数学史融入函数概念教学的探索

闫丽丽

函数的概念是高中阶段数学的核心概念，函数的思想和方法贯穿高中数学的始终.然而，函数概念因其高度概括性、符号的抽象性、表达形式的多样性、应用对象的多变性和思维水平的高要求成为高中数学的重点和难点，也是高一新生在数学学习中需要跨越的第一个障碍.这就对教师提出了更高的要求.只有深入地理解教学内容，全面体会教材的编写意图，针对学生的认知水平和思维发展规律，设计合理的教学情境，才能实现有效教学.在此，笔者将曾经的迷惑和探索的感悟与大家分享.

一、函数概念的发展历程之“迷”

每个数学概念的产生都有它现实或理论发展的需要，函数概念也是这样.致力于运动研究的科学家们，在天体位置、航海测量、炮弹射程等问题中，探究两个变量之间的关系，这正是函数产生和发展的背景.1692年德国数学家莱布尼兹首次使用“function”一词，用函数表示随曲线的变化而改变的几何量，如坐标、切线等;1718年瑞士数学家约翰·贝努利在莱布尼兹函数概念的基础上，强调函数要用公式表示;1755年瑞士数学家欧拉将函数定义为“如果某些变量，一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式”，这是解析式函数，有很大的局限.突破这一局限的是杰出的德国数学家狄利克雷.1837年狄利克雷提出：“如果对x的每一个确定值，y总有一个确定的值与之对应，那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围内的每一个x值，有一个确定的y和它对应就行，不管这个法则是公式、图像、表格还是其他形式.这与初中所学的函数定义已经接近.十九世纪末，随着集合概念的出现，函数概念进而用更加严谨的集合和对应语言表达，形成了高中学习的函数概念.综上所述，函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，科技在进步，函数概念还在继续发展.

二、函数概念的理解之“迷”

学生初学时会有疑惑：为什么初中和高中所学的函数概念不一样呢？教师一般会回答：只是看问题的角度不同，初中阶段的概念是运动变化观点下的变量间的依赖关系，而高中阶段的概念是集合观点下的对应关系，它们的实质是一样的.

笔者对函数概念有了更深层地理解，是在学习了A.Sfard提出的数学概念的二重性理论之后.对许多数学概念，若将其看作是一个静态的整体性的实体，那么它就具备对象的特点，若是将其看作是一种数学运算或变换，则体现了过程的特点.A.Sfard认为数学概念具有两个侧面，从过程角度看是一种操作性概念，从对象角度看是一种结构性概念，二者在概念形成过程中是先操作后结构的，这是符合人类认知规律的，而最终在认知结构中是共存的，在不同的时机发挥不同的作用.函数概念正是这样具备过程与操作性和对象与结构性双重特征的概念，从过程侧面理解函数是从一个变量得到另一个变量的方法，从一个集合到另一个集合的对应，从对象侧面理解函数可以是有序数对的集合，两个数集间的关系.

三、教学情境设计之“迷”

新课改后的几版教材对函数概念的处理方式存在很大的差异，但是教师应该“用教材教，而不是教教材”.因此，面对众多的教学素材和多样的教学思路，教师应针对学生的认知水平和思维能力的差异，提出不同的教学方案.現将笔者实践方案中的几个片段与大家分享.

片段1 映射概念

原大纲版教材采用的方式是奥苏伯尔的概念同化策略：先映射后函数，但因映射本身是一个相当抽象的概念，用它来构建函数概念，实现从一般到特殊的演绎，对学生思维能力要求较高.新课改后，只有湘教版采用这种方式，其他各版教材都采用了先函数后映射的方式.这种方式体现了概念的形成，与初中所学函数知识衔接自然，更符合一般学生的学习心理，也更接近学生从具体到抽象、从特殊到一般的思维习惯.函数是特殊的映射，可以把映射看作函数概念的推广，也可以用映射概念来帮助理解函数.映射可安排在第二课时完成，这样的安排凸显了函数的核心地位，淡化了映射，也符合课程目标.

片段2 情境引入

为了让学生能更好地理解抽象的函数概念，各版教材都采用利用丰富的背景实例创设问题情境的方式引入.在问题的引导下，归纳出函数的概念，引导学生感受函数概念的原发现过程，体会数学的应用价值，培养学生“用数学的眼光看问题”和“数学思维”.人教版和苏教版的三个实例都是选自运动（随时间变化炮弹高度）、自然界（臭氧层空洞面积的变化）和经济生活（恩格尔系数变化），以解析法、图像法、列表法三种不同方式表示，既可以让学生感受函数的广泛应用，又可以使学生意识到对应关系不仅可以是明确的解析式，也可以是形象直观的曲线或表格，还可以是抽象的描述.

片段3 认识符号

函数定义中采用的符号对学生来说是陌生的，掌握好它有利于函数概念的理解.函数从对象整体的角度看是集合间的对应关系，表示为f：A→B;从过程的角度看是变量间的依赖关系，记为y=f（x），表示“y是x的函数”.符号f（a）与f（x）既有区别，又有联系.要掌握这些符号，可以先通过解析法表示的具体函数体会，再在例题中巩固，这样的学习任务与学生的思维最近发展区相适应，可以激发学生的学习热情和信心.

片段4 融入数学史

仔细对比研究会发现：学生学习函数的过程和函数概念的发展历程有着相似之处，都经过了四个阶段：从实际问题中发现变量间的依赖关系→用数学表达式描述变量间关系→发现更多样的对应关系→集合表示的对应关系.教师可以在课堂小结环节简要讲解“函数概念的发展历程”，引导学生体会过程的相似性和初中函数概念的局限性，使学生更深刻地理解概念的实质;将有关函数发展史的“阅读与思考”结合“实习作业”布置为周末小论文，开拓学生的数学视野，认识数学的科学价值、应用价值和文化价值.通过这些活动，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态，可以提高学生学习数学的兴趣和信心.

总之，教学设计应遵循激发动机和兴趣的情意原则：创设问题情境引导学习，激活思维，激发求知欲;铺设恰当的认知阶梯，呈现与学生思维最近发展区相适应的学习任务，激发学习热情.形成式概念的教学设计应遵循学生的学习过程与知识的发生发展过程有机整合的过程原则：还原概念的原发现过程;还原思维的发展过程，构建一条“从具体到抽象、从特殊到一般、由此及彼、由表及里、从片面到全面”的思维通道.