安徽省淮南市淮南第四中学(232001)张庆炎
《数学通讯》2018.1 下半月(教师)(P45-46)登载了赵登雷的文章《一道课本习题的探究与感悟》(以下简称文[1]).赵老师对高中数学人教A 版必修4 教材中习题3.2B 组第5题进行探究证明及引申.笔者在仔细品读后发现文[1]中的“问题1”证明可以优化,而“引申1”的结论有误.故以此整理成文,与赵老师及各位同仁交流.
问 题 1已 知f(α)= sinx α+ cosx α,x ∈{n|n=2k,k ∈N∗}(文[1]误写成x ∈Z),计算x=2,4,6,···时,f(α)的取值范围.猜想当x= 2k时,f(α)的取值范围.
解析由x= 2,4,6 时,f(α)的取值范围易猜想下面给出证明:
由 于sin2α,cos2α ∈[0,1],2k≥ 2,则sin2k α+cos2k α≤sin2α+ cos2α= 1.另一方面,令t= sin2α,则cos2α= 1-t,t ∈[0,1].f(α)= sin2k α+cos2k α=tk+ (1- t)k.记g(t)=tk+ (1- t)k,t ∈[0,1],令g′(t)=ktk-1- k(1- t)k-1= 0,解得注意到g(0)=g(1)= 1,故即f(α)的范围为
注:相较于文[1] 采用数学归纳法和三角函数求导求f(α)的范围,本题运用简单放缩和对多项式求导更为简洁和自然,从教学的角度上说,更利于学生的理解与接受.
引 申 1已 知f(α)= sinx α+ cosx α,x ∈{n|n=2k-1,k ∈N∗},计算x= 1,3,5···时,f(α)的值域,猜想一般结论并证明.
解析注意到2π显然为f(α)的一个周期,文[1]利用三角函数求导,得到可能,最值点0,π,2π,最终得到f(α)= sinx α+cosx α的范围为[-1,1](解题过程略,详细解答可参见文[1]).但在解题过程中有两处明显的错误,
第一,结论明显错误,当x=1 时,f(α)=sinα+cosα=而不是[-1,1].
故文[1]引申1 结论应作如下修正:
当x= 1 时,f(α)的值域是当x≥3 时,当k >1 时,-1,f(α)的值域是[-1,1].
注:文[1] 出现错误的原因是未注意到当k= 1 时,