高考题怎么改编（七）——不等式篇

苏 玖

真题展现

（2018年天津卷）已知a，b∈R，且a-3b＋6＝0，则的最小值为________.

思维延伸

（改编1）已知a，b∈R＋满足a＋b＝1，求的最大值.

本题解法较多，大家可以尝试.如果改成两个代数式的平方和问题，就有：

（改编2）已知a，b∈R＋满足a＋b＝1，求的最小值.

前面几道题的条件a＋b＝1，从几何直观上看，也可以转化为点（a，b）在直线x＋y＝1上，于是条件中点（a，b）也可以在其他的曲线上，同时通过解不等式求出最值.于是可改编为：

（改编3）已知点（a，b）在曲线y＝的第一象限上，求ab的最小值.

本题仍然通过基本不等式变换，转化为关于a＋b的一元二次不等式，最后求解出答案，但如果条件仍为不等式，也可以改编为：

（改编4）已知a，b∈R＋，a＋b≤1，求的最小值.

前面都是求最大值或最小值，但也可以改编为已知最值，求参数的取值范围或参数的值.于是有：

（改编5）已知a为正常数，且不等式对一切正数x，y恒成立，求a的最小值.

还可以推广到三元不等式，而且上述各题都是任意正数x，y，那么也可以研究存在正数x，y类型问题，于是可以改编为：

（改编6）已知a，b，c为正实数，若存在正数x，y，z使得不等式（x＋y＋成立，求的最大值.

点拨解析

1.解析：由基本不等式，得，于是，因此≤2，所以的最大值为2.

2.解析：

（解法二）由基本不等式得

3.解析：由条件可知，a，b∈R＋且有a＋b＝ab-3，因为，于是有，解不等式知或（舍去），所以ab≥9，故ab的最小值为9.

本题转化为解二次不等式，求解最值.本题也可以求a＋b的最小值为6.

4.解析：（解法一）由a＋b≤1得ab≤，即，所以4.

（解法二）（三角换元法）因为a＋b≤1，因此令a＝rsin2θ，，0＜r≤1）.所以.因为0＜r≤1，因此，所以，当且仅当，r＝1，即时等号成立.故的最小值为4.

本题的解法一是两次使用基本不等式，但等号都是在a＝b时取到的，而解法二是利用圆面的三角代换，实质是动圆的问题，解法一较简洁明了.

5.解析：因为x，y，a都是正数，因此，当且仅当时等号成立，于是的最小值为（1＋.要使不等式恒成立，则必有9≤（1＋，解之得a≥4，故a的最小值为4.

本题先利用基本不等式求出左边式子的最小值，然后9就小于或等于这个最小值，建立关于a的不等式，从而求出a的取值范围.

6.解析：由题意知，由于a，b，c和x，y，z都为正数，因此，因此的最小值为，所以，即，

本题是存在型问题仍然转化为先求最小值（用a，b，c表示），再建立关于不等式a，b，c的不等式，同时本题利用代数恒等式即三元数组之和的完全平方式.

回顾悟道

通过上述各题的改编，可以发现基本不等式在求最值时的重要作用.要掌握并能灵活运用几个均值不等式：若a，b∈R＋，则，当且仅当a＝b时等号成立.利用它们求最值或者证明不等式时往往要通过基本不等式的变形使用.有时要通过两次或者多次不等式变换才能达到目标，也有的题目要结合函数的性质才能达到目标.

小试牛刀

已知a，b∈R＋满足a＋b＝1，求ab的最大值.

（改编1）：__________________________

（改编2）：_________________________

答案与解析

原题解析：由基本不等式得，因此，当且仅当时等号成立，

另法：消元法和配方法结合，因为a＋b＝1，因此，当且仅当，同时时等号成立，所以ab≤.

（改编1）已知a，b∈R＋满足a＋b＝1，求的最大值；

（改编2）已知a，b∈R＋满足a＋b＝1，求的最小值.

提示：改编1因为，所以，当且仅当时取等号.故的最大值为.