一部分？……然后他告诉了我们一个很重要的动词你们听到了没有？……他说像这样小的部分我们要把它拼起来，就可以把这些小的三角形拼成刚才这个男孩子所说的1平方厘米的正方形了。

留白二：师：我们继续来欣赏——你还能再看懂吗？……师：这个同学又是怎样拼的？跟前面的拼法有什么不一样呢？

留白三：师：我们继续来看，你还能再看懂吗？……师：我没听懂耶，哪一部分拉到哪一部分？……

留白四：师：不管我们用哪一种方法，我们在方格纸当中，通过图形变换，都研究出了平行四边形面积。……没有用上方格纸的同学他们的思考方法和我们的思考方法是不是差不多呢？谁有本事，看到了差不多的地方？……师：不管我们是数出来的，还是用我们的方法直接进行移动的，我们发现，实际上我们算出来的这个答案都是——……有没有同学说我算出来的，和你们数出来的是不一样的？生：没有。师：那我们现在可不可以说这个平行四边形的面积是可以用底乘——高来计算的，可以了吗？……

正是由于袁老师在学生的困惑点进行的四次巧妙的留白，把说理的时间和空间交给学生，不仅能让在学生思辨、交流中发现平行四边形的面积等于底乘高，并理解其中的道理，达到了知其然又知其所以然的目的，又能让学生拥有了一次“将平行四边形的面积转化为长方形面积”的成功经验，从而触动了学生对于平面图形推导的多米诺骨牌，推开了图形面积推导的一扇窗，培养了学生的归纳推理能力。

三、逐一枚举，在规律的探究中提升归纳推理能力

归纳推理一种情形是考察一类的全部个体对象，根据它们具有（或不具有）某种属性，从而概括出关于该类全部对象的一般结论。这是完全归纳推理。另一种情形是只考察一类中的部分个体对象，根据它们具有（或不具有）某种属性，从而概括出关于该类全部对象的一般结论。这是不完全归纳推理。不完全归纳推理的前提是对某类的许许多多个体对象进行过考察。而且被考察过的对象仅仅是该类的部分对象，而不是该类的全部对象。虽然小学数学学习中更多的是不完全归纳推理，但是就教学来说，总是尽可能让学生经历了完整的归纳思维的过程，往往通过情境引出个别对象（一定事实材料或具体算式、图形等），让学生在观察、分析、归纳得出可能的结论（猜想），再经过多次的解释、验证、证明，进行修正、改进，最后验证结论（猜想），从而提升学生的归纳推理能力。

在教学人教版《义务教育教科书·数学》六年级下册第100页例1“数学思考”时，笔者有意识地让学生在经历猜测，通过逐一枚举，在充分实验、观察的基础上，完整表达自己的分析、类比、归纳的过程。

【片段三】

生：2个点连了1条，3个点连了3条，增加2条。……4个点连了6条，比上一次增加3条。……师：5点连了几条线段？……比前一次多了几条？……6个点连了几条线段？……师：8个点呢？……你能发现什么规律？……生：6个点的总条数就是从l加到5;8个点的总条数就是从1加到7;有多少个点，线段的总条数就是从1加到比人数少1的数。师：应用刚才总结的规律，说一说12个点能连成多少条线段？……20个点呢？……如果是n个点呢？生：1+2+3+……+（n-1），现在，你能解决刚开始上课时老师出的那道数学题“100个点能连成多少条线段”吗？……

让学生从2个点开始连线，逐步经历连线过程，随着点数的增多，得出每次增加的线段数和总线段数，初步感知点数、增加的线段数和总线段数之间的联系。通过课件演示，先探究2个点时总线段数怎么计算，之后列出3个点和4个点时总线段数对应的算式，让学生观察发现这些算式的共有特征：都是从1依次加到点数减1的那个数，从而让学生明白总线段数其实就是从1依次连加到点数减1的那个数的自然数数列之和。然后再追问：如果是8个点、12个点时，这样计算你们感觉怎样？于是引导学生进行深层次的思考，由于大部分学生已掌握了“等差数列求和”的计算方法，很自然地引出用字母表示规律，有效地促进了学生归纳推理能力的发展。

总的来说，数学教师要关注数学核心素养，从知识教育、能力教育走向核心素养教育。儿童歸纳推理能力的形成和发展不同于一般知识与技能的获得，它是一个隐性的、缓慢的渐进过程，我们要顺应儿童思维发展需要，给予他们充分说理的时空，促进他们数学思维的发展，提升他们的推理能力，落实立德树人的根本任务。

责任编辑龙建刚