是根据勾股定理还是勾股定理逆定理—人教版八年级下册一内容的商榷

浙江省临海市五中(317000)黄法华 洪方日

1.起因

在教人教2013年版八年级下册第十七章《勾股定理》时,会教到:判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形的问题.以前笔者也没在意教材是否有问题,在2016年教到此内容时发现,教材中由边的关系判定不是直角三角形的依据是“根据勾股定理”的说法有问题,笔者认为应该用“根据勾股定理的逆定理”.于是笔者致电教材的一编者,说教材第32页与33页各有一处用词不当,以后就没就此话题再联系.今又教到此内容,教材依旧,说明编者没有认同笔者的意见,特提出商榷.

2.教材

为了说明问题,现摘录教材第32页与33页部分内容于下:

例1 判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:

(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=13,b=14,c=15.

分析根据勾股定理及其逆定理,判断一个三角形是不是直角三角形,只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.

解(1)因为152+82=225+64=289,172=289,所以152+82=172,根据勾股定理的逆定理,这个三角形是直角三角形.

(2)因为132+142= 169+196 = 365,152= 225,所以132+142152,根据勾股定理,这个三角形不是直角三角形.

3.商榷内容

(1)上述分析中的:“根据勾股定理及其逆定理”应划掉“及其”;(2)在解(2)中的:“根据勾股定理”应改为“根据勾股定理逆定理”.

4.商榷理由

4.1 勾股定理是已知直角不能用来判定直角

命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

命题2如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

命题1 经推理证明后即为勾股定理,命题2 经推理证明后即为勾股定理逆定理.勾股定理的作用是已知直角三角形确定三边的关系或已知两边求第三边,它的前提是已知三角形是直角三角形,很明显它不是用来判断不是直角三角形的.勾股定理逆定理的作用是已知△ABC的边满足a2+b2=c2,来判定这个三角形是直角三角形.而对于△ABC满足a2+b2c2,(c是最大边),从合情的角度来说可根据勾股定理逆定理来判定△ABC不是直角三角形,从严格来说勾股定理逆定理也没有说明△ABC不是直角三角形.若从严格的角度要求还需证明命题3.

命题3如果三角形三边长a,b,c满足a2+b22(c为最大边),那么这个三角形不是直角三角形.

命题3 的证明:假设△ABC为直角三角形,则最大边c为斜边,那么有a2+b2=c2,这与已知a2+b22矛盾,所以假设不成立,即假设的反面成立,因此△ABC不是直角三角形.

4.2 持根据勾股定理观点剖析

笔者曾向一位资深同事请教上述问题,他的观点是从命题角度来解释,命题1 与命题3 是逆否命题,它们是等价的,即命题1 与命题3 同时成立,所以根据命题3(成立)即是“根据勾股定理判定不是直角三角形”.命题3 是命题2 的否命题,原命题成立而它的否命题不一定成立.如原命题:被4 整除的数是偶数(是成立的);它的否命题:不被4 整除的数不是偶数(不成立).所以根据命题3(成立)而不用“根据勾股定理逆定理判定不是直角三角形”.

4.3 教师教学现状急需搞清这一问题

笔者了解了现在教师在教这一问题的情况,主张用“根据勾股定理”的有(1)如上述教师,明确坚持自己的主张;(2)认为乘法分配律可逆用,这里也可以;(3)书中这么说的,相信专家.主张用“根据勾股定理逆定理”的有(1)认为书中明显错误,就自己改了;(2)觉得书中不合理,还是改了合理些; (3)教时没注意课本,讲课时就改了,觉得挺自然的.还有就是觉得分不清,讲课时干脆不用,跳过根据直接下结论.

4.4 依据严谨性与量力性相结合原则应根据勾股定理逆定理

根据量力性原则,教材编写者不会在《勾股定理》这一章中增加一个定理(命题3),在此前提下讨论是用根据勾股定理还是用根据勾股定理逆定理,二者必取其一.笔者认为,同事的观点涉及高中内容,对初中学生不好解释,况且命题1 的逆否命题也不能说是勾股定理,从逻辑上说也太牵强了,学生也根本无法理解.所以笔者不认同同事的观点.从学生角度看,勾股定理是用来求直角三角形边的,勾股定理逆定理是用来判定是否是直角三角形的,决不能用已知直角(的定理)来判定不是直角.命题2 的合情推理就可得到命题3(成立),用“根据勾股定理逆定理判定不是直角三角形”虽有不严谨,但合情,它符合严谨性与量力性相结合原则;用“根据勾股定理判定不是直角三角形”既不严谨,也不合情.因此,笔者坚持认为,教材第32页与33页各有一处用词不当.