转化思想与幂的运算

◎曹 阳

转化思想是常用的数学思想之一。它是指在研究新问题或复杂问题时，常常将其转化为已知的或比较简单的问题来解决。下面结合实例谈谈用转化思想解决与幂有关的问题。

一、底数的转化

例1 计算：（x-y）3·（y-x）2。

【分析】（x-y）3与（y-x）2的底数分别为x-y和y-x，不能直接运用同底数幂的乘法法则，需要作适当的变形，转化为同底数幂后再进行计算。对于（a-b）n的转化应注意：当n为偶数时，（a-b）n=（b-a）n；当n为奇数时，（a-b）n=-（b-a）n。

解：（x-y）3·（y-x）2=（x-y）3·（x-y）2=（x-y）5。

例2 已知3m+2n-5=0，求8m·4n的值。

【分析】先把两个幂的底数8和4都化为以2为底数的幂，再根据同底数幂的运算法则进行计算，最后将3m+2n的值代入即可。

解：8m·4n=（23）m·（22）n=23m+2n=25=32。

二、指数的转化

例3 计算：（-0.25）1009×22018。

【分析】观察指数不难发现1009×2=2018，而且0.25×4=1，故可将22018的指数2018化成2×1009，再根据积的乘方法则进行计算。

解：（-0.25）1009×22018=（-0.25）1009×（22）1009=（-0.25×4）1009=（-1）1009=-1。

例 4 已知 a=255，b=344，c=433，比较 a、b、c的大小。

【分析】比较幂的大小有两种常用方法：一是将其化成同底数幂，比较指数；二是将其化成同指数幂，比较底数。此题三个幂的指数的最大公约数是11，可以逆用幂的乘方法则，先把a、b、c化成同指数幂，再比较底数的大小。

解：a=255=（25）11=3211，b=344=（34）11=8111，c=433=（43）11=6411。

因为32＜64＜81，所以a＜c＜b。