基于理解和归纳的高中函数有效教学策略研究*—以函数解析式的求解为例

广西省梧州高级中学(543002) 周勇 杨忠梅 杨春兰

作为高中数学教师,根据自己有限的教学经验可知,学生在学习函数过程中,存在的最大障碍就是全面而深刻地正确理解抽象的函数对应法则.理解函数y = f(x),首先需要将对应法则f 理解为一部数值变换器,将定义域A 中的任意一个元素数量值x0输入到数值变换器f 中,通过对应法则f 的作用下(注：在同一个对应法则作用下每一个不同取值的自变量x 的变换原理始终相同),输出的结果就是函数值y0等于f(x0),不同的对应法则就是不同的数值变换器,理解具体函数的重点就是要弄清具体对应法则的变换原理,或者从计算机程序语言的角度去看待对应法则,对应法则会对其括号内部的对象采取一视同仁的态度,对它们施加以相同的数值变换命令,故而代入法是求解函数解析式的最重要和最基本的常用方法,因此函数解析式求解的教学设计须以此为基础.下面进行具体举例说明.

方法1代入法

已知f(x)和g(x)的解析式,求解f[g(x)]和g[f(x)]的解析式常采用此方法,只要内层的g(x)和f(x)整体视为原来的x 代入f(x)和g(x)解析式即可,代入法是函数解析式求法的基础,是后续方法的源泉,讲解时一定要详尽清楚.

例1已知函数f(x)=x+1,g(x)=x2+3x+2,求解f(1),g(a),f(x+1),f[g(x)],g[f(x)]的表达式.

设计要点本例是代入法的基础题型,是帮助学生理解代入法原理的逻辑起点,主要向学生传授对函数对应法则的简单正确理解,使用了到整体代换的思想,对于多个对应法则,可采用反向剥包菜(即从内部通往外部一层层进行处理).

方法2待定系数法

如果已知晓确定函数的类型,即已知f(x)是什么样的函数,然后假定设出此函数的一般形式,再利用待定系数法求出对应参数即可,求解过程中还是要注意理解使用代入法的原理(整体代换).

例2已知函数f(x)是二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x+4,求f(x)的表达式.

设计要点由于已知函数形式特点,故只需求出相关的参数即可,其本质为代入法在具体形式函数中的应用.

方法3方程法

例3已知函数f(x)满足f(-x)+2f(x) = x+3,求f(x)的表达式.

设计要点为便于理解可分别令x = t 和x = -t 得出关于f(t)和f(-t)的两个方程,求得f(t)表达式,最后将t再重新转化为x 即可,从中可以看出方程法本质其实就是使用代入法进行列方程组,再求解方程组而已.

方法4赋值法

对于抽象函数的问题可以采用此方法解决,对变量使用一般到特殊的变量赋值即可,即具体代入值.

例4若函数f(x)定义域为R 且满足f(0)=1,对任意的x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)成立,求f(x)的表达式;

设计要点再次通过具体实例强化对代入法的理解,注意此题的y 不能理解为y =f(x),而应理解为独立变量.

由此, 学生已经对代入法已经有相当的认识和理解了,会产生认为代入法接近于是万能解法的看法,适时来看一个代入法无法求解函数解析式的例子,讲解过程中一定要注意对引导学生分析和理解实例中的解题思路.

例5已知函数f(x + 1) = x2+ 2x + 3, 求解函数y =f(x)的表达式.

对于上述函数f(x+1) = x2+ 2x +3, 我们在理解上存在的最大困难在于不知道对应法则f 这个数值变换器的运行原理, 例如对于函数g(x) = x2+ 2x + 3 和h(x+1) = (x+1)2+2(x+1)+3,我们可以分析出,两个函数g(x)和h(x+1),它们的对应法则g 和h 这两个数值变换器的运行原理是相同的,都是将小括号内部的被作用对象x 和x+1 先进行平方运算,再加上它的2 倍,最后再加上常数3,这三个部分数值的和就是最终的作用结果.在此分析过程中,我们若将这三个函数f(x+1) = x2+2x+3,g(x)=x2+2x+3,h(x+1)=(x+1)2+2(x+1)+3 进行对比,可发现对应法则g 和h 这两个数值变换器的运行原理能够很容易得出的原因,在于它们的解析式在左右两侧的形式是统一的,即g(x)=x2+2x+3 中左右两侧都是使用x 表达式的形式,h(x+1)=(x+1)2+2(x+1)+3 中左右两侧都是使用x+1 表达式的形式,所以相对于f(x+1)=x2+2x+3我们是较为容易分析出对应法则g 和h 这两个数值变换器的运行原理.但对于f(x+1) = x2+2x+3,我们无法分析出对应法则f 这个数值变换器的运行原理,主要原因就在于它解析式在左右两侧的形式是分裂的,故只需要我们将其划归到统一状态即可,方法有二种：第一种是迁就等式的左侧,将等式右侧统一为左侧形式,即将x2+2x+3 配凑修改为x+1 的形式;第二种是迁就等式的右侧,将等式左侧统一为右侧形式,即将对应法则内部的x+1 修改写成单独的x 形式,但x+1 不明显等于x,考虑到函数的自变量可以使用不同的字母进行表示(为帮助学生理解,可向学生解释说明概念理解要抓住物质内容大于形式,类比于虽在学校里使用的正式姓名和在家里家人使用的亲切乳名但都表示同一个人),故可将对应法则内部的x+1 令其先等于t,将其进行换元,改变自变量的符号表示,最后换回x 即可达到最初求解解析式的目标,最后从解题结果上可以看到两种方法殊途同归.

方法5配凑法

此方法是整体代换思想的具体体现,即把括号里看成一个整体,把等式的右边化成含有这个整体的表达式即可,该方法在很多情况下不及换元法方便快捷.

解析由f(x+1) = x2+2x+3 = (x+1)2+2,观察等式左右两侧,使用整体代入可得f(x)=x2+2.

方法6换元法

此方法用于不宜配凑或很难配凑出的情况,可把括号里的式子改换成t,并将等式的右边用t 形式表示出来,即求出f(t)的表达式,最后再把t 换成x 即可,在此过程中应注意t的取值范围.

解析设t = x+1, 则x = t-1, 则等式f(x+1) =x2+ 2x + 3 两侧中的x 全部更换为t 可得f(t) =(t-1)2+2(t-1)+3=t2-2t+1+2t-2+3=t2+2,所以f(x)=x2+2.

设计要点将配凑法和换元法放在最后,是基于帮助学生全面而深刻理解函数对应法则,激发学生弄清运行原理.

至此,函数解析式的求解方法已经全部向学生介绍完毕,在整个教学设计中,以代入法的讲解为主线,进行了有所侧重的讲解,并对代入法无法解决的最后一道例题进行了详细分析和求法解释说明,帮助学生正确理解了函数的对应法则这一数值变换器,树立了认识具体函数的重难点在于彻底弄清对应法则的运行原理的规律意识,取得了良好的教学效果.