函数性质的教学要基于整体视角下的设计——以二次函数y=ax2的图像和性质为例

☉浙江省台州市白云中学 张安军

☉浙江省台州学院附中 蒋华灵

有幸参与某学校教学开放周活动，聆听了九年级两位老师的同课异构，课题是人教版“二次函数y=ax2的图像和性质”第1课时.这两位老师的课大致是这样的，先回顾二次函数的定义，然后提出问题，接下来是研究什么以及如何研究，当学生遇到困难时，类比正比例、一次函数的研究思路，引入课题.课中两位老师又回顾用描点法画函数图像的一般步骤，然后从特殊到一般，从具体的二次函数（如y=x2等）的图像观察中得出性质.从中可以发现两位老师都非常重视y=ax2图像研究的方法和思路，重视y=ax2的图像的画法和性质的得出.但对于函数的解析式、列表没有足够的重视.y=ax2的图像和性质的得出逻辑起点应在哪里？什么是函数的性质？函数性质难道一定从图像观察中得知吗？其实函数图像的性质要基于整体视野下思考，即要从解析式、表格、图像诠释二次函数y=ax2的性质.为此笔者进行了一次教学实践，以二次函数y=ax2的图像和性质为例，立足于函数的解析式，这是研究函数性质的逻辑起点，从解析式猜想图像的大致形状和变化趋势；从表格中观察函数的变化特点，感悟局部对称；在图像中揭开函数性质神秘的面纱.让学生在研究函数性质的过程中，犹如欣赏美景，从不同的视角得到不同的景色，丰富了函数性质的认识.

一、内容和内容解析

1.内容

二次函数y=ax2的图像和性质.

2.内容解析

二次函数的图像和性质是继一次函数的图像和性质探索之后又一个典型的函数图像和性质，探索二次函数的图像和性质能加深对二次函数的理解，二次函数的图像和性质是运用二次函数解决实际问题的必要准备.

本课重点探索二次函数y=ax2的图像和性质，它是本章知识的核心，也是后继更一般情形下二次函数图像和性质得出的关键.

y=ax2（a≠0，以下类同）的图像和性质突出了从数到形的合情推理，即由具体的y=ax2出发，考虑自变量的取值范围，分析x、y的对应变化关系，然后猜想函数图像的大致位置和图像的趋势，进一步由列表时表格中的有限对数值猜想y=ax2图像的对称性和增减性，在猜想之后进行画图验证，在这个过程中，发展学生的数感、推理思想.通过对y=ax2二次项系数a的正、负性分类，观察几个具体二次函数y=ax2的图像，逐步归纳得出y=ax2的图像和性质，这一过程是对y=ax2的图像和性质的认识逐步理性化的过程，也是体验如何研究函数性质的一般思路和方法.

一次函数的性质和二次函数的性质有相似之处，但这种相似之处更体现在函数研究的思路、研究的内容和研究的方法的一般观念上.二次函数y=ax2的图像和性质的得出比较抽象，但抽象的思维要基于具体的事例，可以先从具体的y=x2等图像观察，由部分图像推测整体，由点到形，由特殊到一般研究整体，感悟研究函数图像的一般观念.

二、目标和目标解析

1.目标

（1）掌握y=ax2的图像和性质；

（2）在探索y=ax2的图像和性质过程中，发展学生的推理思想、数形结合思想和分类思想，在观察比较y=ax2的图像和性质的过程中，发展学生的抽象和概括能力.

2.目标解析

达成目标（1）的标志是：对于二次项系数a取不同的数值，能判断二次函数y=ax2的图像开口方向、对称轴直线（顶点坐标）和增减性.

达成目标（2）的标志是：对于二次项系数a取具体的数值，学生根据解析式合理估计图像的大致形状，在列表取值中对表格中的数对能进行对称性、增减性的猜想和估计，在观察比较的基础上能概括二次函数y=ax2的图像和性质.

三、教学问题诊断分析

学生在学习二次函数之前，已经学习了一次函数及其图像和性质，对于如何用描点法画图，如何观察，归纳一次函数图像的特征，积累了一定的经验，但是二次函数的图像研究过程比一次函数的图像研究过程更复杂.由于二次函数图像是非线性的，具有增减性、开口方向和对称轴、顶点坐标等，性质比一次函数更复杂，学习相隔的时间也较长，从具体的二次函数图像特征抽象和概括出二次函数更普遍的性质，蕴含了丰富的数学思想，如分类思想、数形结合思想、变化和对应思想等，这要求学生有较强的综合能力.

本节课的教学重点是：掌握y=ax2的图像和性质.

本节课的教学难点是：探索和归纳y=ax2的图像和性质.

四、教学过程设计

1.复习回顾，引入课题

回顾：请同学们回顾什么是二次函数.

问题1：类比一次函数的研究，你认为二次函数接下来要研究什么？研究的一般步骤和方法是怎样的？

追问1：在研究一次函数的图像和性质时，从特殊到一般，先研究正比例函数的图像和性质.在研究二次函数的图像和性质时，先要研究怎样的二次函数解析式的图像和性质？为什么？

追问2：研究正比例函数y=kx的图像和性质时，研究思路是先对k的正、负性分类取特殊数值，用描点法画图，再观察归纳.对于y=ax2的图像和性质，你认为研究思路是怎样的？

师生活动：教师先回顾二次函数的定义，然后师生共同写出二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0），类比一次函数的研究，提出二次函数接下来要研究的内容，师生共同得出研究二次函数的图像和性质，教师追问，先研究怎样的二次函数解析式的图像和性质呢？当学生有困难时，引导学生类比一次函数的研究，从特殊到一般，先研究正比例函数的图像和性质，这样师生明确研究的主题是最简单的二次函数y=ax2的图像和性质.

设计意图：通过回顾一次函数的研究思路、研究内容和研究方法，发挥先行组织者的作用，明确二次函数应研究什么和怎样研究，为明晰本节课学习的线索和内容做好铺垫.

2.探究y=ax2的图像和性质

问题2：我们先探究特殊的二次函数，如y=x2，你们打算怎样研究y=x2的图像和性质呢？

追问1：观察函数解析式y=x2的特征，你能大致想象该函数图像的形状吗？

追问2：根据自变量x的取值和相对应的函数值y，你能预测x、y的变化趋势吗？

师生活动：教师提问学生：从哪一个具体的y=ax2开始呢？师生总结：基于简单的原则考虑，a取1.有了具体二次函数y=x2后，准备如何研究这个函数的图像和性质呢？学生回答先列表、描点、连线得到图像，此时，教师指出，先停下来观察函数解析式y=x2，考虑自变量x的取值，分析对应y的值，想象它的图像有哪些特征和变化趋势.

设计意图：引导学生在用描点法画图前，先根据解析式的特点，发挥函数解析式的价值作用，从数到形合情推理，预测二次函数的图像特征，发展学生的数感、运算、推理和空间想象能力.

问题3：对y=x2列表如下：

表1

（1）根据表格中的数对，你能进一步验证问题2中所提出的猜想吗？

（2）根据表格中数对的特点，你还能提出哪些猜想？

近年来，山西省委认真落实意识形态工作责任制，不断加强对宣传思想工作的领导，使全省意识形态领域形势发生了重大而深刻的变化。面对新的形势、新的任务、新的挑战，各级党委（党组）要把意识形态工作责任制切实落到实处，切实担负起政治责任和领导责任。主要负责同志要带头把方向、抓导向、管阵地、强队伍，层层传导压力。要创新领导方式，跳出传统陈旧套路，善用各种宣传工具和渠道，讲究艺术、抓住关键，牢牢掌握主动权。要夯实基层基础，充实基层宣传思想工作力量，完善各种保障，打牢党的执政根基。要坚持全党动手，真正形成党委统一领导、党政齐抓共管、宣传部门组织协调、有关部门分工负责的大宣传工作格局。

师生活动：当学生列表取值完成后，教师引导学生不要急于描点、连线、画图，再次放慢脚步，停下来观察表格中的数对，验证单纯依据解析式所得到的猜想.然后基于表格中的数对，让学生发现问题、提出问题，学生发现表格中的数对（-5，25）和（5，25）以及（-4，16）和（4，16）等，展开想象，猜想二次函数的图像是轴对称图形，对称轴是y轴，教师不失时机追问：“难道这一切，正如你们所预料的吗？有没有意外呢？”引导学生画图，在期待中揭开二次函数图像神秘的面纱.

设计意图：从解析式到列表取值，从模糊的估计到表格定量的刻画，学生经历观察、想象、操作验证.培养学生有条理地表达自己的观点，发展学生的问题意识.基于具体表格中的数对，这样开放性的设计，既让学生有根据地提出问题，又能合理地验证自己提出的问题，同时为后继画图做好铺垫.

问题4：在同一直角坐标系内，继续画出y=0.5x2、y=2x2的图像，上述得出的二次函数的图像和性质是否成立？

追问1：y=x2、y=0.5x2、y=2x2，这些抛物线有什么相同点和不同点？

追问2：是不是所有的二次函数y=ax2（a＞0）的图像和性质都具有这样的特征呢？

师生活动：让学生独立画出y=x2后，验证对称性和增减性等.然后同桌继续合作画出y=0.5x2、y=2x2的图像，然后追问学生：还要不要再画图像呢？当学生回答不要画时，教师继续追问，让学生概括二次函数y=ax2（a＞0）的图像和性质（从具体到抽象概括）.

设计意图：一方面，让学生亲身经历画图，感悟图像和性质的发现、猜想、验证、概括过程，发展学生的归纳概括能力、合情推理能力；另一方面，用几何画板展示a（a＞0）变化时多个不同的抛物线.感悟动态的变化，进一步验证a＞0时抛物线的图像和性质.

问题5：上面研究了y=ax2（a＞0）的图像和性质，你能独立研究a＜0吗？如何展开研究？

追问1：不画图像，你能猜想y=-x2和y=x2图像之间的关系吗？

追问2：请你归纳y=ax2（a＜0）的图像和性质.

追问3：你能进一步总结y=ax2的图像和性质吗？

师生活动：当学生研究了y=ax2（a＞0）的图像和性质后，教师追问接下来还要研究哪一类函数，如何研究y=ax2（a＜0）的图像和性质.在教师的引导下，学生明确研究二次函数的一般步骤，在学生画图之前，教师让学生又一次停下来思考：y=-x2和y=x2图像之间的位置关系是怎样的？为了验证猜想，引导学生分组画出y=-x2、y=-0.5x2、y=-2x2的图像，再用几何画板把y=x2的图像旋转180°或者关于x轴对称，进行验证，最后总结y=ax2的图像和性质.

设计意图：学生在教师的引导下完成了y=ax2（a＞0）的图像和性质，在这个研究过程中，学生积累了基本的活动经验，然后把这种基本活动经验迁移到y=ax2（a＜0）的图像和性质中，进一步体会数学思想方法.

3.例题讲解，学以致用

问题6：解决下列问题：

例1已知抛物线y=mx2经过点A（-2，-8）.

（1）求此抛物线的函数解析式，并判断该函数存在最大值还是最小值；

（2）点M（2，-8）是否在此抛物线上？

（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.

练习1：（1）二次函数y=-2x2的图像是一条开口____的抛物线，对称轴是直线______，顶点坐标是______，当x取______时，y有最______，该最值为______.

（2）若点A（x1，y1）和B（x2，y2）在抛物线y=2.5x2上，当x1＞x2＞0时，y1______y2；当x1＜x2＜0时，y1______ y2.

4.回顾与小结

问题7：请同学们回顾本节课的学习内容，思考以下问题：

（1）二次函数y=ax2的图像是什么样子的？

（2）二次函数y=ax2中的a在函数图像中起什么作用？

（3）如果要继续研究二次函数的图像和性质，应该怎样研究？

五、教学反思

笔者在中国知网上查阅近6年“二次函数y=ax2的图像和性质教学设计”的相关案例，得到文献［1］~［5］，教学设计和上述三位老师非常类似，注重函数研究整体的套路，即研究什么，怎样研究，注重课堂形式，淡化数学的实质.什么是二次函数？有的教师认为二次函数的一般式：y=ax2+bx+c就是二次函数，作为教师，这样的认识有片面之嫌，一般式仅是二次函数的一种表达方式而已，对于二次函数还有列表、图像，对于二次函数应有一个整体观，即解析式、列表和图像.研究二次函数的性质时，要基于解析式、列表、图像三个层面加以综合考虑，这三者既有联系又有区别，既有自身的优点也有缺点.在教学中不要过分偏重二次函数的图像，误认为二次函数的性质一定要基于图像观察得知，其实不然，由函数解析式想象函数的图像和性质是高中数学乃至高等数学研究函数图像的基本思路，这种想象基于解析式到图像的联想，对培养学生的数感、符号意识、几何直观都有独特的教育价值.同样在函数列表中也蕴含着丰富的教育资源，如进一步验证自己从解析式联想图像的猜想，由于函数的对称性不易发现，也可引导学生通过表格发现数字变化的规律，再进一步提出自己的猜想.相反二次函数的图像就如同盖着红布的新娘，至于新娘的音容笑貌很早就在新郎的梦想里千万次的寻思，同样函数的图像很早就在学生思维的勾勒中逐渐丰满.画图像无非是再次验证自己的猜想和整体感知、抽象概括的能力体现，因此教师在函数图像教学中，认知的逻辑起点基于解析式，由式中数字对应变化关系想象它的形状，由表格中的数对再次验证、质疑和重新提出猜想，图像仅是最后出场的“伊人”.教师要在教学过程激起对“伊人”的向往和追求，感受数学之美、之情.