巧用数形结合 提升数学运算能力

曹逸

摘要：数形结合是一种可以使复杂问题简单化，抽象问题形象化的数学思想方法。在计算教学中巧妙运用数形结合，可以帮助学生亲历探索全过程，明晰算理，形成算法，发现计算规律。在计算练习中合理运用数形结合，可以提升学生理解运算、实施运算和估算的能力，能有效提升学生数学运算的能力水平。

关键词：数形结合;运算能力

中图分类号：G623.5文献标识码：A     文章編号：1992-7711（2018）19-075-2

数形结合是根据数与形之间的对应关系，通过数和形的相互转化来解决数学问题的思想。数形结合可以将复杂问题简单化、抽象问题具体化，实现抽象思维和形象思维的有机结合。数形结合不仅是一种教学思想，还是一种很好的教学方法。教学中有不少抽象的、学生难以理解和掌握的内容，通过数形结合的使用可以巧妙地突破重点、化解难点。

一、利用数形结合，亲历发现过程

1.经历探寻“理”和“法”的过程

算理是计算过程中的道理，是解决“为什么这样算”的问题，而算法是计算的方法，是解决“怎样算”的方法。算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼概括。在理解算理的基础上，算法才能融会贯通，灵活运用。数形结合可以有效地把算理显性化、直观化。

教学中，教师应重视指导学生在理解算理的基础上掌握计算方法。例如，在教学“加法运算律及其简便计算”课中，教师引导学生思考323+102、426+199可以怎样简便计算，让学生根据经验提出自己的想法：

323+102=323+100+2

426+199=426+200-1

追问：为什么可以这样转化呢？谁能解释一下这样算的道理？（学生的思维很活跃。）

生1：假如我去超市买东西，我先付了323元，还要付102元。我先给营业员100元，再加两个硬币，所以323+102可以变成323+100+2。第二题我先付了426元，然后又给了阿姨2张100，可是多付了1元，所以要用426+200-1。

生2：我把102拆成100+2，所以323+102可以变成323+100+2。把199拆成200-1，所以426+199等于426+200-1。

生3：因为102包含了1个百和2个1，所以可以先加上1个百，再加2个1。第二题是需要加199个1，但是却加上了200，多加了1个，所以要减去。

此时，教师应及时出示下列图示，让学生借助图形理解算理，深化对计算方法的认识。

2.亲历发现规律的过程

数学学习本身是一个探索、创造知识的过程。计算教学包含了大量的探索运算规律的内容。利用数与形的联系进行合理转化，可以将复杂的数学问题，尤其是规律探索问题变得简单易懂。

例如教学《积的变化规律》一课，通过自主探究，学生初步发现了“一个乘数不变，另一个乘数乘几，得到的积就等于原来的积乘几”这个规律，此时教师应启发学生：是不是所有的乘法算式中都存在这样的规律呢？因此，我们刚才提出的猜想还需要进一步验证。试举例，用算式或者画图验证一下。

生1：

生2：我用一个长方形面积表示4×9，长不变，宽乘2，所以面积也乘了2。

学生用图形表达出了规律，很有创意。

之后，教师再次出示图形，引导学生继续探索：如果两个乘数同时扩大，比如一个乘数乘2，另一个乘数乘3，积会怎样变化呢？试着画一画、算一算，验证自己的猜想。

生1：

生2：

无论是长方形还是正方形，学生都能有意识地运用图形表征积的变化规律，这种图形表征方法直观形象，利于学生理解和内化抽象的规律。

二、利用数形结合，提升运算能力

计算练习的优化对于学生运算能力的提升起着关键作用。教师应根据情况合理选择数形变换的方式，提升数学运算的能力水平，发展思维能力。

1.数形结合，提升理解运算水平

对运算的理解不能仅仅在新授课中出现，在练习中同样需要。通过练习回顾，更加利于学生对运算规则、运算步骤表示含义的内化和深化。理解运算的基本能力水平要求是“能在简单情境中识别运算规则”;高一级能力水平要求“能说明运算过程中特定步骤表示的含义”;更高能力水平的评价标准为“能用适当的方式（如画图、描述等）解释运算规则或结果”。由此可见数形结合对于提升理解运算能力水平的必要性。设计练习，可以让学生根据算式的意义、运算规则和数学规律描述图形，或借助图形刻画运算规则或结果，提升理解运算能力水平。

例如题1：下面三幅图中，分别表述哪一个运算定律。

再如题2：a+a=2a，a×a=a2，有没有什么方法可以区分？可以写一写，可以画一画。

生1：

生2：

2.数形结合，提升实施运算水平

数学运算的关键能力之二是实施运算。能力水平从低到高的标准依次为“能根据运算规则正确地进行四则运算”“能在理解算理的基础上，根据运算规则正确进行验算;能正确计算两步整数四则混合运算试题”“能灵活运用规则，寻求合理简洁的途径进行运算”。评价实施运算的高层次水平的重要标准是看运算是否合理、简洁、优化。在计算练习中，数与形的合理转化恰可将复杂的数学问题简单化，尤其是具有一定规律性的问题变得简洁易懂。在寻求最优运算方法的过程中，促进学生运算能力的提升。

例如：计算1+3+5+7+…+19=？这是一个公差为2的等差数列计算，在课堂中学生并没有学习相关的内容。但是如果转化成图形来计算，则可以化繁为简。

师：我们试着用不同的颜色的小正方形摆一摆，逐步表示出这个算式。

在教师的引导下，摆一摆并板书算式

学生发现，要求这些数的和，就是求小正方形的个数。观察图形和对应的算式，你发现怎样算更简便？通过观察思考，学生感悟到可以把加法算式转化成相应的平方数，从而轻松得出1+3+5+7+…+19=10×10=100。这一教学过程，教师不必向学生介绍等差数列这一抽象性较高的知识，而是借助图形发现数量之间的规律和联系。

3.数形结合，提升估算水平

数学运算的关键能力之三是“估算”。除了“能根据解决问题的需要选择估算”、“能按照一定标准进行估算或估计”的标准外，其高水平的评价标准为“能运用估算解决一些实际问题”。由于实际问题的情境比较复杂，需要学生综合运用知识，开展深度思维。在这个过程中，数形的巧妙转化可成为学生思考的脚手架，帮助学生梳理复杂的数量关系。

例如“工地有一堆黄沙需要运送。大货车每辆运2吨，小货车每2辆运1吨。大、小货车一次把9吨黄沙全部运完。可能有几辆大货车？几辆小货车？（可以列式计算，也可以画一画）”。

生1：

生2：

学生在解题过程中，巧妙运用画图策略，非常清晰地展示了思维过程，并且寻求了多种解题方法。

总之，正如华罗庚先生所说，“数形结合百般好，隔离分家万事非”。在小学数学计算教学中，教师应渗透和培养数形结合思想，努力挖掘“数”和“形”的本质联系，引导学生加强数形结合意识，为学生数学核心素养的逐步提高和数学能力的逐步提升打下坚实的基础。