老师，我怎么学会思考——不等式篇

江苏省苏州中学 王思俭

下课铃声响起，学生涌出教室，一会儿听到一阵急促的脚步声，随之几位同学来到老师面前：

老师，利用基本不等式求最值究竟有哪些方法？我们几位同学对一个简单的不等式问题给出好多种解法，但不知道哪种解法是通性通法，哪种解法最优；我们还对这个简单问题进行推广；有的是对幂指数进行推广；有的是对变元个数进行推广；我们想请老师一同参与讨论并给予指导，老师有时间吗？

……

为此我邀请他们就“简约而非凡——一道不等式最值问题多解探究”进行交流，旨在鼓励学生积极参与数学小组讨论与交流活动，特别强调他们要自主参与、智力参与、合作参与，培养他们的团队意识与合作精神，提高学生的数学思考力，提升学生的数学抽象、逻辑推理论证、几何直观等数学核心素养.

教师：请出示你们的简单问题.

众生：（单元测验卷第5题）已知a，b∈R＋满足a＋b＝1，则a2＋b2的最小值为________.

生甲：我是利用消元法和配方法相结合求解的，因为a＋b＝1，因此a2＋b2＝a2＋，当且仅当，同时时等号成立，所以.

教师：配方法是求二次类型函数最值的常用方法，许多不等式都是由配方法演变而来的，很实用！

生乙：我是利用数形结合思想求解的，由已知条件知，a＋b＝1，a＞0，b＞0的几何意义表示直线x＋y＝1夹在第一象限内的一部分线段，而a2＋b2的几何意义表示原点与线段上点（a，b）的距离平方，因此a2＋b2的最小值为原点到线段的距离平方，即.

教师：这种解法实质是构造法，体现了几何直观，把代数与几何进行有机融合，这正是数学核心素养的重要组成部分.

生丙：我是利用等号成立的条件求解的，于是，两式相加得，.因为a＋b＝1，所以，即a2＋b2≥，当且仅当时等号成立.

教师：他的方法很巧妙，实质就是秒杀法，由于他注意到用求最值时等号成立条件，因此就配凑并构造一个不等式.

生丁：利用基本不等式直接求解，由算术平均值不小于二次幂平均值得，，所以，所以，当且仅当时等号成立.

教师：很好！这个不等式是由基本不等式演变而成的，做解答题时，最好要先证明再使用，否则阅卷时会扣分.

生甲：由于两个正数和为1（或者定值），我就联想到正弦余弦的平方和为1，于是就用三角代换法尝试.因为a＋b＝1，a＞0，b＞0，因此，令a＝sin2θ，b＝cos2θ，于是a2＋b2＝sin4θ＋cos4θ＝（sin2θ＋cos2θ）2-，当且仅当sin2θ＝±1，即，即a＝时等号成立，所以.

教师：他灵活运用三角代换和三角恒等变换以及正弦函数有界性求出最小值，很好！

生丙：我是逆向运用三角代换求解的，设a2＋b2＝r2（r＞0），于是a＝rcosθ，b＝rsinθ，，所以a＋b＝r（sinθ＋.又因为θ∈，因此，所以，

教师：他是将a2＋b2视为一个可变量，于是他联想到三角换元法求解，从几何直观上看，a2＋b2＝r2（r＞0）是动圆面，体现他变与不变、动与静的思辨能力较强.

生丁：我的想法就是利用动圆的观点再结合直线与圆的位置关系求解，设a2＋b2＝r2（r＞0），此方程的几何意义表示点P（a，b）在以原点为圆心，以r为半径的动圆上，点P（a，b）又满足a＋b＝1，由直线与圆的位置关系是有公共点，因此圆心到直线的距离d≤r，即，所以r≥，故，当且仅当时等号成立.

教师：生丁是利用解析法求解的，充分挖掘已知条件和待求问题的几何意义，展现了生丁的几何直观想象能力.

生戊：我又想到一种方法，构造向量法，构造向量m＝（a，b），n＝（1，1），两个向量夹角为θ，由平面向量数量积定义得m·n＝，即，可以判断，将已知条件代入得，而0＜cosθ≤1，于是有，即，所以，当且仅当θ＝0时等号成立，即m与n同向，此时且a＋b＝1，解之得.

众生：你是怎么想到的呢？

生戊：我把a2＋b2看作是一个向量的模的平方，把a＋b看做两个向量的数量积，于是就构造向量进行尝试.

教师：生戊将自己的思考过程进行复盘，大家都应该学会这种做法.

生己：增量法，由于a＋b＝1，两个量的平均值为，因此，我就设，其中，因此a2＋b2＝，当且仅当t＝0，即时等号成立，所以.

教师：很好！刚才他讲出思考的过程，这就是会思考问题，也是大家要学会怎样思考问题.

生己：我的这种方法对于高次的也适应，我已经推广了.同时对三元的问题也适应，而上述的几种方法未必都能求解.如

已知a，b，c∈R＋满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2的最小值为________.

生丁：如果是n元的问题可以吗？即已知ai∈R＋（i＝1，2，…，n）满足a1＋a2＋…＋an＝1，则的最小值为________.（n为给定的正整数）

生己：当然可以，令，其中，且0，于是，因此，当且仅当ti全为0时，最小值为.即使定值为正数A还是可以的，就可以了.

生乙：如果是二元高次的问题可以吗？题目改编为：

已知a，b∈R＋且满足a＋b＝A，其中正数A为定值，则an＋bn的最小值为_______.

你试试看呢？

生己：设，其中，因此，利用二项式定理展开可得

an＋bn＝，其中k∈N*且2k是小于或等于n的最大偶数，而t2i≥0，因此，当且仅当t＝0，即时等号成立，所以最小值为.

教师：你很棒！在解题过程中又复习了二项式定理，这样就可以推广到一般情况：

已知a，b∈R＋，求证：an＋bn≥.

同学们可以仿照生己的解法证明，你们也可以用其他方法证明.

生甲：我又想到利用消元法与判别式法相结合求解，t＝a2＋b2＝a2＋（1-a）2＝2a2-2a＋1，因此2a2-2a＋1-t＝0，由于方程有解，因此判别式Δ≥0，于是4-8（1-t）≥0，即.

教师：回到定义去了，很好！但要注意方程应该是有正数解，最后一定要检验.

生乙：也可以利用二次函数图象法求解，构造函数f（x）＝（x-a）2＋（x-b）2，对一切x∈R函数值非负，即f（x）＝2x2-2（a＋b）x＋a2＋b2＝2x2-2x＋a2＋b2≥0恒成立，于是二次三项式的判别式Δ≤0，即4-8（a2＋b2）≤0，因此，结合a＋b＝1得.

教师：很好！生乙的这种方法就是利用一元二次不等式恒成立的充要条件求得参数的取值范围.生甲与生乙所给出方法对一般实数都适用，可谓是通性通法.

生庚：生乙的解法实质就是柯西不等式的证明过程，于是由柯西不等式得，（12＋12）（a2＋b2）≥（1×a＋1×b）2＝（a＋b）2，所以，当且仅当时等号成立.

众生：我们没有学过柯西不等式，你能讲一讲吗？

生庚：已知a1，a2，…，an是不全为零的实数，b1，b2，…，bn为实数，求证：.

证明：构造二次函数，其中，i＝1，2，…，n，因此f（x）≥0恒成立，即恒成立，由判别式得Δ≤0，代入有4（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2-，所以.

教师：很好！生庚用最基本的方法证明了著名定理——柯西不等式，他的证明过程简洁明了，体现了数学推理、几何直观等数学核心素养.

本题是很简单的问题，经过大家充分交流，给出十二种不同的解法，许多方法都是不等式求最值的常用方法和策略，即通性通法.从思想方法上看，总结出基本不等式法、配方法、消元法、判别式法、三角换元法、正余弦函数有界性、解析法（直线与圆的位置关系、点到直线距离）、增量法（也称之为参数法）、构造法（向量法、二次函数）、柯西不等式等方法，函数与方程、数形结合、等价转化、整体代换等数学思想；从内容上看，涉及高中数学的代数、三角、解析几何等三大主要知识；从数学核心素养上看，训练学生的数学抽象（如动与静结合、变与不变的转化）、数学运算、逻辑推理、数学模型、几何直观（几何法求解）等五个方面的素养.因此，同学们平时做题不要就题论题，而要自觉展开自己的思维，积极参与交流讨论活动，学习其他同学思考问题的方式方法，大胆尝试，提升自己的认知水平，从而可以创造性地解决新情境问题，只有这样，才能提升自己的数学思考力.

实战演练

1.已知a，b∈R＋满足a＋b＝1，求证：；

2.已知a，b∈R＋满足a＋b＝1，求证：.

提示：请参照上述12种解法求解（略）.