从曲线坐标系的建立及其基矢特性的角度看待角速度、向心加速度的物理内涵

摘要：关于“角速度”“向心加速度”的关系、物理内涵及表达向来存在诸多争论，各类论证普遍存在切入点不够准确、剖析不够深刻的问题.以三类常见的坐标系为切入点，通过对基矢进行物理及数学的特性分析，明确了“切向基矢对时间的一阶导数是对速度方向变化率的直接描述”，同时指出“角速度是角位置矢量对时间的一阶导数，自然坐标系由于不使用质点角坐标，从而天然地没有角速度这一概念”“向心加速度本质是法向加速度在圆周运动中的习惯表示，不能随意推广至极坐标系”“线速度概念来源于自然坐标系，与角速度概念从本源上不是一对共轭物理量，其成对出现仅是一种基于圆周运动特殊性时使用上的习惯沿用”.

关键词：角速度；向心加速度；切向基矢；法向基矢

作者简介：何健（1980-），男，四川自贡人，硕士，讲师，研究方向：大学物理教学、光学理论.

目前各类中学教材在讨论圆周运动类问题时，坐标系的选择使用存在较大问题：沿着已知轨道（圆周）进行速度的分析和分解，确定切向及法向两个基矢方向，这是目前各类教材处理圆周运动的主流方法，但由此提出的“向心加速度”（本质是“法向加速度”）由于圆周运动的特殊性——力心固定于圆心这一特点，平面极坐标系这一工具被不自觉地同时引入.事实上两类坐标系也仅在圆周运动时关系重叠，基矢两两关联：法向与径向相反、切向与横向重合（如图1），这便导致极坐标系中建立的“角速度”概念由此混入自然坐标系进而引发一系列反复的争论[1-5]，这一争论在由圆周运动推广到一般曲线类运动时变得激烈，尤其在分析诸如“抛体问题”“匀速直线类问题”等恒力类[4，5]问题时达到顶峰.然而这些争论过程中，虽然使得“真理越辩越明”，但由于切入点不够准确，致使剖析未能直达物理本质，且普遍存在概念混乱、表达不够严谨的问题.本文从基本概念的建立出发，牢牢抓住“曲线坐标系的基矢非恒定矢量”这一特性进行分析，指明易混淆的概念及其缘由，并将一些不正确但已成为习惯表达的物理名词呈现出来，以供参考.

1基本概念的剖析

11运动学概念与曲线坐标系的关系

“位矢”“速度”“加速度”这些是质点运动学基本概念，相互以“对时间的变化率”进行关联及定义，但“角速度”“线速度”“法向加速度”“切向加速度”“径向加速度”“角向加速度”“角加速度”等物理量的建立及“线”“角”“法向”等修饰词的引入实际上都源于坐标系的建立、矢量的分解这一操作的.存在这么多不同的修饰词则是由于所选择的坐标系为曲线坐标系，基矢之间并不平权.事实上我们也常常使用直角笛卡尔坐标系，此时各类矢量也会在三个基矢方向进行分解，得到诸如“x方向速度、y方向加速度、z方向位矢”等相应投影结果，但因为对直角笛卡尔坐标系而言，三个维度彼此平权，互相可通过简单的旋转操作进行互换，因此并不需要特别地给某个方向的分量取一特殊的名词进行区分.但对于以运动轨道的切线、法线作为基矢的自然坐标系、以矢径本身径向及转动角向为基矢的平面极坐标系，推广到三维则为球（或柱）坐标系，首先，基矢之间从数学行为来讲不对等、不能互相替换，因此给与一些定语进行描述，以帮助我们清楚地抓住其物理行为的特点就很有必要（事实上我们也确实这么做了）；另外一个要点在于，不同于直角坐标系中的三个基矢“，，”的恒定性（一旦坐标系建立，则与时间、空间都无关），曲线坐标系中的基矢均随时空改变，因此在求导过程中会衍生出更多的项，导致表达式变得复杂，呈现各个基矢之间的交叉项、干涉项，这也是造成很多物理教师在理解过程中发生混乱的本质原因.

12向心加速度与角速度关系的剖析

由上述分析可见，“法向加速度”是基于坐标系基矢选择所做的概念建立，表示加速度矢量沿轨道法线方向的分量，“向心加速度”则仅是一个并不严格的习惯表达，仅在圆周运动时，具备与“法向加速度”相同的含义.但巧合之处在于此时向心的“心”虽为圆心，却由于选择的习惯往往同时成为平面极坐标系的原点，“向心”此時与“径向”刚好是相反关系，从矢量角度来讲仅仅差一个负号，具备互相转换的条件——这便产生了从自然坐标系向极坐标系进行过渡的可能（图1）.另一个因素与“角速度”概念有关：角速度是质点角位矢对时间的变化率=ddt，作为一矢量，确定一参考轴（例如通常平面极坐标中所选择的x轴）后其大小便可表示为角坐标θ，方向则由右手螺旋定则确定（例如平面极坐标中，逆时针旋转为正向，故其方向为垂直于该平面的方向），此时=θ.但自然坐标系中是没有采用角度作为基本坐标的，因此在该坐标系中似乎并不天然地存在“角速度”这一概念，然而由于对一任意连续光滑可导的轨道，以平面轨道为例，此轨道形态总可以用函数y=y（x）表达，其每一段微元曲线均可对应某一曲率半径为1+y′232y″的大圆的一部分圆弧[6]（如图2），因此在该点附近的曲线运动确实可用对应大圆上的圆周运动进行描述，相应地vρ便常被误称为“角速度”了.后面将会分析这里的“角参量”依然存在，但与前述极坐标的情形已经相去甚远，因此认为 “两类角速度共存”是造成理解混乱的另一原因.本文所提到的关于前述基本概念所有认知上的错误都来源于这一场景：圆周运动中两类坐标系表述上的等价相关概念任意混用导致对一般曲线运动的分析产生逻辑障碍及物理量选择的困惑.

2速度方向的变化率在不同坐标系中的具体表示

现在我们尝试着将“速度方向的变化率”这一抽象的矢量表达借助于三类常见坐标系进行详细的展开，将相关的易混淆的概念进行剖析并挖掘相互转换的关系.

21自然坐标系

在自然坐标系中，速度沿轨道切线方向，其矢量描述为：=v[6]，切向基矢便是速度（矢量）方向的唯一描述，故其时间一阶导数便描述了速度方向随时间变化的所有信息.注意到作为基矢，身份依然是矢量，故其对时间导数也必为矢量，因此这一变化率应当有大小和方向的两重含义.

由图2可得：

=cosφ+sinφ，=-sinφ+cosφ

·

=dτdt=-sinφ+cosφ=n=vρn，（注：此处及后续均沿用理论力学求导表示符号[6]：=dAdt）

由上述分析便能辨明一些模糊易混的說法，如：“速度方向大小的变化快慢”，这即为切向基矢绝对值对时间的一阶导数，显然由于基矢为单位长度矢量，故=ddtτ=0；“速度方向的变化率”则应当为vρn （或n的形式），包括大小和方向两部分；“速度方向变化的快慢”则仅指vρ（或）.因此在不引发概念混淆的情况下，用自然坐标系中的“切向基矢与参考轴（水平向x轴）夹角参量（方向为z轴向）给出的角参量φ”定义的“角速度”的大小来描述速度方向的变化快慢很方便的，也似乎是可行的，然而这一做法正折射出目前我们的教材体系中不够严谨之处：按照定义，速度（角速度）是描述质点位置（角位置）矢量随时间变换情况的物理量，极坐标系中的角参量确实描述了质点的角位置，满足这一定义要求，但自然坐标系中的方位角φ表达的却是切向基矢的方向，并不直接与质点位置相关联，因此将定义为角速度的大小至少在运动学范畴是不正确的.事实上包括质点、质点组动力学，讨论角速度、角动量等概念中所对应的“角”均对应极坐标系中的角坐标，与φ唯一的关联仅存于圆周运动.

为此我们将两类坐标系中关于角参量对时间变化率的表达式进行对比：

=ddt=dθdt=dθdt=，·=dτdt=n，由此可以很清楚地看到两者区别：

是速度方向变化率除掉法向基矢的结果·n，而则是角速度矢量的绝对值（平面定轴转动情形），在一般曲线运动中两者的物理意义完全不同.因此，我们常常使用的“线速度”“角速度”这一对看似共轭物理量实际从逻辑上讲是行不通的，“线速度”的大小实质是“速率”，方向沿切向，这一概念来源于自然坐标系；而“角速度”如前分析，来源于极坐标系，两者本不应同时出现于同一描述场景，但由于圆周运动中的等价特殊性，学者们还是保留了这一并不合逻辑的习惯表达.因此笔者希望大家在保留这一习惯表达的同时，能从本源上认清上述各类描述方式的实质，再不用纠结于这些细碎问题，反复争论无休.

22极坐标系

如果一定要使用具备基矢意义的矢量，引入极坐标系，则速度矢量可表为[6]，如图3所示.

=r+r

=r2+r2rr2+r2+rr2+r2

因此可知rr2+r2+rr2+r2部分即为速度方向在极坐标系中的表示（等价于自然坐标系的），其对时间变化率为：

ddtrr2+r2+rr2+r2=ddt1r2+r2=ddt1r2+r2+1r2+r2

=1r2+r2{[r2-2r22-r34-r2]+[23-r+r23+r2]}

这一非常复杂的表达式，由此可见速度方向矢量的时间变化率对矢径、角坐标及各自对时间的1、2阶导数均有依赖性（因此包括角速度的大小），用此式可在极坐标系中计算一般曲线运动的变化细节.对圆周运动而言，有，均为零这一特点，故上式简化作：

1r3-r34=-，此时-=，=ω=vρ.而关于直线类运动问题是否存在角速度及速度方向问题的争论正是混淆了非圆周运动中的与vρ关系，实际上对匀速直线运动例子，应当使用约束式（例如直线平行于x轴时用rsinθ=h）带入上式进行讨论，经过计算可得其速度方向变化率为0.

23直角坐标系

同样可给出直角坐标系中的表示（此处仅讨论平面情形）：

此处箭头有误=+=2+22+2+2+2

=2+2+2+2

ddt=2+2-2+2+232

+2+2-2+2+232

上式便是使用速度及加速度的x、y分量形式给出的对于速度方向变化率的表达形式，这一形式既不关联角速度，也不关联法向加速度，在具体描述及使用中缺乏实际意义.

3结论与分析

（1）速度方向的时间变化率是一矢量，严格表达为：dτdt，采用不同的坐标系可有各类具体形式，其大小表示这一变化的快慢程度，在自然坐标系中可用速率与该点曲率半径的比值：vρ进行描述，这一表达对应于方位角对时间的变化率，但并非“角速度”.速度方向的时间变化率作为矢量，其方向指明引发该变化的力的方向.

（2）圆周运动具有特殊性，若选择圆心为极坐标系原点，则极坐标表示与自然坐标表示天然等价，此时方位角对时间的变化率从量值来讲等于角坐标对时间变化率，此时使用“角速度”“线速度”进行描述不会引发困难，但仅限于此.

（3） 理解曲线坐标系的基矢性质，把握速度矢量内涵.否则易导致两类错误：①认为速度大小和方向是

相互独立的两部分（=v+），从而认为大小和方向的变化率也互相独立，进而认为切向加速度描述速度大小变化而法向加速度则单独描述速度方向的变化（=·=+·=τ+n），这类认知实际属于数学层面的认知错误，没能看清v、两项是乘积关系，且不同于直角坐标系中的基矢恒定的特征，此处v、均为时间的函数，因此对时间求导过程所得的两项实际是交叉关联的：=·=ddtv=+v·，除前面分析的“法向加速度在描述速度方向变化的同时还关联着速率”这一情形外，速率项的变化率也需保留对方向的说明：.②没有理解曲线坐标系建立的起始要求和约定，任意分解矢量.如将速度在自然坐标系中按照两个基矢方向进行分解，得出=τ+n，

=·=·τ+·n=τ+n进而得出“向心加速度是法向速度对时间变化率”这样的谬论.事实上自然坐标系在建立之初便明确规定其切向基矢与速度的同向性，由此速度矢量在法线方向投影值恒为零.

（4）法向加速度按照定义为n=v·=vvρn，可见其内含上并不仅仅描述速度方向的改变情况（·），其包含的速率项v同时表达了这种速度方向的改变情况与所需维持的速率大小有关.

4启示

自然坐标系适用于已知质点运行轨道的情形（例如约束体类问题），采用的基矢为法向、切向，基本坐标只有曲线长度（或路程），不直接给出位矢、角位矢，相应地，也不存在“角速度”.平面极坐标适用于含有心力类型的问题（如万有引力、库仑力等），采用的基矢为径向、横向（或称“角向”“转向”），基本坐标为径向长度、角度，有“角速度”“角向速度”“径向速度”的概念，但并无“线速度”.使用这些曲线坐标系时，须把握上述特性，明了速度的法向分量为零、位矢的角向分量为零这些特征，具体推算时不能忘记这类基矢随时间会改变.因此，进行受力分析应用牛顿第二定律时，基于其瞬时性特点，上述坐标系都能直接使用，但对于由时间（及空间）累积效应呈现的动量定理、动能定理等，则无法给出分量方程.

参考文献：

[1]李沐东.线速度方向变化快慢用什么物理量描述？[J].物理教师，2009，30（07）：39-40.

[2]龚劲涛，魏标.角速度能表示速度方向变化快慢吗？[J].物理教师，2011，32（02）：43-45.

[3]沈瑞清.关于向心加速度的物理意义及什么是描述速度方向变化快慢的物理量的思考[J].物理教师，2011，32（08）：42-43.

[4]付喜锦.再论“对向心加速度物理意义的探讨”[J].物理教师，2012，33（09）：29-30.

[5]宋辉武.再谈向心加速度与角速度的物理意义[J].物理教师，2016，37（08）：66-67.

[6]周衍柏.理论力学教程（第 2 版）[M].北京：高等教育出版社，1979：13-17.