基于问题链的数学深度学习活动设计*

☉浙江师范大学教师教育学院 蒋安娜

☉浙江师范大学教师教育学院 唐恒钧

知识经济时代背景下，学习者的终身学习能力、自主学习能力和知识创新能力都要以深度学习为基础［1］，深度学习也成为培养学生核心素养的重要途径.在我国，指向具体学科的深度学习研究逐渐引起人们的关注，但还处于起步阶段［2］.其中，指向数学学科的深度学习研究正成为中学数学教育中最热门的话题之一［3］.深度学习能促进数学高阶思维发展，与问题链教学使思维“浅入深出”理念相契合.在数学深度学习特征的指导下，以问题链教学为载体设计学习活动，以期实现深度学习目标.

一、基于问题链的数学深度学习设计理念

1.数学深度学习的特征

数学深度学习强调把握数学本质，要求建立在完整而深刻地理解和处理数学知识的基础之上，在学习过程中充分参与和积极建构，并能在复杂情境中有效迁移与运用，进而发展数学高阶思维.数学深度学习也因此具有批判理解、信息整合、知识建构、迁移运用、情境交互、终身主动等特征.

具体地，批判理解特征表现在：数学发现的逻辑之精髓就在于批判的方法，即对原来不严格的论证或思想实验进行批判、论证［4］.

信息整合指学习个体需要整合来自各学科领域乃至社会领域的信息，在复杂情境中进行取舍，精准提炼出数学问题，抽象出数学对象，从而构建数学模型以解决问题.

此外，学习个体进行多元知识建构时，不仅强调原有认知结构同化外部信息，还需通过外部信息顺应和改组原有的认知结构，从而建构起新的数学知识网络.

同时，数学深度学习要求学习个体在复杂情境中抓住关键，进而能在新情境中迁移运用新知，从而避免非本质属性泛化的错误.迁移运用与情景交互两大特征相辅相成.

最后，对学习的由衷热爱是深度学习的活力源泉，主动学习是热爱的外部表征.这意味着数学深度学习要求学习个体的学习热情、韧性意志力等方面也达到一定的深度.

2.基于问题链的数学深度学习活动

“问题链”是指在课堂上呈现给学生的、有序的主干问题串［5］.基于问题链的数学深度学习是以问题链教学作为深度学习的促进策略，是一种具体化的数学深度学习活动形式.目的是通过问题链的设计渗透数学深度学习特征，进而营造数学深度学习课堂.

根据对数学深度学习内涵的认识，借鉴Jensen和Nickelsen的深度学习路线［6］、皮连生的知识分类学习论及教育目标分类理论［7］，综合国外研究者对深度学习框架的构想，纳入问题链教学的思想理念，构建了基于问题链的数学深度学习一般活动环节（如图1）.

图1 基于问题链的数学深度学习活动环节

该模型中的各个环节共同构成了一个完整的数学深度学习过程.前三个环节为预备阶段.“学习单元选择与设计”是指教师需要根据学情、教学目标等对一个整体的数学单元进行设计，以便于深刻而全面地把握知识块之间的联系.“预评估”及“营造积极的数学文化”是为了深入了解学情，创造活泼而生活化的数学情境，让学生在文化熏陶下追随数学先贤的思维脉络探索知识生成.“激活原有知识”和“接受新知识”环节为导入阶段.该阶段为一般学习活动过程中都具备的环节，能为深度学习活动的开展提供知识基础.深度加工阶段则分为两支线、一创造、七环节进行：陈述性知识通过“复述与精加工”使得“知识结构重组建构”，以便“提取知识进行应用”；程序性知识通过“不同情境下的变式训练”使得“知识转化为技能”以便“迁移运用”.两种类型知识的最终“创造”体现信息加工的深度.最后为评价阶段.事实上，评价贯穿整个深度学习活动环节，而迁移运用、信息整合、批判理解、知识建构等特征在四个阶段，尤其是深度加工阶段循环交错，贯穿整个活动过程.

问题链设计则强调严密贴合数学深度学习各个环节.在预备阶段，问题链的设计应在单元目标、学情等指导下，梳理知识脉络以确立教学联结点，明确具体课型和学习目标设计主干问题链.在导入阶段和深度加工阶段，问题链的设计则要充分考虑学生的最近发展区，于细微之处编排富有层次的问题，为学生搭建合理的阶梯.最后，在问题链实施后，在评价阶段，教师需要及时反馈把控学习结果.

二、基于问题链的数学深度学习案例设计

根据基于问题链的数学深度学习过程模型，结合浙教版八年级上册第二章第三节“等腰三角形的性质定理”的学习目标，设计相应的教学实践方案，来说明如何在问题链设计、实施、评价中促进学生数学深度学习目标的达成.

1.预备阶段：确立教学联结点

图2 等腰三角形的性质定理的教学联结点

数学深度学习要求把握数学本质，因此在“学习单元选择与设计”环节中，以数学单元核心知识群作为深度学习的切入点和载体.本节“等腰三角形的性质定理”是学生学习了全等三角形、定义与命题、轴对称等相关知识后所安排的内容，为特殊三角形章节的重要部分.此时学生具备进一步综合探究、证明等腰三角形性质的理论基础，同时具备了初步的自主探究能力和逻辑推理能力.因此本节课摒弃“给出定理—分析、证明定理—应用定理”的教学方法，而是以折纸活动作为主线，让学生在动手操作中“发现猜想—解析结构—证明定理—应用定理”；以探究环节顺序设主干问题链，并在各个环节串联轴对称、命题、全等三角形等知识，从而助力学生的自主探究.以上为本节课的教学联结点（如图2）.

2.导入阶段和深度加工阶段：建构主干问题链

在教学联结点的基础之上，为使所设计的问题富有层次而又贴合学生认知水平，设计了如下“等腰三角形的性质定理”的主干问题链.

问题1：（导入——情景设疑） 新农村建设中，楼房都有房梁，并且房梁保持水平状态.你们知道木匠师傅是用什么方法确定房梁是否保持水平吗？下面这个方法可不可行：如图3，房梁上放一把等腰直角三角尺，在顶点A处挂一条铅锤线，使得线经过三角尺斜边的中点O？你能用等腰三角形相关知识回答吗？

图3

问题2：（导入——实验与猜想）如何利用手上的一张长方形纸片得到一个等腰三角形纸片？从折叠方法中你能发现等腰三角形有何特点？把剪出的等腰三角形沿折痕对折，你还能发现等腰三角形存在哪些等量关系？观察这些结论，你能发现什么？请做进一步梳理.

以上两个问题链针对导入阶段设置.导入阶段为知识的初步感知.问题源于情境，情境是产生问题的沃土.问题1创设生活情境引发学生思考，而当学生意识到已有等腰三角形概念知识无法解答该问题时，自然激起求知欲.问题2借助折纸活动引导学生通过观察等腰三角形对折重合，直观得出轴对称这一特点，并继续从轴对称的角度出发，发现并总结边、角的等量关系.层层推进的问题链设计帮助学生在情境交互中感受等腰三角形性质结论的猜想与归纳，发展数学抽象、合情推理的思维能力，体现数学深度学习情景交互的特征.

问题3：（深度加工——解析结构）利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的特征，对于结论1：等腰三角形的两底角相等，若要证明其为真命题，请写出该命题的题设和结论是什么.结论2的题设和结论又是什么？

问题3引导学生对“定义与命题”相关知识进行迁移运用，明晰针对等腰三角形归纳的命题的题设与结论.这一步是合情推理到演绎推理结合的关键一步，也是学生对新知的认知结构组建的一个重要步骤，即突出数学深度学习知识建构的特征.

问题4：（深度加工——分析论证）数缺形时少直观，请根据画出的图形，用符号语言翻译命题的内容，并写出已知和求证.证明角和角相等有哪些方法？通过折叠等腰三角形纸片，你认为用什么方法证明该等腰三角形两个底角相等？证明中作辅助线的方法有几种？请采取任意一种方法进行证明.

几何命题的证明对八年级的学生来说比较抽象，难度过大，为了突破难点，设计的三个子问题层层推进，充分利用折纸活动，调动学生思考，容易联想到利用全等三角形来证明两底角相等，以及折痕所在即为辅助线所在，让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡，环环相扣，并穿插进行符号语言、图形语言、文字语言的转换.另外，在探讨命题多样证法时，可培养学生数学思维的灵活性、广阔性和深刻性，促进高阶思维发展.

问题5：（深度加工——学以致用）（1）等腰三角形一个底角为75°，它的另外两个角为__________.

（2）等腰三角形一个角为70°，它的另外两个角为____________.

（3）等腰三角形的周长为13，腰长为5，它的另外两条边长为_________.

（4）现在你能否解决该问题：房梁上放一把三角尺（等腰直角三角形），在顶点A处挂一条铅垂线，使线经过三角尺斜边的中点O，这根房梁是否保持水平呢？为什么？

问题5中前三个问题是等腰三角形性质①在数学问题中的应用（包括逆用），变式间的辨析促进学生对知识的批判理解.第四个问题则是性质②于生活实际问题中的应用.一方面，全面的应用能发挥数学的实用功能和文化功能；另一方面，在全面的应用中，学生的认知结构将不断地修改完善，从而进一步促进知识建构.

问题6：（深度加工——回顾小结）回顾今天的学习，你认为数学对象性质的探究过程包含哪几个环节？等腰三角形性质的证明方法又是如何想到的？

问题6的小结重视对数学对象性质探究的基本过程及方法的回顾，这将为今后的学习提供思维导向路线.

3.评价阶段的问题链反思与评价

评价阶段是学习活动结果的总结阶段，其目的是对学习活动及结果等进行多元化的评价，总结经验、反思缺陷并根据反馈进行改进.在本节的问题链中，由于分支问题设置得较为详细，因此不免存在“教师主导过度”的问题，例如，问题4为了降低学生证明命题的难度，将翻译命题、寻找证明方法等步骤逐一进行提示.实际教学中则需要教师提出“如何证明该命题”的问题指向，然后适当“留白”，放手让学生独立思考解答，接着根据学生反馈进行有针对性的、详略得当的思路引导，而不是“牵着”学生解题.课后，教师需要根据教学实践中学生的反应，对该课的问题链设计作进一步修改与调整，同时为今后相似类型的问题链设计提供依据.另外，对于学生而言，没有反馈则无法有效建构复杂的认知结构.因此，需要学生在课后站在更宏观的角度思索、总结课堂中所研究的问题脉络，从而达到对本节知识及数学思想方法更为深刻的理解与建构.

三、若干反思

毫无疑问，深度学习理论对教与学提出了更高的要求，在保留我国传统课堂学习模式的前提下，不仅需要从宏观层面上架构可操作性的深度学习活动环节，凸显具有数学学科本质特征的“深度”；更需要对教学的目标、内容、操作程序、实现条件、评价等要素在微观层面上作相应的调整，思考如何在学习者、教学者双主体的角色转换间抓住并落实“深度”，体现数学深度学习六大特征.

1.情景互动，提升学生的参与感

问题源于情境，情境是产生问题的沃土，因此数学深度学习提倡打破传统封闭课堂，创设有价值的、开放的数学情境，促进学习个体萌发问题意识.例如，导入阶段为知识的感知，设置情境性问题对新知学习进行铺垫.案例中房梁水平检测问题引发学生疑问，在问题5中呼应出现，旨在通过复杂、丰富、多变的情景训练和应用技能，促进学习个体将所学应用到真实项目与实际问题中，实现对新知识的深度理解与内化.另一方面，数学深度学习强调学习个体在情境中的互动交流，以期发展有效沟通、团队合作的能力.案例以折纸活动贯穿始终，给学生提供数学发现的工具，又提升学生的参与感.

2.由浅入深，促进知识建构

根据“教学联结点”梳理的知识脉络设计问题链分支时，往往注重把握学生认知的前概念，立足于学生的认知起点以实现问题设置的梯度性原则，进而促进学生有意义地进行知识建构.例如，深度加工阶段为了知识的领会、巩固和应用，需要利用辨析性问题、应用性问题对知识信息进行挖掘.问题4证明的难度较大，则根据课堂实际，有选择地将问题链从证明条件、证明方法等逐次剖析，为学生搭建脚手架.在这一过程中，学生记忆网络中的知识被激活，并向外扩展，依次激活相应的知识，从而促进其知识建构.

3.关注评价，实现终身主动

深度学习评价更强调评价的自主性、真实性、过程性和反馈性［8］.学习者在学习过程中能够进行自我监控、自我评价，这意味着学习个体的学习热情、意志力等方面也达到一定的深度.因此，教师可提供自我评价表、学习总结表、概念图等具体的评价方式鼓励学习者对自身的学习活动及结果进行反思总结，及时发现不足之处，进一步提升自身的思维发展和知识精加工.值得注意的是，中学生对自我的认知存在一定偏差，需要结合教师所观察到的学生外显的课堂行为进行综合评价，从而助力学生形成良好的学习习惯和适合自己的学习策略，为终身主动的学习奠定基础.

总之，深度学习已引起人们的广泛关注，但在数学学科中的研究还比较少.本文以数学深度学习的特征为指导，以问题链为抓手开展数学课堂教学的设计，试图为数学深度学习的实施提供一些借鉴.当然，这方面的研究还有待更多的理论与实践探索.