基于移动载荷法和移动质量法的起重机主梁动态响应研究*

□ 秦仙蓉 □ 张晓辉 □ 吴 琼 □ 张 氢 □ 孙远韬

同济大学 机械与能源工程学院 上海 201804

1 研究背景

龙门起重机是港口物资装卸的重要设备，可以提高作业效率和保障生产质量，某型轨道式龙门起重机如图1所示。随着生产和工作要求的提高，人们对龙门起重机的结构强度及安全性提出了更高的要求［1］。当龙门起重机在工作时，小车和吊重在主梁上运动，会对主梁结构产生动力冲击作用。与静载荷相比，主梁所承受的动载荷将会引起更大的挠度位移，影响起重机的使用和疲劳寿命。因此，研究移动载荷作用下主梁的振动，对主梁的结构设计和安全操作具有重要的意义。

目前对于龙门起重机主梁的分析，一般是将小车和吊重简化为一个移动的重物，将主梁的分析问题简化为移动载荷或移动质量作用下梁的振动问题［7］。

移动载荷模型求解简单，忽略小车的惯性加速度，以及小车与梁之间的耦合振动，在工程中很常见，如车桥耦合系统、导轨振动、火炮后座问题等。移动质量模型［7］虽然能准确模拟载荷对梁的影响，但是其求解较为复杂，只能通过数值方法进行求解［8-9］。因此，一些学者提出在重物质量与主梁质量相比较小，且低速运行的情况下，可以忽略重物惯性效应的影响［10］。

笔者以两种模型得到主梁的最大挠度作为评判指标，对不同工况下由两种模型得到的跨中最大挠度进行对比，分析判断两种模型对起重机主梁这一具体工程问题的适用性。

2 动力学方程建模

根据实际约束条件，将龙门起重机主梁简化为简支梁，并由伯努利-欧拉梁理论和结构动力学知识，得到简支梁在一般载荷p（x，t）作用下的运动方程：

▲图1 轨道式龙门起重机

式中：E为弹性模量；I为截面惯性矩；ρ为梁单位长度的质量；w为梁的挠度；x为微元到简支梁左支座的距离；t为时间。

根据模态叠加法，可得：

式中：φj（x）为简支梁第j阶模态振型，φj（x）=sin（jπx/L），j=1，2，...，N；N 为模态振型的最高阶数；L 为梁长；qj（t）为简支梁第j阶模态坐标。

将式（2）代入式（1），等号两边同乘以 φi（x），表达式为 φi（x）=sin（iπx/L），i=1，2，…，N，根据模态的加权正交性，可得：

假设梁上作用一个大小为pu的移动载荷，以速度v、加速度a移动，载荷的初始位置位于梁的左支座，运动的位移距离梁左端为s，则有：

式中：δ为狄拉克函数。

将式（5）代入式（3），移动载荷作用下简支梁第j阶模态所对应的模态方程可以简化为：

考虑小车的惯性加速度，以及小车与梁之间耦合振动的影响，将小车和吊重作为移动质量进行分析［5］，则有：

式中：M为小车和吊重的质量；g为重力加速度。

将式（7）代入式（3），移动质量作用下简支梁第j阶模态所对应的模态方程可以简化为：

对比式（6）和式（8），可以看出移动载荷法和移动质量法的主要区别在于移动质量法考虑了重物自身惯性力的影响，此时重物对梁的作用力为重力Mg和惯性力 Md2w（x，t）/dt2之差，这会影响到重物和主梁之间的振动。

3 动力学方程验证

由于载荷在主梁上的位置是不断变化的，因此动力学方程是一个时变微分方程。笔者采用纽马克逐步积分法对微分方程进行求解，纽马克参数γ为0.25，β为0.5，所选取的龙门起重机参数见表1。

表1 龙门起重机参数

为了验证上述动力学方程的正确性，通过有限元软件模拟主梁在移动载荷和移动质量作用下的挠度响应。对于移动载荷模型，将小车和吊重简化为单个移动载荷，以一定的时间间隔分别加载在主梁相应的节点上，以此来模拟小车吊着重物在大梁上移动的过程。对于移动质量模型，根据质量的移动速度施加一个时刻变化的位移，将质量块与移动位置所对应的梁节点进行耦合，利用生死单元法来模拟移动质量在主梁上的作用。

通过数值求解和有限元模拟，得到移动载荷模型和移动质量模型的主梁挠度响应曲线。为了便于观察主梁跨中位置处的响应，对横坐标进行时间归一化处理，取相对时间τ=T0/T1作为横坐标，其中T0为载荷运动的某一时刻，T1为载荷在梁上的全程运动时间。

图2所示为小车以2.5 m/s的速度在主梁上运动时主梁跨中挠度响应对比，为了更明显地看出两者区别，取相对时间0.3～0.7所对应的位移响应曲线进行分析。由图2可以看出，两种模型数值计算结果和有限元模拟结果的频率与幅值较为接近，这说明动力学方程是正确的，同时也可发现移动质量作用时主梁的挠度响应频率小于移动载荷作用。

▲图2 主梁跨中挠度响应对比

4 动力学响应对比

文献［11］的研究表明，起重机主梁的动态响应与小车的运行速度和所吊载的质量有关。因此，笔者分别从速度、吊载质量两个方面进行考虑，分析不同因素对由两种模型得到的跨中最大挠度的影响。

图3所示为小车以2.5 m/s速度在主梁上匀速运动时主梁跨中挠度的变化规律，可以看出，主梁跨中的最大挠度并不是发生在小车运动到跨中位置处之时，而是在跨中位置的前后。

图4所示为吊载30 t主梁最大挠度随小车运行速度变化的规律，可以看出速度对跨中最大挠度的影响并不是跨中最大托度随速度加快而严格递增，而是呈现一种幅值和周期都在增大的半正弦波形式。由于小车与主梁之间惯性效应的影响，移动质量模型得到的主梁挠度小于移动载荷模型，且随着速度的加快，两者的偏差越来越大。当然，在小车速度运行范围内，挠度偏差最大仅为0.018 mm。这说明对于龙门起重机而言，当速度加快时，移动载荷模型与移动质量模型在求解挠度响应时得到的结果差别较小，惯性效应对主梁跨中挠度的影响可以忽略。

▲图3 恒定速度下主梁跨中挠度曲线

▲图4 主梁跨中最大挠度随小车运行速度变化曲线

为了研究吊载质量对由两种模型得到的挠度响应的影响，引入吊载质量与主梁的质量比α和梁挠度惯性影响因数ζ，其定义如下：

式中：w1（x，t）和 w0（x，t）分别为移动质量和移动载荷作用下梁的动态响应结果。

图5所示为小车以2.5 m/s速度在主梁上匀速运行时，挠度惯性影响因数随质量比的变化情况。可以看出，在龙门起重机额定吊载质量范围内，移动质量法得到的主梁挠度始终小于移动载荷法得到的结果。同时，主梁挠度惯性影响因数的绝对值并没有随质量比的增大而一直绝对增大，而是以一种幅值和周期都增大的类半正弦波的形式增大，在某几个质量比点处，挠度惯性影响因数绝对值达到局部最大。当质量比为1.37时，挠度惯性影响因数绝对值达到最大，为2‰。移动载荷法和移动质量法的偏差仍然较小，惯性效应对于主梁跨中挠度的影响可以忽略。

▲图5 挠度惯性影响因数与质量比变化曲线

5 结论

以龙门起重机的主梁为研究对象，从理论方面建立了移动载荷和移动质量作用下主梁的动力学方程。利用有限元软件建立主梁的简化模型，将有限元模拟结果与数值计算结果进行对比，结果表明动力学方程是正确的。考虑在速度和吊载质量两种因素下，采用移动载荷法和移动质量法求取主梁跨中最大挠度的差别。

当小车速度加快和吊载质量增大时，无论是移动载荷模型还是移动质量模型，主梁跨中最大挠度都随之增大，主梁跨中最大挠度发生在跨中位置的前后。由于移动质量模型惯性效应的影响，移动质量模型所得到的跨中最大挠度要小于移动载荷模型。

移动质量法考虑了小车与梁之间惯性效应的影响，更加符合实际情况，但其建模和求解相比移动载荷法更为复杂。对于起重机主梁，两种模型得到的挠度值非常接近，偏差值较小，因此建议在实际工程中可以忽略惯性效应的影响，采用求解更方便的移动载荷模型去分析主梁的响应。