高考计数问题中的“多种思维方法”

■江苏省丹阳高级中学 吴雨嫣

计数问题种类繁多，方法多变，但无外乎元素与位置的关系问题。是先考虑“元素”还是先考虑“位置”，或是将“元素”与“位置”综合起来考虑，就衍生出众多的解题策略与思维方法。只要把握住最基本、最常见的原理和方法，挖掘和提炼典型题目探究求解过程中所蕴含的多种思维方法，就能够以不变应万变，从而有效地提高解决问题的准确性。

一、数字组成中的“多种思维方法”

例1在由数字0、1、2、3、4、5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5 整除的数共有____个。

解析1：特殊元素优先法分类，根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类：①含0不含5，先安排0的位置填空位，共有；②含5不含0，安排5的位置填空位，共有；③含0也含5，先安排0 和5 的位置填空位，共有④不含0 也不含5，共有=24(个)。所以符合条件的四位数共有48+72+48+24=192(个)。

解析2：间接法，数字0、1、2、3、4、5组成的没有重复数字的四位数有=300(个)，能被5整除的数有二类：个位数为0的有=60(个)；个位数为5 的有(个)。故符合条件的四位数共有300-60-48=192(个)。

素养：数字组成常常围绕“首末位、特殊元素0、奇偶性、整除或互质关系、大小关系”等展开，求解的思维方法，要么特殊位置优先填空位分步，要么特殊元素优先填空位分类，还可以应用间接法求解。

二、相邻、不相邻（相离）、不全相邻问题中的“多种思维方法”

例2某次联欢会要安排3 个歌舞类节目、2个小品类节目和1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )。

A.72 B.120 C.144 D.168

解析1：排歌舞插其他节目，依据插入的元素相同与不同分两类求解。(1)先将3 个歌舞进行全排，其排法有种；(2)用小品与相声插入将歌舞分开，若两个歌舞之间只有一个其他节目，整体思考最后的结果构造两类三个元素的全排列其插法有种。若两个歌舞之间有两个其他节目时插法先选后排有由计数原理可得节目的排法共有

解析2：安排歌舞分为两类：第一类分两步，先排歌舞类，其排法有种，然后利用插空法将剩余3 个节目排入左边或右边3 个空，故不同排法有第二类也分两步，先排歌舞类，其排法有种，然后将剩余3个节目放入中间2个空，其排法有种，故不同的排法有48(种)。由分类计数原理可得节目的排法共有72+48=120(种)。

素养：排列问题中，部分元素相邻的问题可以用“捆绑法”；部分元素不相邻和部分元素无序的问题都用“插空法”。一般把没有限制条件的元素作全排列，再把不相邻的元素插空排好，注意插入元素的分类或位置的交换。

三、排队问题中的“多种思维方法”

例3甲、乙、丙、丁等七人排成一排，要求甲在中间，乙、丙相邻，丁不在两端，则不同的排法共有多少种?

解析1：“特殊元素，优先排列”，甲、乙、丙、丁等七人按要求排成一排后，从左至右依次编号为1，2，3，4，5，6，7。显然，甲必须排在第2 号位置上，依据丁的站位进行分类讨论：①当丁站在第2或6号位置时，先乙、丙相邻选位再排其他人，其排法有=48(种)；②当丁站在第3或5号位置时，先乙、丙相邻选位再排其他人，排法有所以不同的排法共有48+72=120(种)。

解析2：“特殊位置，优先考虑”，依据乙、丙的站位进行分类讨论：①当乙、丙站在“第1与2号”或“第6与7号”位置时，丁不在两端，符合要求的排列法有C12×A22×C13×A33=72(种)；②当乙、丙站在“第2与3号”或“第5与6号”位置时，丁不在两端，符合要求的排列法有所以不同的排法共有48+72=120(种)。

素养：排队问题常用的思维方法：(1)元素分析法，以元素为主体，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。(2)位置分析法，以位置为主体，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。(3)间接法，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

四、错位排列中的“多种思维方法”

例4有五双不同的鞋，从中任取4只，至少有2 只配成一双的可能取法种数是多少?

解析1：直接分类研究，一类是4只中恰有2只配对，一类是4只鞋正好配成两双。

(1)若4只鞋正好是两双，直接从五双鞋中任取两双，共有取法种数为

(2)取出的4 只鞋子有且只有2 只能配成一双，分两步完成：第一步，从五双鞋子中任取一双，有种取法。第二步再分为3类，第1类，从余下的穿在左脚的4只鞋子中任取2只，有种取法；第2类，从余下的穿在右脚的4 只鞋子中任取2 只，有种取法；第3类，从余下的左(或右)脚的4只中任取1只，再在余下的右(或左)脚和已取的1只不相配的3只鞋子中任取1只，有种取法，故共有取法。或如果恰好有2 只配成一双，先从五双中取出一双，然后在剩下的四双中取出两双，两双中各取1 只不配对，共有取法由分类计数原理，可知所有符合要求的取法为10+120=130(种)。

解析2：间接法研究，至少有2只配成一双的对立事件就是4只均不配对，先从10只鞋中任取4只，有种取法，其中4只鞋都不成对可以看成从五双鞋中取四双，每双取出1只，共有取法种。用间接法得所有符合条件的取法种数为

素养：n 个不同元素a1，…，an排成一排(简称第k 个位置为ak的本位)，有且仅有m(m≤n)个元素不排在本位的排列称为错位排列。特别地，如果n 个元素都不在本位，即m=n 时，称这样的排列为“全错位排列”。对于这种配对问题，我们先处理好成对的元素，再按要求处理其他元素，这实际上也是在遵循特殊元素优先处理的原则。

五、“至多”、“至少”问题用间接法或直接分类法

例5 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有____种不同的选法。

解析1：元素自然分组间接法求解，先选4人，再在所选4人中选出队长1人，副队长1人，其选择方法为种方法，其中服务队中至少有1名女生的对立事件为先选4个男生，再在所选4人中选出队长1人，副队长1 人，其选择方法为于是服务队中至少有1 名女生的选法为

解析2：直接法分两步完成，第一步，8名学生中选4人(至少有1名女生)，其中1女3男有种选法；第二步，分配职务：4 人里选2 人担任队长和副队长有种选法。所以不同的选法共有=(2×20+1×15)×12=660(种)。

素养：含有“至多”、“至少”的排列组合问题，可直接先分类后分步求解，多采用分类求解或转化为它的对立事件用间接法求解，若用间接法，即排除法，但这种方法仅适用于反面情况明确且易于计算的情况，可以提高解题速度和准确率。