关于电磁感应二次结论Q=|W安|需要澄清的几个问题

李兴

摘   要：由于对电磁感应中安培力做功的本质不太了解，学生很容易生搬硬套Q=|W|的二次结论。文章从功能关系、对比“摩擦生热”、微观角度分析多种场景下焦耳热与安培力做功的关系，从而得出Q=|W|的适用条件。

关键词：电磁感应;安培力做功;焦耳热

中图分类号：G633.7 文献标识码：A     文章编号：1003-6148（2019）10-0055-3

1    问题来源

在学习电磁感应规律的过程中，经常遇到有关克服安培力做功和回路中焦耳热的问题。

案例1 如图1所示，两根固定的光滑平行导轨，导轨间的宽度为L，电阻不计。导轨左侧接有一阻值为R的电阻。一导体棒垂直于导轨，长度为L，电阻为r，垂直导轨放置，整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中。现在一外力F的作用下，导体棒以速度v沿光滑导轨匀速移动。

2    对于电磁感应中二次结论Q=|W| 的几点疑问

疑问1：该结论适用于感生电动势的情况吗？

感应电动势的产生有两种形式，一种是导体棒切割磁感线产生的电动势叫做动生电动势，另一种是由于磁场变化而产生的电动势叫做感生电动势。案例1属于前一种情况，那么对于产生感生电动势的情境，Q=|W| 的二次结论还能适用吗[1]？

案例2 如图2a所示，一个矩形的导体框固定在一个匀强磁场中，线框平面与磁场垂直，线框的面积为S，电阻为R，磁感应强度B随时间变化的规律为B=kt（k>0且为常数），求：0～t0时间内回路中产生的焦耳热？

分析 当磁场随时间逐渐增大时，导体框中会产生逆时针方向的感应电流，因此0～t0时间内，导体框中产生的焦耳热Q一定不等于零，而导体框的各边虽然也会受到垂直方向的安培力F（图2b），但由于导体框并没有移动，因此安培力做的功W=0 。

案例3 导轨平面水平且光滑，其左侧接入一个内阻为R电动机M，匀强磁场垂直于导轨平面，电阻为r的导体棒AB在恒定的外力作用下，向右以速度v匀速切割磁感线（图3），能使电动机正常工作，则在t时间内，电路中产生的焦耳热Q与|W|是否相等？

分析 根据能量转化和守恒定律可得，外力做的功WF 等于回路中的焦耳热与电动机对外提供的机械能，即WF =Q +E，根据动能定理，WF+W =△Ek ，又因为△Ek=0 ，可得W= -WF = -（ Q + E）， 即|W|> Q 。

结论：Q=|W|只能适用于纯电阻电路。

疑问3：W指的是安培力对单个导体棒做的功吗？

案例4 （两根导体棒切割的情形）导轨平面水平，两个质量均为m、电阻均为R、长度均为L的导体棒ab、cd静放于光滑的导轨上，匀强磁场与导轨平面垂直，给导体棒ab一个初速度v0（图4），试分析两棒从开始到稳定的运动状态过程中，回路中产生的焦耳热Q与安培力做功的情况。

分析 根据动量守恒定律有 mv0=2mv，v=。

根据能量守恒定律，回路中产生的焦耳热Q应等于系统动能的损失量，即：

Q=-△Ek =mv-2mv2=mv

对ab棒，根据动能定理得

W= mv2-mv=-mv

对cd棒，根据动能定理得

W= mv2=mv

对系统， 一对安培力做的功为

W+W= -mv+mv=-mv

据上可得：Q =| W+W|

结论：根据案例4可知，回路中放出的焦耳热Q对应的是系统的一对安培力所做的净功。当回路中只有一个切割的导体棒，而且是静磁场，W也等于安培力对单个导体棒做的功。

3    与“摩擦生热”的功能关系类比

不同形式能量之间的转化是通过做功实现的。以上电磁感应现象的案例中，是机械能→电能→内能之间的转化，这个转化过程是通过安培力做功来实现的。这与力学中的“摩擦生热”情形是类似的（如表1）[1]。

4    电磁感应中安培力做功与焦耳热的微观解释

4.1    产生动生电动势的微观本质

如图5a所示，金属杆AB向右以速度v1切割磁感线时，金属杆内的自由电子受到洛伦兹力f1的作用，且f1=ev1B 方向沿杆向下（图5b），因此金属杆A端带正电，B端带负电。这就是金属杆上动生电动势产生的本质，其中f1为产生动生电动势的非静电力。

4.2    安培力的微观本质

由于电子沿金属杆方向上有定向移动（图5c），因此电子还受到另一个方向的洛伦兹力f2的作用，若电子沿杆方向的速度大小为v2，则f2=ev2B，金属杆内所有自由电子受到的f2的合力即为金属杆受到的安培力F。

4.3    安培力做功与焦耳热

因为自由电子受到的洛伦兹力不做功，因此Wf1+Wf2=0 。设金属杆的横截面积为S，单位体积内的自由电子数为n ，则t时间内：

W=N W=nSL W=-nSL W=-nSL evBvt

根据电流强度的微观表达式I=neSv2 和切割產生的动生电动势E=BLv1，对于纯电阻电路：

|W|=|-IEt|=E=Q

若回路中的磁场也同时发生变化时，产生感生电动势，电源中的非静电力除了洛伦兹力f1之外，还有涡旋电场力，此时回路中总的电能：

E ≠|W|[2]

5    总结与反思

根据前面几个案例的研究可知，使用二次结论Q=|W|时，应注意以下情形[2]：

①只适用于仅有动生电动势的情形;

②只适用于电能全部转化为内能的电路（即纯电阻电路）;

③磁场中有两个切割导体，W应该是一对安培力做的功。

对于二次结论，教师应当引导学生从宏观与微观、运动规律、功能关系等不同的角度理清该结论的来龙去脉，从而得出比较准确的适用范围，这样可以让学生的科学思维水平得到训练和提高。

参考文献：

[1]谭子虎.克服安培力做多少功，就有多少电能产生吗？[J].物理教师，2015，36（2）：54-55.

[2]陆球.电磁感应中关于安培力做功与电阻发热量关系的讨论[J].物理教师，2018，39（11）：55-56.

（栏目编辑    罗琬华）