追溯二项式定理创新题的根源

■甘肃省通渭县第二中学 田耀祖

创新一：常值变参型

特征与题根：该题型在(a+b)n的底数a，b 的位置引入参变量，并求参变量的值。在解答时，如果视参变量为常量，那么原问题化归于二项式定理的基础知识。列关于参变量的等式，解之即可。

例1已知二项式的展开式中含x3项的系数为160，则实数a 的值为____。

解析1：因为要使x2，两项之积得到x3，则应给x2与分别分配3 次方，所以根据二项式定理展开式的通项公式得·160，解得a=-2。

正确答案为-2。

解析2：依题意得得r=3，所以解得a=-2。

正确答案为-2。

创新二：横向拓展型

特征与题根：该题型是将二项式定理的通项公式、某项的系数、二项式系数、整除等知识点有机地融合在一起。在解答时，要分层处理，将原问题分解成若干个二项式定理的单一基本问题，并有序解答。

例2已知n 为满足能被9整除的正数a 的最小值，则在的展开式中，二项式系数最大的项为( )。

A.第6项 B.第7项

C.第11项 D.第6项和第7项

解析：因为所以要使S 能被9整除，则a-2≥9，即a≥11。又 因 为a≥3，所 以n =11，从 而的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间两项的二项式系数最大，中间两项为第6项和第7项，且第6项的系数为负，所以第7项的系数最大。

正确答案为B。

创新三：纵向延伸型

1.三项式的展开式

特征与题根：形如(a+b+c)n(n∈N*)的式子称为三项式。一般地，解答三项式展开式问题有三个视角：一是化三项式为二项式；二是二项式定理的展开式的通项公式两次叠乘运用；三是运用组合数知识。

例3在的展开式中，x2的系数为( )。

A.10 B.30 C.45 D.120

解 析 1：因 为只出现在(1+x)10的展开式中，所以含x2的项为，即展开式中含x2的系数为

正确答案为C。

解析2其展开式的通项公式为因为r=0，1，2，…，10；t=0，1，2，…，10-r，所以t=2，r=0，所以x2的系数为=45。

正确答案为C。

解析3：可以看作是10的因式乘积，其展开式的每一项的系数是从每个因式或x 或中仅提取一个的组合数，即从10个中 提 取2 个x个1，所以。

正确答案为C。

2.二项式积的展开式

特征与题根：形如(a+b)m(c+d)n(m∈N*，n∈N*)的式子称为二项式积，事实上，此类问题是二项式定理展开式与乘法分配律的结合运用。

例4的展开式的常数项是( )。

A.94 B.34 C.-34 D.-42

解析：因为的通项为Tr+1=所以3x2与展开式中的含x-2的项的乘积为常数，即得r =1；-2 与展开式中的常数项的乘积为常数项，即得r=5。所以的展开式中的常数项为(-2)5×(-2)=34。

正确答案为B。

创新四：外知融合型

特征与题根：该题型是将二项式定理与其他知识有机地结合在一起，在知识间对接，在思维处融合。解题需剖析二项式定理与其他知识间的内在联系、主次关系、层次脉络，从而探求解题的突破口。

例5已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为( )。

A.39B.310C.311D.312

解析：对比所求中的a1+3a3+5a5+7a7+9a9，2a2+4a4+6a6+8a8与已知条件中的a0+a1x+a2x2+…+a9x9，不难想到，对(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9两边同时求导，即9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+9a9x8，令x=1，得a1+2a2+3a3+…+9a9=310，令x=-1，得a1-2a2+3a3-…+9a9=32。所以(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+…+9a9)(a1-2a2+…+9a9)=312。

正确答案为D。

由于二项式定理具有优美的结构、丰富的内容、亲和的情怀等特征，它才有了深广的创造点和开发面。然而，无论如何创新，只要抓住一个题根——二项式定理展开式，以及二大法宝——数学方法和数学思想，解答每一个二项式定理问题，均能打开一扇思维的门，沿通畅的思路到达终极目标。