巧用曲线y=lnx与其切线y=x-1解高考题

摘 要：本文根据直线y=x-1是曲线y=lnx的切线，从四方面阐述利用它们之间的关系，并运用数形结合思想简解高考题.

关键词：y=lnx;y=x-1;数形结合

作者简介：孟庆杰（1966-），男，辽宁抚顺人，本科，中学高级教师，研究方向：数学教育.

1 利用曲线y=lnx与其切线y=x-1求解

设曲线y=lnx，则点（1，0）在曲线上.因为（lnx）′=1x，所以曲线y=lnx在点（1，0）处的切线斜率为1，所以直线y=x-1与曲线y=lnx相切于点（1，0）[1]（如图1）.

例1 （2013年湖北卷文）已知函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）.

A.（-∞，0）B.（0，12）

C.（0，1） D.（0，+∞）

解 因為f ′（x）=lnx-（2ax-1），直线y=x-1与曲线y=lnx相切（如图1）.

又直线y=2ax-1过定点（0，-1），所以当0<2a<1，即0

所以x∈（0，x1）时，f ′（x）<0;x∈（x1，x2）时，f ′（x）>0;x∈（x2，+∞）时，f ′（x）<0（如图2）.

所以函数f（x）有两个极值点，B正确.

例2 （2010年全国Ⅰ卷理）已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1，若xf ′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围.

解 因为f ′（x）=lnx+1x，所以x（lnx+1x）≤x2+ax+1.即x[lnx-（x+a）]≤0.

因为x>0，所以lnx≤x+a.

因为lnx≤x-1，所以a的取值范围为[-1，+∞）.

例3 （2017年全国Ⅲ卷理）已知函数f（x）=x-1-alnx，若f（x）≥0，求a的值.

解 当a=0时，不符合题意，所以a≠0.

因为f（x）≥0，所以x-1≥alnx.

分别作出曲线y=alnx与直线y=x-1图象（如图3），因为lnx≤x-1，所以当a=1时，f（x）≥0符合题意;当a≠1时，不符合题意，所以a=1.

例4 （2017年全国Ⅱ卷理）已知函数f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0.

（1）求a的值;

（2）证明：函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2

解 （1）因为f（x）=ax2-ax-xlnx=x（ax-a-lnx），又f（x）≥0，x>0，所以a（x-1）≥lnx.

因为lnx≤x-1，所以a=1.

（2）由（1）得，f（x）=x2-x-xlnx，所以f ′（x）=2（x-1）-lnx.

因为直线y=x-1与曲线y=lnx相切，所以分别作出曲线y=lnx和y=2（x-1）图象，并设两曲线的一个交点为A（x0，y0）（如图4）.

当x∈（0，x0）时，f ′（x）>0;当x∈（x0，1）时，f ′（x）<0;当x∈（1，+∞）时，f ′（x）>0，所以f（x）存在唯一的极大值点x0（0

所以f（x0）=x02-x0-x0（2x0-2）=-x02+x0<2-2.

又0f（e-1）=e-2.所以函数f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2

例5 （2012年天津卷理）已知函数f（x）=x-ln（x+a）的最小值为0，其中a>0，求a的值.

解 设函数g（x）=x-1-lnx，将函数g（x）图象向左平移1个单位，得h（x）=x-ln（x+1）.由图1，得g（x）=x-1-lnx的最小值为0，所以h（x）=x-ln（x+1）的最小值也为0，所以a=1.

2 利用曲线y=lnx与过（1，0）点的直线求解

例6 （2016年山东卷文）已知函数f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x，a∈R.

（1）令g（x）=f ′（x），求函数g（x）的单调区间;

（2）已知函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.

解 （1）因为f ′（x）=lnx-2a（x-1），所以g（x）=lnx-2a（x-1）.

因为直线y=x-1与曲线y=lnx相切，所以分别作出曲线y=lnx与直线y=2a（x-1）的图象（如图5）.当2a≤0，即a≤0时，自变量x由0到1再到+∞，函数值g（x）由-∞到0再到+∞，所以函数g（x）在（0，+∞）单调递增;当2a>0，即a>0时，自变量x由0到x0再到+∞，函数值g（x）由-∞到极大值g（x0）再到-∞，所以x0为函数g（x）的极大值点，且曲线y=lnx在x0处的切线平行于直线y=2a（x-1）.

因为（lnx）′=1x，所以1x0=2a，即x0=12a.

所以函数g（x）在区间（0，12a）单调递增， 在区间[12a，+∞）单调递减.

（2）由（1）及图5，当2a>1，即a>12时，设曲线y=lnx与直线y=2a（x-1）相交于点（1，0）和A（x1，y1），则当x∈（0，x1）时，f ′（x）<0;当x∈（x1，1）时，f ′（x）>0;当x∈（1，+∞）时，f ′（x）<0.所以函数f（x）在x=1处取得极大值.

当0<2a<1，即00;当x∈（x2，+∞）时，f ′（x）<0.所以函数f（x）在x=1处取得极小值.

当2a=1，即a=12时，f ′（x）≤0，即函数f（x）无极值.

当2a≤0，即a≤0时，则当x∈（0，1）时，f ′（x）<0;当x∈（1，+∞）时，f ′（x）>0，所以函数f（x）在x=1处取得极小值.

综上所述，a的取值范围是（12，+∞）.

3 利用曲线y=lnx与过原点的直线求解

例7 （2014年新课标全国Ⅱ卷文）已知函数f（x）=kx-lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则k的取值范围（ ）.

A.（-∞，-2]B.（-∞，-1]

C.[2，+∞） D.[1，+∞）

解 因為直线y=x-1与曲线y=lnx相切，所以分别作出曲线y=lnx和y=kx图象（如图6），所以当k≥1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，所以D正确.

例8 （2013年福建卷理）已知函数f（x）=x-alnx（a∈R），求函数f（x）的极值.

解 当a≤0时，显然函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，无极值.

当a>0时，因为f（x）=a（xa-lnx），直线y=x-1与曲线y=lnx相切，所以分别作出曲线y=lnx和y=xa图象（如图7），平移直线y=xa且与曲线y=lnx相切于点（x0，y0），则x0为函数f（x）的极小值点.

因为（lnx）′=1x，所以1x0=1a，即x0=a.

所以函数f（x）的极小值为f（a）=a-alna.

综上，当a≤0时，函数f（x）无极值;当a>0时，函数f（x）有极小值为f（a）=a-alna，无极大值.

4 利用曲线y=lnx和y=ex与它们的切线求解

例9 （2013年江苏卷）设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数.

（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围;

（2）若g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论.

解 （1）当a≤0时，显然函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增;

当a>0时，因为直线y=x-1与曲线y=lnx相切，所以当a=1时，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减.

分别作出曲线y=lnx和y=ax图象（如图8），则a≥1时，f（x）在（1，+∞）上是单调减函数.

易证直线y=ex与曲线y=ex相切于点（1，e）.

分别作出曲线y=ex和y=ax（a≥1）图象，并设g（x）的最小值点为x0，且曲线y=ex在x0处的切线平行于直线y=ax（如图9）.

当a=e时，x0=1为最小值点，不符合题意;

当1≤a

当a>e时，x0>1，符合题意.

综上所述，a的取值范围为（e，+∞）.

（2）易证直线y=e-1x与曲线y=lnx相切.

因为（ex）′=ex，所以曲线y=ex在点x=-1处的切线斜率为e-1.分别作出y=lnx，y=ex，y=e-1x及y=ax图象（如图10）.

所以当a≤0时，g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，f（x）有一个零点;

当0

当a=e-1时，g（x）在（-1，+∞）上是单调增函数，f（x）有一个零点;

当a>e-1时，g（x）在（-1，+∞）上不是单调增函数，f（x）无零点.

参考文献：

[1]左巍波，刘运科.题海无边 “回头”是岸——2018年高考全国Ⅱ卷理科数学导数压轴题分析与备考建议[J].中学数学研究（华南师范大学版），2018（19）：3-6.

（收稿日期：2019-07-23）