低信噪比信号相位差检测算法优化设计与实现

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(1. 上海机电工程研究所， 上海 201109；2. 上海空间电源研究所， 上海 200245)

0 引 言

导弹自动驾驶仪是导弹飞行控制系统的核心，对自动驾驶仪回路动态响应性能的测试通常是通过摇摆台对导弹上的惯测装置加动态的正弦激励，然后测量导弹的舵面反馈，通过对激励信号和反馈信号的比较实现对导弹驾驶仪动态响应性能的测试。动态响应中一项重要的指标便是测量激励信号与反馈信号的相位差[1]。因此，对信号相位差的准确测量是实现导弹自动驾驶仪动态响应性能测试的关键。求取相位差的方法有多种，常用的有零点比较法、频域分析法、相关分析法等。零点比较法是通过计算两个同频信号通过零点时刻的时间差，将时间差转换为相应的相位差；频域分析法是通过离散傅里叶变换对待检测信号进行频谱分析，得到信号的相频特性，通过计算两路信号在主频率处的差值，即可求得两个信号的相位差；相关分析法是利用信号的周期性和噪声随机性的特点，通过相关运算(自相关或互相关)，达到去除噪声的目的。采用相关技术可以提取淹没在噪声中的信号，得到信号的诸如频率、幅度和相位差等参数值[2]。

1 零点比较法与频域分析法

1.1 零点比较法原理及其算法实现

零点比较法的原理是：确定两个同为上升趋势(或下降趋势)的同频信号通过零点的时刻，计算其时间差，然后根据时间差来计算相位差[3]，其原理如图1所示。

图1 零点比较法原理Fig.1 Zero across method schematic

判断两路信号过零点时刻的时间间隔Δt，将时间差转化为相位差，相位差计算公式为

(1)

式中，T为信号周期。

在实际计算时，由于实际信号是经过采样量化后的离散信号，故式(1)不能直接应用。设信号1(x(t))和信号2(y(t))首次经过的零点分别对应为数组的第i元素和第j元素，采用式(2)计算相位差。

(2)

式中：f为被测信号频率，fs为采样频率。

通常，在实际测量中直接测到经过零点的数据的几率较小，实际采集的是零点两侧的数据。如图1(b)所示的第i和第i+1个采集点。这样，可以通过插值的方法求出过零点的值，此时过零点时间采用式(3)计算。

(3)

式中：ti+1为第i+1个采样点的采样时间；ui和ui+1分别为第i和第i+1个采样点对应的幅值。由式(4)可以得到两同频信号x(t)和y(t)的相位差为

Δφ=360°(tx-ty)f

(4)

在虚拟仪器编程时，搜索信号1中满足ui>0且ui+1=0或ui+1<0的第i个采集点，同理搜索出信号2中对应的第j个采集点，即可求得两信号的相位差。

1.2 零点比较法误差分析

1.3 频域分析法原理及其算法实现

频域分析法是通过离散傅里叶法对被检测信号进行频谱分析，从而获得信号的相频特性，然后计算两路信号在主频率处的相位差值。

在有限区间(t,t+T)内，绝对可积的任一周期函数x(t)的傅里叶级数展开式为

(5)

在实际计算中，实际信号x(t)为离散信号。设在周期函数x(t)和y(t)的一个周期内有N个采样点，则他们的基波傅里叶系数和初相位如式(6)所示。

(6)

则x(t)和y(t)的基波分量的相位差为

(7)

1.4 频域分析算法误差分析

一般来说，采样点数越多，对信号做频谱分析越能反映实际信号的幅频和相频特性。在实际仿真计算中，在噪声幅值一定的情况下，采样频率越高，测得相位差误差率越小，这与理论分析一致。在没有噪声的情况下，采样频率对测量误差影响很小，用频域分析法求出相位差的测量误差为零，随着噪声幅值的增大，测得的相位差误差也越大，当噪声信号与有用信号幅值的比值为0.5时，误差率达到了24.1%，算法已基本失效，算法在低信噪比情况下精度不高。

2 相关分析法

2.1 相关分析法原理及其虚拟仪器编程

相关分析法利用两个同频率正弦信号的延时τ=0时的互相关函数值与其相位差的余弦值成正比的原理获得相位差。假如有两个同频信号，其描述如式(8)所示。

(8)

式中：Nx(t)，Ny(t)为噪声信号；A、B为信号的幅值；ω为信号的角速度；φ1为信号x(t)的初始相位；φ2为信号y(t)的初始相位。两信号的互相关函数的表达式为

(9)

式中：T为信号周期，当τ=0时有

(10)

理想情况下，噪声和信号不相关，且噪声之间也不相关，积分后可得

(11)

另外，根据自相关函数的定义可知，信号的幅值和在延时τ=0时的自相关函数值关系如式(12)所示。

(12)

实际处理的信号是经过采样后的离散点序列，式(13)～(15)是相应的离散时间计算公式，其中N为采样点数[5]。

(13)

(14)

(15)

相关分析法计算原理如图2所示，含改进后算法原理图，Labview虚拟仪表编程的程序框图不再列出。

图2 相关分析法计算原理Fig.2 Correlation analysis schematic

2.2 仿真结果及分析

在仿真实验1中，取峰值为10 V、频率为50 Hz的正弦信号(混合同频0.2 V的均匀白噪声)，采样频率为1 kHz、5 kHz、10 kHz和50 kHz的测量值如表1所示。

在仿真实验2中，取峰值为10 V、频率为50 Hz的正弦信号，采样频率为5 kHz和50 kHz，正弦信号混合噪声幅值分别为0 V、0.1 V、0.5 V、1 V、2 V和5 V的同频均匀白噪声，测量值如表2所示。

表1 相关分析法中信号采样频率对相位差测量结果影响的对比关系

表2 相关分析法中噪声幅值对相位差测量结果影响的对比关系

续表2

从表1可以看出，在噪声幅值一定的条件下，随着采样频率的提高，测得相位差的误差率随之降低。同时，将相关分析法计算结果与零点比较法和频域分析法结果进行对比，相关分析法对于信号中的直流偏移、噪声等干扰有很强的抑制能力，相比零点比较法和频域分析法有较高的测量精度[6]。

从表2可以看出，在没有噪声的情况下，采样频率对测量误差影响很小，用相关分析法求出相位差的测量误差为零，随着噪声幅值的增大，测得的相位差误差随之增大。当实际相位差为14.36°且噪声信号与有用信号幅值的比值为0.2时，测得相位差为19.21°，误差率达到了33.7%；当噪声信号与实际信号幅值的比值为0.5时，测得相位差为34.56°，误差率达到了140.7%，算法已经失效。但是，当实际相位差为75.63°且噪声信号与实际信号幅值比值为0.5时，测得相位差为79.32°，误差率为4.88%。可见在低信噪比的情况下，该相关分析法仍然保持了较高的测量精度。经过对比发现，当信号相位差为70°～110°时，该相关分析法在低信噪的情况下，仍然能保持较高的测量精度；但当信号相位差为-20°～20°时，在噪声比较小的情况下，该算法能保持较高的测量精度，在噪声幅值比较大，即低信噪比的情况下，该算法误差较大，因此需要对该相关分析法进行优化与改进。

3 相关分析法改进及优化设计

针对第二章中发现的问题，对相关分析法进行改进，由于在信号相位差较小(-20°～20°)且低信噪比的情况下，相位差误差率较大。因此对式(8)中的信号x(t)做90°相移，经过移相后，信号变为x1(t)。

x1(t)=Asin(ωt+φ1+0.5π)+Nx(t)
=Acos(ωt+φ1)+Nx(t)

(16)

式(11)中的互相关函数表达式变为

(17)

在仿真实验3中，取峰值为10 V、频率为50 Hz的正弦信号，采样频率为50 kHz，正弦信号混合同频的均匀白噪声，噪声幅值分别为2 V和5 V的测量值如表3所示。

表3 移相后相关分析法噪声幅值对相位差测量结果影响的对比关系

从表3可以看出：经过移相后，当真实相位差为14.36°、噪声幅值达到5 V时，测得相位差为12.73°，误差为1.63°，仍能保持较高的测量精度；当真实相位差为75.63°、噪声幅值为2 V时，误差为4.85°，当噪声幅值达到5V时，误差达到了20.34°，误差较大。因此，经过移相后，虽然在计算较小相位差(-20°～20°)时算法精度有了很大提高，但在计算较大相位差时(70°～110°)，算法仍然有较大误差，仍然有待改进。

将式(11)与式(12)对比，可得

(18)

(19)

4 算法应用与结果分析

对式(19)进行仿真计算与分析，在仿真实验4中，取峰值为10 V、频率为50 Hz的正弦信号，采样频率为50 kHz，正弦信号混合同频的均匀白噪声，噪声幅值分别为2 V和5 V的测量值如表4所示。

从表4可以看出，在实际信号幅值为10 V、噪声幅值达到2 V和5 V的低信噪比情况下，改进后的算法仍然有较高的测量精度。噪声幅值5V情况下，实际相位差为14.36°时，误差为0.71°;实际相位差为44.28°时，误差为-0.91°;实际相位差为75.63°时，误差为-0.86°。

表4 改进后相关分析法噪声幅值对相位差测量结果影响的对比的关系

图3为某型号导弹驾驶仪回路测试中偏航回路速率测试的数据，红色曲线表示摇摆台输出数据，白色曲线表示三号舵舵面反馈信号，使用未改进的相关分析法计算信号的相位差为14.52°，使用改进后的相关分析法计算信号的相位差为6.90°。通过实际观察，摇摆台输出信号与三号舵舵面反馈信号的相位差为5°左右。因此，经过仿真计算和实际应用分析，改进后的相关分析法能有效提高相位差的测量精度。

图3 摇摆台输出信号与舵面反馈信号曲线Fig.3 Swing table output signal and the rudder surface feedback signal graph

5 结束语

本文针对导弹自动驾驶仪回路测试中相位差的测量，介绍和分析了目前常用的测量相位差的三种算法，即零点比较法、频域分析法和相关分析法的原理，并运用Labview虚拟仪器技术分别对这三种算法进行了仿真与分析。

零点比较法适用于噪声幅值较小，即高信噪比的情况。在使用该算法前，可先对过零点的数据进行适当拟合，这样有利于抑制零点噪声，提高测量精度。

频域分析法对噪声和干扰有一定的抑制能力，但在噪声幅值比较大的情况下，该方法作用有限。因此，在低信噪比和信号不规则的情况下，该算法测量误差较大。

相关分析法对于信号中的直流偏移、噪声等干扰有很强的抑制能力，在相同条件下，相关分析法比零点比较法和频域分析法有更高的测量精度。在对该算法进行改进和优化后，在低信噪比的情况下，该算法仍然能保持较高的测量精度。同时，提高采样频率也可以提高测量精度。在对某型号导弹驾驶仪回路测试中记录的数据进行分析和计算后，使用该算法计算相位差能有效提高测量精度且能够满足系统对相位差测试的精度要求。