复变函数的应用及发展史

北京交通大学海滨学院 杨慧贤

近些年来，数学的快速发展使复变函数变得越来越重要，这也使越来越多的专家与学者投入到复变函数的研究中。复变函数在各个领域中发挥着重要作用，通过复变函数的应用，有助于对实际生活中所遇到的各种问题进行有效解决，从而大大推动各个领域的技术发展。随着人们对复变函数研究的不断深入，复变函数的重要性也日益凸显出来，人们更加迫切地需要解决复变函数研究中存在的问题。为此，以下便对复变函数的相关应用及其介绍进行了阐述与分析。

一、复变函数介绍

复数这一概念是人们在求解方程根时无意中发现的，长期以来，人们一直无法理解复数，不过，随着数学学科的不断发展，复数在各个领域中的重要性也逐渐凸显出来，这也使人们将复数的形式通常定义为a+bi，在该定义中，虚数单位由i 表示。单复变函数起源于数学中的多复分析，由于多复分析过于复杂，而且分析难度较大，这也使人们在多复分析中所研究出的方法和单复变函数存在很大差异，这是因为定义区域所具有的拓扑性质与几何性质会在很大程度上影响多复变全纯函数的性质。因此，人们在研究过程中，需要从局部性质逐渐向着整体性质转移，并利用微分几何学、拓扑学等学科中的方法及概念，从而为复变函数的发展拓宽道路。在20 世纪90 年代，复变函数论得到了高速的发展，并在当时成为重要的研究热门，在那时，大多数数学家都认为复变函数论具有广阔的研究前景，并将其誉为抽象科学中和谐性最强的数学理论。欧拉达朗贝尔最早创建了复变函数论，在随后的几年里，拉普拉斯也投入到复变函数积分的研究中，从而为复变函数学科的发展做出了卓越的贡献。

二、复变函数的应用

部分学者在研究函数时，已经不再对个别函数进行考虑，而是将其当作某种具有特定性质的族函数来进行统一的研究。P·蒙泰尔提出的解析函数正规族便是采用上述方法来进行的，这也使复变函数的发展得到了很大突破。例如，Hp 空间就和很多数学分支都有着紧密的联系，而复变函数则是从一个变数向多个变数进行自然推广，多变数会大幅增加定义域的复杂性，其函数性质相比于单变数有着很大区别，在对多变数进行研究时，需要通过近代数学工具才能实现。自柯西以来，复变函数论已经历经了一个半世纪的发展，其理论与技巧的不断完善，使复变函数成为数学中不可或缺的组成部分，复变函数论促进了许多学科的发展，其经常被人们当作工具来解决实际问题，其内容更是理工专业所必须掌握的。目前，复变函数论在研究过程中仍旧有许多问题亟需解决，因此复变函数的不断发展必将进一步拓宽其应用范围。

除了在数学领域，复变函数在流体力学、航空力学等物理学科中也有着重要应用，复变函数在数论及微积分等学科中的融入程度也越来越高，并带动了这些学科的发展。目前，在复变函数研究中仍旧有许多问题亟需研究，随着越来越多学者的不断研究，复变函数论的发展前景必将变得无比广阔，并在更多领域中得到应用。例如，茹柯夫斯基便通过复变函数论的应用优化了飞机的机翼结构，其通过复变函数有效解决了航空与流体力学中存在的问题，为航空领域的发展做出了巨大的贡献。

复变函数凭借其完善的理论与技巧，使其成为数学中不可分割的一部分，并带动了诸多学科的进步与发展，是对实际生活中各种问题进行有效解决的有力工具，其基础内容更是成为理工科专业所必须掌握的。

三、复变函数的发展史

在16 世纪中期，意大利数学家卡尔丹在求解三次方程时发现了复数开平方这一数学思想，在17 至18 世纪，人们试图从几何层面来解释函数，并将其和平面向量进行相互对应，以此解决实际生活中存在的问题。在18 世纪，复变函数论发展起来，并在19 世纪得到了全面的发展，至20 世纪起，复变函数已经能够在弹性物理、理论物理以及天体力学等多个领域中得到广泛的应用。此外，我国在数学研究中，也在复变函数的研究基础上取得了硕果累累的成就，并在当时位于世界先进水平。多复变函数论是19 世纪末被正式创立的，哈托格斯、库辛等人的研究更是对多复变全纯函数的性质进行了揭示。在20 世纪30 年代，人们对多复变函数的研究正式全面展开，并研究出著名的全纯自同构唯一性定理，日本也针对多复变中心问题进行了有效的研究，从而为多复变函数的后续发展带来了深远影响。

总而言之，复变函数已经成为当代数学中的重要组成部分，复变函数的发展史更是带动了诸多学科的发展与进步，在实际生活中有着巨大的应用价值。与此同时，在复变函数发展中仍旧有许多课题有待更进一步的研究，这便需要更多的专家与学者投身其中，不断解决研究过程中遇到的各种问题，以此促进复变函数的应用与发展。