探究一元二次方程根的分布

李英前

【摘要】一元二次方程根的分布作为高中数学的重要知识点之一，在基础代数理论被引入高中数学时便被提及，具有重要的意义.本文以高中数学的基础理论韦达定理为基础，利用这一经典的理论框架，探究一元二次方程根的分布问题，尝试总结相关规律，并集中分析相关细节.

【关键词】一元二次方程;实数根分布;韦达定理

一、引言及问题重述

一元二次方程根的分布问题是一类初等代数的经典问题，这一问题的解决核心在于如何对方程中的含参变量进行限定和讨论，从而确定这一根在实轴上的位置.

对问题进行重述，即为如下情境：

给定一元二次方程ax2+bx+c=0，从代数角度来看，其根值为这一方程的解，从几何角度来看，其根值为一元二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点横坐标.由于方程参数的不同，不难得知可能会存在一个、两个或者没有交点.这一交点横坐标尝尝被称为函数的零点.所以，本文所探究的一元二次方程根的分布问题，就是研究这一方程根在x轴上的具体位置.

本文针对以上问题展开研究，为了配合目前的主要研究手段，本文引入韦达定理作为主要研究手段，依托方程根的判别式，不必构造二次函数，直接依托图像方程的直观性就可以巧妙地解决这一问题.

二、韦达定理

利用韦达定理求解一元二次方程根的分布问题是研究这一问题最常见的做法.首先引入韦达定理的相关知识点.韦达定理是法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中所建立的一对数学关系，衡量了一元多次方程的方程根与系数之间的关系.韦达定理的核心之一是根的判别式，而通过对根的判别式的进一步判断，来分析方程是否存在可以探究的实根.总而言之，韦达定理通过数学方法直接描述了一元多次方程根与系数的关系.所以，本文基于这一分析方法，展开叙述一元二次方程根的分布问题.

首先，列出韦达定理的基本内容，如下所示：

针对一元二次方程ax2+bx+c=0，计算并记为参数Δ=b2-4ac.

如果这一方程存在两个正根，则参数Δ大于等于0，两根之和和两根之积均大于0;如果这一方程存在两个负根，则参数Δ大于等于0，两根之和小于0，两根之积大于0;如果这一方程存在一正一负两个异号更，则参数Δ大于0，两根之积小于0.

根据韦达定理，我们不难总结出，一元二次方程存在根的充分必要条件为参数不小于0，所以，基于以上框架展开后续研究.

三、一元二次方程根的分布

为了研究一元二次方程根的分布，我们可以先从与二次方程联系较为紧密的二次函数出发，将一个一元二次方程问题转化为一个一元二次函数问题.从而以函数的角度来推导出相关的引理和论证部分.

（一）零分布

首先，介绍一元二次方程根的零分布.零分布指的是一元二次方程根相对零的关系，在图像中即为曲线与x轴交点与原点之间的位置相关关系.一般有三种情况：均在原点左侧，均在原点右侧，分布在原点左右.

四、问题求解要点

通过上述分析，我们可以总结出一个可用的解题框架，以下列出一些相关要点，主要包含如下五个方面.

第一，观察方程的二次项系数.对一个方程来说，虽然他的表达式中存在二次项，但是如果这一二次项含有参数，必须谨慎对待.必须对这一二次项系数是否为零进行合理的讨论，从而确定对应的函数图像是一条直线还是一条抛物线.如果是一条抛物线，再利用本文所介绍的相关方法进行深入研究.

第二，根据方程参数计算参数Δ=b2-4ac，这一参数直接决定了这一一元二次方程是否有根，有几个根，利用这一公式可以快速判断.

第三，利用上文介绍的韦达定理计算相关参数并进行判断.韦达定理可以帮助我们快速了解到一元二次方程根所具有的具体正负性情况，但是韦达定理的适用范围有限，在大多数时候没法直接得出根的具体值，但加以合理利用可以迅速解决一系列题目.

第四，计算并观察一元二次方程的对称轴.对一元二次方程衍生出来的二次函数问题，二次函数的对称轴不仅仅决定了图像所具有的最高点和最低点的位置，也直接影响了关于这一对称轴所对称的图像和相关点的性质，另外，对称轴与图像的交点往往具有一定的极性，值得深入判断.

第五，最后，观察区间端点的函数值.这一步骤主要用来控制函数图像的相关函数值，未来高等数学中所经常使用的夹逼定理，就是对这一方法的进阶版应用.通过相关技巧可以把图像与x轴的交点划入更加细的指定区间范围，从而快速解决问题.

总而言之，作为一类较为经典的，已经经历过广泛研究的问题，一元二次方程根的分布具有较多的基础特性，值得我们深入挖掘和思考.作为一类活跃在各个范围内的基础考试题，我们必须充分利用各类技巧和工具，力求做到完美解答一元二次方程根的分布的相关问题.

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