空间能力：让学生的思维“立”起来

施惠芳

【关键词】空间能力;联系;思维;类比联想;正面迁移;抽象

【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2019）89-0054-05

【设计理念】

1.立足个体，类比联想，面向全局，让思维有根基。《长方体与正方体的认识》一课的学习是研究立体图形的开始，具有承前启后的重要作用。因此，研究长方体应经历由面到体再回到面的过程。立足于长方体这个研究个体，我们有必要“瞻前顾后”，用联系的观点来审视教学内容，把对长方体特征的认识置于几何初步知识的大网中，切中它们的逻辑关联，这样有利于学生明晰所学知识的系统化、完整性，并由此达到以点带面的效果。

2.借助经验，正向迁移，形成方法，让思维能生长。观察、操作是研究图形常用的方法，视觉直观和触觉直观是学生空间能力培养的主要方式。学生在以往图形问题的学习中已经积累了丰富的学习经验，在此基础上充分调动学生视觉、触觉等多种感官的共同参与，是发展他们的空间思维的基础。当图形的研究从二维发展到三维，推理与想象成为研究图形问题更有效的方法，学生对立体图形的立体性无法看透、看全时，就需要借助推理与想象深度理解图形的本质特征，这样的经历能促进学生生活化的数学思维、数学能力和素养的培养。

3.基于直观，重视抽象，发挥想象，让思维“立”起来。从1张A4纸到1叠A4纸，引导学生直观、动态地勾连二维平面图形与三维立体图形的关系——长方体可以看成由长方形垂直平移形成的。学生在头脑中建构了从面到体的过程后，将三角形拓展成三棱柱，将圆拓展成圆柱，将正五边形拓展成五棱柱，能使学生形象地认识“直柱体”这类立体图形，进一步明晰“形”与“体”的辩证关系。几何重“形”，但更是“形而上”的，教学时，在注重直观的基础上，更要注重抽象，促使学生发挥想象。一方面，点、线、面、体的整体架构促使学生理解它们之间巧妙的联系——点动成线，线动成面，面动成体，点、线、面、体可以相互变换;另一方面，改变长方体的一些几何要素可以引发其形状、大小的变化，促使学生进一步理解长方体面、棱、顶点之间相互依存、不可分割的关系。

【教学过程及意图】

一、纸叠成体，导入新课

1.出示1张A4纸。

师：这是什么？它是什么形状的？

生：1张A4纸，它是长方形的。

师：长方形是我们已经认识的什么图形？

生：平面图形。

师：你已经知道长方形的哪些特征？

生：对边平行且相等，四个角都是直角。

师：是的，我们就是从长方形的边、角等方面来认识它的。

2.动态呈现数张A4纸的叠加。

师：如果有若干张这样的A4纸整齐地叠起来，会有什么变化？

生：感觉纸变厚了。

师：用数学的眼光看，你有什么新发现？

生：这叠纸的形状是长方体。（板书：长方体）

师：长方体是什么图形？

生：立体图形。（板书：立体图形）

师：学具袋里有长方体吗？找一找，任选一个放在自己桌面上。（四人为一组，每组的学具袋中有4个形状不同、大小各異的长方体木制学具）

师：生活中你见过什么长方体的物体呢？

生：快递包装盒、冰箱、微波炉……

课件呈现一些长方体实物图片，并沿着边线描画出长方体。

师：瞧！沿着物体的轮廓画下来，这些都是长方体。

呈现1张A4纸，学生对它形状的认识必然是平面的。当若干张A4纸动态叠加后，纸的“厚度”引发学生关注。基于学生的生活经验，由“长方形”生长出“长方体”的动态过程是将面与体进行勾连的有效方式。

二、循序渐进，探究特征

1.初步认识长方体各部分名称。

师：叠成的长方体上还能找到最初的长方形吗？对，它是长方体的“面”。（板书：面）

师：除了面，长方体上还有什么？

生：还有边、角。

师：你所说的边是指哪里？（学生指棱）

师：仔细观察，这条边是怎么形成的？

生：它是由两个面相交形成的。

师：说得好，像这样由两个面相交形成的线，叫作长方体的“棱”。（板书：棱）

师：借助学具，与同桌互相交流，哪两个面相交形成了哪条棱？

师：同学们所说的角又是指哪里？谁来指一指。（学生指）同学们指的这个地方实际上是一个点，再观察，这个点是怎么形成的？

生：它是由三条棱相交形成的，它应该叫长方体的顶点。

师：不错，由三条棱相交形成的点是长方体的“顶点”。（板书：顶点）与同桌边指边说，哪三条棱相交形成了哪个顶点？

师：这节课，我们将从面、棱、顶点这三个方面继续研究长方体。

基于学生的认知发展规律，引导学生初步感知长方体的点、线、面等几何要素，让学生对长方体与正方体的认识由原来的整体感知逐步转向对结构的把握。

2.合作学习，探究长方体的特征。

师：同学们，刚才我们已经初步认识了长方体各部分的名称，现在，你会提出哪些关于面、棱、顶点的数学问题？

生1：我想知道长方体有几个面、几条棱、几个顶点。

生2：我想知道哪些面相等，棱和棱之间有什么关系。

生3：长方体的面、棱、顶点之间又有什么关系？

师：同学们提的问题特别有价值，根据我们以往研究图形的经验，想要解决这些问题常常会用到哪些方法？

生：可以看一看、摸一摸、量一量。

师：看一看就是观察，摸一摸、量一量就是操作，观察与操作是研究图形常用的方法。（板书：观察，操作）

操作活动一：借助长方体学具，从面、棱、顶点三个方面探究长方体的特征，小组合作，把发现记录在学习单上，并在小组内交流。

师：关于面，你有什么发现？怎么发现的？

生1：我知道长方体有6个面，我是数出来的，四周4个，加上、下2个，一共有6个面。

生2：我先数前面和后面，再数左面和右面、上面和下面，一共6个面。

师：一起数的两个面有什么关系？

生：它们是相对的，形状、大小都相等。

师：形状、大小都相等可不可以说是完全相同？你是怎么知道相对的面完全相同的？

生1：我们是先量一量，再比一比，量出相对的两个面的长和宽再比较发现的。

生2：我们知道长方形对边相等，上、下两个面的长就是前面的一组对边，这样就可以推断出上、下两个面的长和宽都相等。

生3：刚才纸叠起来的时候用的是相同的纸，可以想象上、下两个面是完全相同的。

师：同学们真不简单，不仅能用操作的方法，还能借助长方形对边相等的知识来推理判断，或者通过想象长方形生长成长方体的过程来推断长方体面的特征。（板书：6个面，长方形，相对的面完全相同）推理、想象也是研究图形常用的方法。（板书：推理，想象）

师：关于棱，你又发现了什么？

生：长方体有12条棱，可以分成3组，每组4条棱，相对的棱长度相等。（板书：12条棱，相对的棱长度相等）

师：顶点呢？有什么特征？

生：长方体有8个顶点，上面4个，下面4个。（板书：8个顶点）

师：顶点跟棱有关系吗？

生：1个顶点连接3条棱。

师：1个顶点连接的3条棱相同吗？

生：不同，长度不同，方向也不同。

师：1个顶点连接的3条不同的棱其实就是长方体的长、宽、高，猜一猜，哪一条是高？是的，竖直方向的是高，水平方向的是长，另一条是宽。请你借助学具指一指长、宽、高，变换摆放位置再指一指长、宽、高。

呈现图1：顶点连接棱，棱围出面，面围成体。（板书：顶点→棱→面→长方体）

师：如果长、宽、高确定了，这个长方体的样子是否就确定了？你能想象吗？

师：老师画出了几个面？为什么只用3个面就表示出了长方体的样子？你能看到它的几条棱？还有3条棱在哪里？它们实际上就是长方体的什么？继续想象，如果长变长，长方体会怎样？如果想让长方体变扁一些，可以怎么做？看一看，长方体的形状、大小是由什么决定的？

生：长、宽、高决定长方体的形状和大小。

师：研究到现在，你会怎样介绍长方体？

观察与操作是研究图形问题常用的方法。在引导学生观察模型、发现特征前唤醒学生认识图形的一般方法，有利于学生勾连学习方法，形成研究一类问题的一类方法。同时，在研究面、棱、顶点各部分特征时，让学生讨论“会提出哪些关于面、棱、顶点的数学问题”，明确研究方向，有助于達成问题研究目标。推理与想象把对长方体特征的认识置于点、线、面、体的整体认知结构中。

操作活动二：制作一个长方体。

（1）了解制作材料：材料中配有几种不同长度的小棒和连接小棒的接头。

师：想一想，小棒用来做什么？接头又相当于什么呢？

生：小棒用来做棱，接头相当于顶点。

（2）思考：四人小组先讨论选用哪些材料，把相应的数量填在学习单上，然后动手操作，搭出框架。

（3）师：用三种小棒搭的请展示，都选了三种小棒来搭，怎么搭出的长方体不一样呢？

生：因为我们选的小棒不同，小棒不同也就是棱的长度不同。

师：看来，棱的不同会带来面的不同，面的不同会带来长方体的不同。

师：用两种小棒搭的请展示，这些长方体有相同的地方吗？

生：它们都有2个面是正方形，其余4个面是长方形且完全相同，有4条棱长度相等，还有8条棱长度相等。

师：用一种小棒搭的呢？它实际上是什么？

生：用一种小棒搭出来的实际上是一个正方体。（板书：正方体）

师：正方体的面、棱有什么特征呢？

生：正方体的6个面是相同的正方形，12条棱长度相等。（板书：6个面是相同的正方形，12条棱长度相等）

（4）师：想象一下，黑板上的长方体如何变化就成了正方体？

生：当长方体的长、宽、高都相等时，它就是一个正方体。

师：正方体与长方体有什么关系？（出示集合圈表示两者的关系）

选择合适的小棒搭建长方体框架，让学生在做中观察、探索、发现，有助于他们由直观走向抽象、由实物操作过渡到表象操作、由直观体验上升到理性分析。空间观察是一种有依据的想象。想象是在观察活动和操作活动中发展起来的，学生可以通过想象逐步形成各种表象。

三、推理想象，建构联系

1.想象猜物：依据给出的长、宽、高想象一下，它们可能是什么物体？（如图2）

师：上题中第一个物体，如果高变成0.1毫米，猜一猜，它是什么物体？

生：一张纸。

师：现在，你想说什么？

生：一张纸虽然很薄，但也有厚度，它也是一个长方体。

2.立面成体：出示一些平面图形，想象它们可以长成怎样的立体图形。

师：一个平面图形，朝着与它竖直的方向生长，就能得到一个立体图形，这些图形上下一样粗，它们还有一个共同的名称——直柱体。

这组练习的目的是让学生结合生活实际及其对长度的认识与感知进行估计与猜测，凸显空间想象能力的培养与发展。关于“一张纸”的认识与课始相呼应，突出对长方体本质特征的理解。将长方体与正方体的认识置于直柱体的大范围中，拓宽了学生对一类立体图形共同特征的认识。

【教后反思】

空间能力是指人们顺利解决空间问题所必备的个性心理特征，以空间知觉、表象和想象为主要心理活动过程，是一种在头脑中进行几何抽象、分析与综合、判断与推理的思维能力。它是“图形与几何”的核心发展目标，也是數学学习必备的基本能力之一。本课教学主要通过观察、操作、推理、想象等数学活动达成两方面的教学目标：一是知识层面的目标，即掌握长方体和正方体的特征;二是思维层面的目标，即培养学生的空间能力。空间能力的发展是指向学生终身发展的上位目标，这种能力的发展需要经验的积累，是一个有物可言、有理可依、系统发展的建构过程，这个过程可以通过各种有价值的数学活动来实现。

1.眼中有物，脑中有形，让空间知觉更充分。学习本课之前，学生已经对长方体、正方体、圆柱体等立体图形有了一些直观的认识，他们在生活中观察、操作、游戏，形成了对图形最初的认知，获得了图形与空间结构的体验，然而这些体验往往是零散的、随意的，空间感知也不充分。因此，立足知识体系，增强直观感知，才能让学生的知觉感知丰富起来。教学时，在引入长方体环节，教师用纸叠成体的动态方式呈现长方体，有利于学生形成由“面”到“体”的直觉认知;然后，结合学生的交流呈现长方体形状的实物图片，使学生的视觉感知更加充分了;最后，让学生选择不同形状、不同大小的长方体学具进行操作探究，学具的选择过程也是甄别辨析的过程。大量的观察、操作活动促进学生多感官协同发展，使其空间知觉更加充分了。

2.无中生有，虚实相生，让空间表象更清晰。空间表象是物体或图形的信息在人脑中再现的过程，清晰的空间表象是成就空间能力的重要内容。从空间知觉发展到空间表象不是一蹴而就的，它需要以数学化的直观图形为中介。教学时，教师引导学生从实物中抽象出图形，并对图形的关键要素进行刻画，在平面上呈现三维要素。在探究长方体特征之后，教师引导学生思考“为什么只用3个面就表示出了长方体的样子？你能看到它的几条棱？还有3条棱在哪里？”，帮助学生进行立体图形的抽象。练习中只给出长、宽、高的长度信息，引导学生在头脑中建立长方体的表象，进而联系生活实际猜想它可能是什么物体。这种无中生有、虚实相生的训练，可以让学生的空间表象更加清晰。

3.以点带面，由此及彼，让空间想象更立体。空间想象以充分的空间知觉和清晰的空间表象为基础，学生的空间视域越广，空间想象就越容易发生。本课教学时，由开始的纸叠成体至最后的平面图形生长成直柱体，是对几何对象的拓展，这也能为研究这类立体图形的体积计算方法奠定基础。从特殊到一般、从单角度到全方位地提升了单个图形的抽象水平，打破了空间思维的局限，起到了以点带面的效果。另外，探究完长方体后，引导学生想象“黑板上的长方体如何变化就成了正方体”，由一般到特殊，由此及彼，用联系与发展的视角看待一类图形，加深了他们对图形本质的理解。

总之，空间能力的发展是一个循序渐近的过程，当我们从空间能力培养的视角来看待“图形与几何”内容的教学，我们的眼界必须更加开阔，思维必须更加立体。

（作者单位：江苏省苏州市吴门教育集团沧浪新城第二实验小学校）