负泊松比蜂窝材料的动力学响应及能量吸收特性*

韩会龙，张新春，王 鹏

(华北电力大学机械工程系,河北 保定 071003)

与传统多胞材料(正泊松比)不同，负泊松比(negative Poisson’s ratio, NPR)多胞材料在单向拉伸作用下，会发生侧向膨胀。这种独特的拉胀现象使负泊松比多胞材料表现出更优异的力学性能，比如，良好的应力扩散效应，极低的体积模量，极高的剪切模量和能量吸收能力等[1]。拉胀多胞材料的出现为具有特殊力学属性的材料和结构设计提供了一个全新的方向和途径，具有强大的工程应用前景[2-3]。随着对负泊松比多胞材料研究的进一步深入，不同微拓扑结构在不断涌现。关于拉胀多胞材料的研究一直是材料学家和工程师们关注的前沿课题，尤其在强动载荷作用下，载荷的高频成分将控制结构的动力响应，胞元微结构的改变对材料局部动态应力演化的影响更加显著。因此，如何建立微结构与多胞材料动力学响应间的关系，也是负泊松比多胞材料力学性能研究的重要目标之一。

负泊松比多胞材料已引起了学者们的广泛关注[4-8]。Prall等[4]运用理论分析和实验相结合的方法对六韧带手性蜂窝结构的面内力学特性进行了研究；张新春等[5]采用数值方法讨论了六韧带手性蜂窝结构的冲击动力学特性，得到了蜂窝材料的面内宏/微观变形行为、密实应变、动态平台应力和比能量吸收能力与胞元微结构参数间的关系；Scarpa等[6]运用理论分析和数值模拟相结合的方法分析了具有管状拓扑结构的内凹六边形蜂窝材料的力学性能；张伟等[7]设计出了一种具有负泊松比效应的汽车前纵梁吸能盒结构，研究表明该结构的等效弹性模量和平台应力在面内加载过程中均能得到一定程度的增强；Qiao等[8]分别研究了均匀和功能梯度双箭头蜂窝材料的抗冲击性能，并对这种负泊松比蜂窝材料应力增强效应的产生机理进行了解释。以上研究成果主要集中于模型构建、准静态力学性能的预测以及负泊松比变形特性的解释，而对负泊松比多胞材料在冲击载荷下的动态力学性能和能量吸收机理的研究刚刚展开[5,8-9]。在强动载荷作用下，微结构效应和惯性效应将主要影响多胞材料的宏观动态响应特性。胞元微结构的改变引起拉胀多胞材料中丰富多彩的动力学演化特性还有待于进一步澄清。

针对传统正方形蜂窝，通过用更小的双向内凹结构替代原蜂窝材料的结构节点，给出了一种负泊松比层级蜂窝结构(即星形节点周期性蜂窝结构)。本文中以负泊松比蜂窝结构为研究对象，利用显式动力有限元方法对该负泊松比蜂窝的微结构效应、平台应力增强效应和能量吸收特性进行了研究，以期建立胞元微结构与负泊松比多胞材料宏观动力学性能间的关系。

1 模型构建与临界冲击速度

1.1 几何模型

对于传统正方形蜂窝，如图1(a)所示，通过用更小的双向内凹结构胞元替代原蜂窝材料的结构节点，得到了一种负泊松比层级蜂窝结构(即星形节点周期性蜂窝结构，如图1(b))，该结构可看作一种引入负泊松比层级结构的组合蜂窝材料，其具有层级蜂窝材料的各种优点。随着金属3D打印快速成型技术的日益成熟，负泊松比蜂窝材料的制备难度将大大减小，加工质量能够得到控制。图1(c)给出了负泊松比蜂窝代表性体积单元的结构示意图。其中，Ls表示节点胞壁的长度，L表示连接蜂窝材料的韧带长度的一半，t表示蜂窝材料的胞壁厚度，α表示内凹箭头节点内夹角的一半，β表示内凹箭头节点间夹角。对于负泊松比蜂窝结构，夹角α与β存在如下关系：

β=2α-90°α∈(45°,90°]

(1)

根据多胞材料理论[3]，蜂窝材料的相对密度可由代表性体积单元的实体部分面积与其总横断面面积的比值给出。因此，负泊松比蜂窝结构的相对密度可由下式给出，即:

(2)

式中：As为负泊松比蜂窝结构代表性体积单元实体部分面积，Atotal为代表性体积单元总横断面面积。

1.2 有限元模型

图2给出了负泊松比蜂窝材料的计算模型示意图。利用显式动力学有限元方法并借助Abaqus/Explicit进行面内动力响应特性计算。基体材料为金属铝，假定为理想弹塑性模型，并服从Mises屈服准则；上、下刚性板视为刚体，采用R3D4单元进行离散，具体材料参数如表1所示。试件中各胞壁均采用S4R壳单元进行离散。为了保证收敛，沿胞壁厚度方向取5个积分点。对于计算中可能的接触，将刚性板与试件间定义为面面自动接触，摩擦系数为0.02[9]；试件内部各胞元间定义为通用接触，且无摩擦。通用接触为ABAQUS中的主要接触形式之一，缺省设置为各单元面内自动接触。当刚性板沿y方向冲击蜂窝体时，试件的底端固定，左右两侧自由，边界条件与文献[9-12]完全相同。另外，为保证变形的平面应变状态，试件中所有节点的面外位移均被限制。试件在x和y方向上分别有12和14个胞元。数值研究表明，在x和y方向内填充胞元数目超过10时，其动态响应趋于稳定[5]。

作为对比，本文中也对传统正方形蜂窝结构的面内冲击动力学性能进行了研究，计算模型如图2(a)所示。为了验证有限元模型的可靠性，选取了Liu等[11]所建立的正方形蜂窝。正方形蜂窝的壁长为负泊松比蜂窝相邻两个代表性体积单元中心的距离，试件在x和y方向上分别有12和14个胞元。除此之外，基体材料属性、边界条件和网格划分等均与负泊松比蜂窝材料模型完全相同。

材料ρ/(kg·m-3)E/GPaνσy/MPa铝2700690.376刚性板7800210

1.3 临界速度

在冲击载荷作用下，冲击速度是影响多胞材料动力响应特性的一个非常重要指标。当冲击速度超过陷波波速[13](即第一临界速度)时，局部变形带开始形成。陷波波速为:

(3)

式中：εcr为应力达到第一次应力峰值时对应的名义应变(即初始应变)，切线模量c(ε)为:

(4)

式中：σ′(ε)表示多胞材料线弹性阶段的弹性模量，ρs为基体材料的密度，Δρ为多胞材料的相对密度。

随着冲击速度的继续增加，冲击端局部变形更加明显，局部变形带以冲击波的形式由冲击端向固定端传播。多胞材料变形表现出冲击波特征时的冲击波波速[13]，称为第二临界速度，可由下式给出:

(5)

式中：σ0为多胞材料的准静态平台应力，εD为多胞材料的密实化应变(也称为锁定应变)。

根据以上分析，多胞材料的动态响应依据冲击速度可分为3个区域：

(1)区域1:v

(2)区域2:Vcr1≤v≤Vcr2，多胞材料表现出局部化变形特征；

(3)区域3:Vcr1

本文中，对于壁厚t=0.3 mm的负泊松比蜂窝结构(β=60°和Ls/L=1)，第一临界速度Vcr1≈17 m/s，第二临界速度Vcr2≈90 m/s。将冲击速度介于区域1时称为低速冲击，将冲击速度介于区域2时称为中速冲击，将冲击速度介于区域3时称为高速冲击。

2 数值结果与讨论

2.1 面内冲击变形

对于负泊松比蜂窝结构，取β=60°，Ls=L=2 mm，t=0.3 mm。而对于传统正方形蜂窝，取胞壁长度为6.83 mm，壁厚与负泊松比蜂窝完全相同。图3给出了冲击速度v=20 m/s时蜂窝材料的名义应力应变曲线。其中，名义应变ε为试件压缩位移与初始竖向高度的比值；名义应力σ为刚性板压缩反力与试件初始横截面面积的比值。受到面内冲击时，传统蜂窝结构的面内冲击过程(如图3(a))可划分为三个阶段：线弹性区、平台区和密实化区，与文献[10-11]所述正泊松比蜂窝结构完全一致。与正泊松比蜂窝结构不同，负泊松比蜂窝材料的面内冲击(如图3(b))可进一步划分为4个阶段：线弹性区、平台区、平台应力增强区和密实化区。在线弹性区，负泊松比蜂窝的压缩应力在极短的时间内急剧增大至初始应力峰值，而后逐渐减小并趋于稳定，此时所对应的压缩应变为初始应变εcr；进入平台区，负泊松比蜂窝材料所承受的压缩应力趋于稳定并围绕某一固定值上下波动，同时发生大的压缩应变，该阶段为冲击能量吸收的主要区域；在平台区的后段，随着压缩应变的持续增大，压缩应力不再保持稳定，而是随着压缩应变以一定斜率逐渐增大，称为平台应力增强区(如图3(b))。平台应力增强区开始的标志是压缩应力单调增大且大小超过平台应力，此时对应的压缩应变用平台应力增强应变εE表示；当所有的胞壁完全贴合在一起，达到压缩密实时，这一阶段称为密实化区，密实化区开始的标志是应力应变曲线斜率突然增大并保持不变，此时对应的应变用密实应变εD表示。

图3 面内冲击载荷作用下蜂窝材料的名义应力应变曲线Fig.3 Nominal stress-strain curves of honeycombs under in-plane crushing

为了探究造成上述两种蜂窝冲击响应特性差异的原因，图4给出了冲击速度v=20 m/s时，传统蜂窝和负泊松比蜂窝在ε=0.6时的宏微观变形模式，此时负泊松比蜂窝的面内冲击过程处于平台应力增强区。图中显见，对于正泊松比蜂窝材料(如图4(a))，在中低速冲击时，会发生压缩-膨胀现象，在水平方向上胞元会向外扩散。因此在平台区结束后，不会出现平台应力增强区，而是随着胞元胞壁的逐渐接触，压缩应力迅速升高而进入密实化区。而对于负泊松比蜂窝(如图4(b))，会发生轴向压缩-收缩现象，在达到密实化之前，负泊松比蜂窝结构中心位置的材料重新形成了多层非均匀的多胞结构，导致负泊松比蜂窝结构的等效弹性模量增大，进而产生平台应力增强效应，主要表现在平台应力增强区。综上所述，造成负泊松比蜂窝和正方形蜂窝冲击响应特性差异的主要原因是负泊松比蜂窝中双向内凹层级结构的负泊松比效应。

图4 蜂窝的宏微观变形模式Fig.4 Macroscopic and microscopic deformation modes of honeycombs

图5～6分别给出了负泊松比蜂窝和正方形蜂窝在不同冲击速度下的变形模式，其中名义应变为ε=0.375。对于负泊松比蜂窝，在中低速冲击时，结构发生内凹，呈现出负泊松比特性，在宏观上表现为明显的“颈缩”现象；在高速冲击时，由于惯性效应的影响，负泊松比蜂窝由冲击端逐层压缩直到密实，局部变形明显，负泊松比效应减弱。而对于正方形蜂窝，在不同冲击速度下均未出现负泊松比现象，其变形与文献[11]类似。

图5 不同冲击速度下负泊松比蜂窝材料的宏观变形模式Fig.5 Macroscopic deformation modes of honeycombs with NPR at different impact velocities

图6 不同冲击速度下正方形蜂窝材料的宏观变形模式Fig.6 Macroscopic deformation modes of square honeycombs at different impact velocities

2.2 密实应变和平台应力增强应变

在冲击载荷作用下，与冲击能量吸收关系最大的是平台应力σP和密实应变εD。多胞材料的密实应变理论上等于孔隙率[3]，即:

εD=1-Δρ

(6)

但研究表明[3,12]，多胞材料发生密实化现象时对应的应变略小于孔隙率，密实应变是多胞材料相对密度的函数，即:

εD=1-λΔρ

(7)

式中：λ为多胞材料的微结构影响参数[12]。对于蜂窝材料，Gibson等[3]建议取λ=1.4。实践中发现，密实应变εD是一个速度敏感型变量，在一定程度上还受到惯性等因素的影响。为避免了人为选择的随意性，目前广泛采用能量吸收效率方法来确定多胞材料的密实应变[5, 9]。基于能量吸收效率方法，密实应变εD可由下式确定，即：

(8)

定义在给定名义应变下多胞材料所吸收的能量与相应名义应力的比值η为:

(9)

然而，实际多胞材料的能量吸收效率曲线中有很多局部极大值，如图7所示。在本文中的计算中，定义最后的极大值点(即能量效率曲线开始迅速下降的点)所对应的名义应变为锁定应变点。

图7 负泊松比蜂窝名义应力应变曲线与能量吸收效率曲线 Fig.7 Nominal stress-strain curve and corresponding energy absorption efficiency curve of honeycomb with NPR

保持Ls/L=1和t=0.3 mm不变，通过改变胞元内凹箭头节点间夹角β，表2给出了负泊松比蜂窝结构在不同冲击载荷下的密实应变。对于相同的相对密度，低速冲击时，负泊松比蜂窝结构的密实应变大致等于其静态密实应变，与冲击速度关系不大；在高速冲击时，惯性效应明显，试件密实应变大致相同，接近于孔隙率，冲击速度的影响较小。但对于中速冲击时，密实应变将受到微结构惯性和冲击速度影响。密实应变随着相对密度的增大而逐渐减小，随着冲击速度的增大而相应增大。可见，在低速和高速冲击时，相对密度是影响负泊松比蜂窝结构密实应变的重要指标；在中速冲击时，密实应变同时受到相对密度和冲击速度的影响。考虑到惯性效应和微结构效应的影响，给出基于分段函数形式的密实应变公式，即：

(10)

式中：εDH、εDT和εDD分别为低速、中速和高速冲击时负泊松比蜂窝结构的动态密实应变，λDH、λDT和λDD分别为低速、中速和高速冲击时的修正系数，kDH、kDT和kDD分别为相应的速度相关系数。kDH和kDD为常数，kDT为冲击速度的函数，可由下式给出:

kDT=a(1+bv)

(11)

式中：a和b为常数，v为冲击速度。基于最小二乘拟合方法，本文中给出了不同冲击速度下负泊松比蜂窝结构密实应变的经验公式，即:

(12)

表2 负泊松比蜂窝结构的密实应变Table 2 Densification strains of honeycombs with NPR

为了验证上述密实应变经验公式的有效性，在保持其他微结构参数不变的前提下而改变胞壁厚度，建立了不同相对密度的负泊松比蜂窝结构模型。基于有限元模拟和能量吸收效率方法，得到了不同相对密度负泊松比蜂窝结构在高速、中速和低速冲击载荷下的密实应变，如图8所示。图中显见，当相对密度低于0.32时，有限元模拟结果与经验公式吻合较好，即在低速和高速冲击时，负泊松比蜂窝结构的密实应变主要取决于相对密度；在中速冲击时，负泊松比蜂窝结构的密实应变由相对密度和冲击速度共同主导。研究表明，该经验公式对于相对密度低于0.32的负泊松比蜂窝结构均适用。

由于负泊松比内凹结构的引入，在中低速冲击时负泊松比蜂窝结构的应力应变曲线在平台区可进一步划分为两个阶段，即平台区和平台应力增强区，两个阶段的临界应变点定义为平台应力增强应变εE。图9给出了负泊松比蜂窝结构的平台应力增强应变εE与密实应变εD之间的关系。图中显见，在中低速冲击时，两者之间呈现出线性关系，即εE=kεD。通过对有限元计算结果进行线性拟合，得到中速(v=20 m/s)和低速(v=3 m/s)冲击时的比例系数k分别为0.79和0.58。研究表明，在冲击速度相同的条件下，平台应力增强应变与密实应变几乎成正比；随着冲击速度的增大，比例系数相应增大。

图8 负泊松比蜂窝结构的密实应变与冲击速度间的关系Fig.8 Variation of desification strain with impact velocity for honeycombs with NPR

图9 负泊松比蜂窝结构的平台应力增强应变和密实应变关系曲线Fig.9 Variation of plateau stress enhancement strain with densification strain for honeycombs with NPR

2.3 平台应力

对于负泊松比蜂窝结构，由于平台应力增强区的存在，本文将平台区和平台应力增强区的平均应力作为平台应力，即:

(13)

式中：εcr为初始应变。在整个冲击过程中，εcr值很小，文中取εcr=0.02，以达到更高的计算精度。εD为密实应变，由前文所述的能量吸收效率方法给出。

图10 不同冲击速度下负泊松比蜂窝和正方形蜂窝的平台应力Fig.10 Plateau stresses of honeycombs with NPR and 材料平台应力的影响，在保证相对密度Δρ=0.15不变的前提下，基于式(13)，图10给出了负泊松比蜂窝结构(β=60°，Ls/L=1)在冲击端平台应力随冲击速度的变化规律。作为对比，图中还给出了相同相对密度下正方形蜂窝材料的平台应力。结果表明，负泊松比蜂窝和正方形蜂窝的平台应力都随冲击速度的增加而增大，在中高速冲击时，其平台应力近似正比于冲击速度的平方。当冲击速度和相对密度一定时，负泊松比蜂窝结构的平台应力明显高于传统正方形蜂窝材料，究其原因是由于负泊松比结构的引入，负泊松比蜂窝结构宏观变形更加困难，而产生平台应力增强效应。可见，由于负泊松比层级结构的引入，负泊松比蜂窝材料的动态承载能力明显增强。

只要冲击速度足够高，产生平面塑性波前，塑性冲击波理论便可应用于多胞材料[12,14]。根据一维冲击波理论，Qiu等[12]给出了不同微结构多胞材料的平台应力与冲击速度之间的函数关系式，即:

(14)

图1 1 不同微结构负泊松比蜂窝材料的平台应力与冲击速度间的关系Fig.11 Variation of plateau stresses for honeycombs with NPR at different cellmicro-structures with respect to impact velocities

式中：A和B为拟合系数，取决于多胞材料的微结构；σy为基体材料的屈服应力。基于式(14)和最小二乘拟合，给出了负泊松比蜂窝结构冲击端平台应力与冲击速度和相对密度之间的关系，即:

(15)

在保持Ls/L=1和t=0.3 mm不变条件下，通过改变胞元内凹箭头节点间夹角β，得到了不同微结构负泊松比蜂窝材料模型。图11给出了不同微结构下(即不同β)负泊松比蜂窝材料冲击端平台应力与冲击速度间的关系。在给定冲击速度下，随着β的减小，相对密度的增加，冲击端平台应力明显增加。作为对比，图中还给出了经验公式(式(15))的理论计算结果，用实线表示。从图中可以看出，两者吻合较好，从而也证明了式(15)的有效性。由图11可以看出，相比于有限元计算结果，该经验公式得到的平台应力偏低。

2.4 能量吸收特性

传统多胞材料普遍存在冲击峰值应力高和平台应力波动大等缺点(如图3(a))，因此在用作冲击吸能构件时有很大的局限性。由于具有低强度、小应力波动、大压缩应变和平台应力增强等特点(如图3(b))，负泊松比多胞材料用于冲击吸能构件时具有更大的优势[15]。

在冲击载荷作用下，如果忽略冲击过程中热能和声能等能量的消耗，多胞材料吸收的能量主要转化为2大部分，即蜂窝材料的内能和动能，将两者之和定义为总能量[16]。在保证相对密度不变的条件下，图12给出了不同冲击速度和不同微结构(即β角)下负泊松比蜂窝材料的名义应力随名义应变的变化曲线。图中可以看出，在微结构相同的条件下，蜂窝材料的承载能力随冲击速度的增加而增大。在相同冲击速度下(v=20 m/s)，蜂窝材料的承载能力随β角的增大而增大。

图1 2 负泊松比蜂窝的名义应力应变关系Fig.12 Relation between nominal stress and nominal strain of honeycombs with NPR

图13给出了相应负泊松比蜂窝材料的总吸收能量随名义应变的变化曲线。研究结果表明，当胞元微结构和相对密度一定时，随着冲击速度的增大，试件的能量吸收能力明显增强(如图13(a))。当冲击速度和相对密度一定时，试件的总吸收能量随着β的增大而增大(如图13(b))。综上所述，通过改变胞元微结构和增大冲击速度可以提升负泊松比蜂窝的能量吸收能力。

图1 3 负泊松比蜂窝的能量吸收与名义应变关系Fig.13 Relation between energy absorption and nominal strain of honeycombs with NPR

为了进一步探究面内冲击作用下负泊松比蜂窝结构的能量吸收分布情况，本文中定义内能分布系数Φ(内能在总吸收能量中所占的比例)，即:

(16)

式中：EI为负泊松比蜂窝结构的内能；E为负泊松比蜂窝结构的总吸收能量。

图14给出了不同冲击速度下内能分布系数Φ随名义应变的变化关系。当相对密度不变时(如图14(a))，冲击速度对内能分布系数Φ的影响较大，随着冲击速度的增加，试件中的内能相应减小，由低速冲击(v=3 m/s)时的0.99逐渐减小到高速冲击(v=200 m/s)时的约0.45。当冲击速度恒定时(v=20 m/s)，除了相对密度，内能分布系数Φ亦取决于胞元微结构(如图14(b))。可见，当冲击速度低于冲击波速(即v

图1 4 负泊松比蜂窝的内能分布系数与名义应变关系Fig.14 Relation between internal energy distribution coefficient and nominal strain of honeycombs with NPR

3 结 论

通过用更小的双向内凹结构替代传统正方形蜂窝的结构节点，得到了一种负泊松比蜂窝结构模型。基于显式动力有限元方法，对该负泊松比蜂窝材料动力学响应和能量吸收特性进行了研究。得到如下结论。

(1)在面内冲击载荷下，负泊松比蜂窝结构的冲击过程可分为线弹性阶段、平台阶段、平台应力增强阶段和密实化阶段4个阶段。在中低速冲击时，负泊松比蜂窝结构表现出负泊松比材料在轴向压缩时独特的“颈缩”现象，从而导致平台应力增强效应。随着冲击速度的增加，惯性效应增强，负泊松比蜂窝结构的负泊松比特性减弱。

(2)在低速和高速冲击时，相对密度是影响负泊松比蜂窝结构密实应变的重要指标；在中速冲击时，负泊松比蜂窝的密实应变由胞元微结构和冲击速度共同决定。基于能量吸收效率方法，给出了负泊松比蜂窝结构在不同冲击速度下的密实应变经验公式。对于负泊松比蜂窝结构，平台应力增强应变和密实应变成正比，比例系数随着冲击速度的增大而增大。

(3)在给定冲击速度下，由于负泊松比层级结构的引入，负泊松比蜂窝材料的动态承载能力明显高于传统正方形蜂窝。基于能量吸收效率方法和一维冲击波理论，给出了负泊松比蜂窝结构冲击端的平台应力经验公式，以预测负泊松比多胞材料的动态承载能力。理论计算结果与有限元结果吻合较好，从而证明了经验公式的有效性。另外，还引入了内能分布系数，来衡量冲击载荷下负泊松比蜂窝材料的能量吸收形式和能量分布情况。