一类守恒律方程组周期解的存在性

张树兴

(南京航空航天大学 理学院数学系,南京 211106)

本文研究如下双曲守恒律方程组

(1)

周期解的存在性,其中ρ,u分别表示密度和速度，κ>0是常数,γ是绝热指数,取值为1<γ<3.该方程组源自于等熵多方气体动力学方程组

(2)

守恒律方程组的周期解一直是许多数学工作者关注的问题,但由于初值的周期性,导致很难利用经典的Glimm格式得到周期解的存在性,但对于一些特殊方程,例如P方程组[1]和方程组(1),其在一定条件下的周期解是存在的.Frid[2]最早对这些方程进行研究,得到了当初值的全变差小于初值的震荡时,P方程组和方程组(1)周期解的存在性.Wang和Zhang[3]通过对近似解更精细的估计,推广了Frid关于P方程组的结论,得到了当初值U0∈L∩BVloc(R)时,存在属于L∩BVloc(R×R+)的周期解U(x,t).本文也是通过对方程组(1)近似解更加精细的估计,得到类似的结果.

对于方程组(1),若引入β满足2β=γ-1,则0<β<1.可求出特征值为

λ1=u-κρβ,λ2=u+κρβ.

令U=(ρ,u),记方程组(1)对应的1-Riemann不变量为w(U),2-Riemann不变量z(U),可求出(见文献[2],[4])

(3)

假设初值U0(x)=(ρ0(x),u0(x))满足

U0(x+L)=U0(x),x∈R

(4)

(5)

TV(U0(x))|[0,L)≜r<

(6)

其中,L为周期,得到的主要结论如下：

定理1 对于方程组(1),假设初值满足(4)～(6),并且满足

(7)

则存在L∩BVloc(R×R+)的全局周期解U(x,t),其周期也为L,并存在某个R>0,使得解满足

z(U(x,t))≤z0,w(U(x,t))≥w0

(8)

TV(U(x,t))|[0,L)

(9)

(10)

1 用Glimm格式构造的近似解

假设初值满足(7),在状态空间中定义一个区域

Ω={U∈R2|w(U)≥w0,z(U)≤z0}

(11)

根据Diperna[4]对于方程组(1)的Riemann问题的讨论,可知对任意左右状态Ul,Ur∈Ω,方程组(1)Riemann问题是可解的，并且解全部在Ω内.式(11)表达的区域也被称为方程组(1)的不变区域.在此先假设U关于时间一致有界,即存在不依赖于时间t的常数R>0,使得

(12)

关于R的存在性将由式(20)给出.

首先,将上半平面R×R+网格化,记网格空间和时间步长分别为l=Δx,h=Δt,满足CFL条件：

λh≤l,λ=sup{||λi||U∈R,i=1,2}.

另外,取L/l=2N,N为正整数,记tk=kh,定义带状区域:

Tk={|(x,t)|(x,t)∈(-,)×[tk,tk+1)},k=0,1,2,…

对初值做分片常数近似：

(13)

显然有

(14)

首先用方程组(1),(13)的解来定义在T0内的近似解,该近似解是由众多局部Riemann问题组成的.

为了构造T1中的近似解,随机选取数θ1∈(-1,1),记:

Uh(x,h)=Uh((m+1+θ1)l,h-0),ml

(15)

在T1内解方程组(1),(15),并把得到的解Uh(x,t)定义为在T1的近似解.

随后依次在Tk(k=2,3，…,)内构造近似解,在构造过程中，选取随机数列θk∈(-1,1)来定义在时刻tk处的分片常数Uh(x,tk)：

Uh(x,h)=Uh((m+1+θk)l,h-0),ml

(16)

这样就得到了原周期Cauchy问题的在上半平面的近似解.

2 近似解的全变差和有界性估计

由w,z的表达式(3)，可得

(17)

d(U1,U2)=(σ(U1)-σ(U12))++(σ(U12)-σ(U2))+

(18)

下标的加号表示正部.需要注意的是，(18)式只记录了σ的减变差,由上面的分析，即只记录激波强度.

对于任意含第一类间断点的函数f(x),可以定义间断点的跃度[f]=f(x-)-f(x+)，对于激波而言,激波两侧的状态U的跃度[U]也可以作为激波的强度的一种表示.

命题1 记DV(w(Uh(t))),DV(z(Uh(t)))为w(Uh(t)),z(Uh(t))的减变差,则有

证明由于只有越过激波,w(Uh(t)),z(Uh(t))才可能减小.当U1和U12以1激波相连,则有w(U1)z(U12),于是

DV(w(Uh(t)))+DV(z(Uh(t)))=z(U1)-z(U12)≤

(z(U1)-z(U12))+(w(U12)-w(U1))=

η(U12)-η(U1)=

|[η(U)]|.

当U12和U2以S2相连时,可相似的得到.

引理1[4]若U1,U2,U3∈Ω,则

d(U1,U2)≤d(U1,U3)+d(U3,U2).

另外,如果U3是以U1为左状态,U2为右状态的Riemann问题解中出现的状态,则有

d(U1,U2)=d(U1,U3)+d(U3,U2).

对函数U=(ρ(x),u(x))∈BVloc(R,R+×R),定义

其中，最大值是取遍[a,b]中任意满足a=x0

Fper(Uh(t))=μh,t([a,a+L)),

这里μh,t是指由Glimm格式得到的近似解Uh(x,t)所定义的测度，a∈R是任意的.

命题2Fper(Uh(t))的周期为L,同时不依赖于a,即对任意的a∈R,有

μh,t([a,a+L))=μh,t([0,L)).

证明由Uh(t)的周期性和Fper(Uh(t))的定义,上述结论是显然的.

命题3Fper(Uh(t))关于t是不增的,特别地,有

Fper(Uh(t))≤Fper(Uh(0))

(19)

于是得到Fper(Uh(t))关于t是不增的,并得到式(19).

命题4 近似解在一个周期内的全变差TV(Uh(x,t))|[0,L)关于t>0一致有界.

证明当方程组(1)近似解有界时,Uh(x,t)在一个周期内的全变差可以与对应的Riemann不变量在一个周期内的全变差相互控制(见文献[2],[3]),由命题1、命题3和引理2可得：

TV(Uh(t))|[0,L)≤C1(TV(w(Uh(t)))|[0,L)+TV(z(Uh(t)))|[0,L))=

2C1(DV(w(Uh(t)))|[0,L)+DV(z(Uh(t)))|[0,L))≤

其中，C1,C2依赖于近似解的界.

由于初值满足(6),记

(20)

接下来,将证明近似解的有界性.在此之前,先给如下关于周期解的一个引理：

引理3[3]对任意t>0,方程组(1)的周期解序列{Uh(x,t)}的一个子列,这里依然记为{Uh(x,t)},满足

(21)

引理3表明,对任意t>0时刻,在一个周期上的解的平均值保持不变.

命题5 近似解Uh(x,t),对任意的t>0,有

(22)

R+A(h)

3 周期解的存在性

在证明周期解的存在性之前,先给出近似解Uh(x,t)的L1范数关于t的一致性：

引理4[5-7]近似解Uh(x,t)对任意的t1,t2>0满足

其中，C只依赖于R和r.

到此,我们得到了所有可能用到的结论,由于命题4,命题5和引理4,由Glimm格式框架[8],得到近似解Uh(x,t)中存在子列Uhs(x,t)收敛到方程弱解U(x,t),同时由命题4得到式(9),由命题5得到式(10).

4 结语

本文利用改进的Glimm格式,研究守恒律方程组(1)带有周期初值条件的解的整体存在性,该方程来源于等熵的多方气体动力学方程.利用Riemann不变量的和σ定义波的强度,得到了对近似解全变差的估计,随后利用周期解在一个周期内平均值保持不变的性质,证明了近似解的有界性,最后利用Glimm格式的框架得到了周期解的存在性.