基于驱动约束的刀轴优化方法

张大远， 刘勇， 王昊， 孙玉文

（大连理工大学机械工程学院，辽宁 大连 116024）

基于驱动约束的刀轴优化方法

张大远， 刘勇， 王昊， 孙玉文

（大连理工大学机械工程学院，辽宁 大连 116024）

文中提出了一种基于驱动约束的刀轴优化方法。对于存在突变的初始刀具轨迹，首先选择出其中的代表性刀轴矢量，对其调整使不发生干涉碰撞，并确定其可行域；之后利用角速度最小化方法，对初始刀轴矢量进行光顺；最后根据仿真实验，证明该优化方法确实可以减小驱动轴的角速度、角加速度的突变，获得光顺的刀具轨迹。

驱动约束；刀轴优化

0 引言

五轴数控加工被广泛应用于复杂曲面类零件的加工，如航空发动机压气机叶轮、汽轮机转子、螺旋桨、模具等[1]。五轴加工和三轴加工的本质区别在于：三轴加工时，刀具轴线在工件坐标系中是固定不变的，也即始终平行于Z坐标轴。而在五轴加工情况下，刀具轴线可以根据加工表面的情况发生旋转或偏转，控制刀具轴线发生改变的原则是兼顾加工质量和加工效率[2]。

对复杂曲面类零件进行刀具路径规划的过程中，有两个原因可能导致规划出的刀轴存在突变：1）零件表面几何形状发生剧烈变化；2）刀具路径上存在障碍物，为了避开障碍使刀轴发生突变[3]。但是在实际加工过程中，受到机床驱动轴运动学参数，比如旋转轴的角速度、角加速度的制约，刀轴不可能发生这样的突变[3]。因此这就需要对初步生成的、存在突变的刀具路径进行刀轴优化。

传统的刀轴优化方法仅从几何学方面考虑，目的只是为了避免干涉碰撞，而无法保证运动的光顺性[4-9]；后续的一些针对刀具路径光顺的研究基本是在工件坐标系下进行[10-12]，而刀具路径从工件坐标系转换到机床坐标系后，由于其变换过程为非线性变换，因此机床驱动轴的运动仍可能是不光顺的[13-15]。基于上述因素考虑，文中综合考虑了几何特性和机床驱动轴的运动特性，提出了一种较为全面的刀轴优化方法。首先，考虑几何特性，在初始刀位中选取一些代表性刀轴，对其进行调整使其无干涉碰撞，并确定这些刀轴的可行域；之后根据机床旋转轴的驱动特性，提出了一种新的刀轴优化方法：角速度最小化方法；最后经过仿真实验验证，证明该方法可以获得无碰撞且光顺的刀具路径。

1 运动学变换和特殊刀位确定

五轴数控加工过程中，刀具和工件相切触的那一点称为刀触点C，该点是局部坐标系的坐标原点。刀具位向在局部坐标系下，由刀触点、前倾角α和侧倾角β共同定义。

在工件坐标系下，刀轴矢量由刀位点P和刀轴上不同于刀位点的另外一点Q表示。其中，刀位点指的是刀具中心点，在某一刀触点处，刀轴矢量表示为：

在机床坐标系下，刀具路径由3个平动位移量和2个旋转角度值来共同表示。机床的回转运动可以绕着X、Y、Z分别进行，相应的旋转角度称为A、B、C。机床的旋转形式不同，刀具路径的表示方法也不同，以C-A型五轴机床为例，其机床坐标系下的刀具路径可以表示为

图1 机床坐标系

图2 工件坐标系和局部坐标系

3种坐标系与刀具轨迹、工件和机床的关系如图1和图2所示。

根据机床两种回转运动的不同，五轴联动数控机床可以分为以下3种机床类型：刀具双摆动型五轴机床、工作台双转动型五轴机床、刀具摆动与工作台转动型五轴机床。本文针对工作台双转动型五轴机床中的B-C型五轴机床进行运动学分析。

初始状态下，刀具轴线与Z轴方向平行，动轴B的方向与Y轴方向平行。局部坐标系和工件坐标系的原点重合。那么，在局部坐标系下，初始刀位点为［0，0，0，1］，初始刀轴矢量为［0，0，1，0］。机床坐标系下的刀轴矢量，经过两次旋转变换后变为工件坐标系下的刀轴矢量，也即:

式中：T为刀轴矢量;M为变换矩阵。

将式（2）和式（4）联立，可以求得两旋转轴的转角为：

根据初始刀具轨迹，求出机床坐标系下的旋转轴转角后，便可以进行后续的刀轴优化。在进行刀轴优化之前，先需要确定出一些代表性刀轴以及其对应的可行域。因为后面的刀轴优化算法，需要在给定一些代表性刀轴的前提下，才能够进行。而在刀轴调整过程中，需要给出待调整刀轴的可行域。

确定代表性刀轴是整个刀轴优化过程中的关键一步：代表性刀轴选取的位置，以及代表性刀轴的刀具姿态，直接影响了后续计算出的整个刀具轨迹的形状。优化的刀轴是否仍存在碰撞，是否光顺程度达不到要求，这些都和代表性刀轴选取的正确与否有关。确定代表性刀轴分为以下3个步骤：1）确定危险区域；2）确定代表性刀位；3）计算代表性刀位处刀轴的可行域，并给定初始代表性刀轴。

危险区域一般是指刀具路径中，刀轴由于曲面曲率变化较大，因而发生突变的区域；以及刀具路径在接近障碍物时，刀轴为了避开障碍物而发生突变的区域。下面结合两种方法：1）借助CAM软件进行刀具路径的加工仿真方法；2）检验驱动轴运动参数是否超差这两种方法，来确定出危险区域。

首先，对于初始刀具路径，需要检验是否存在碰撞，本文利用UG NX软件进行碰撞检验。确定出初始刀具路径和工件发生碰撞的区域，表示为

刀具路径和工件曲面不存在碰撞的情况下，由于曲面曲率发生改变，仍可能导致刀轴发生突变。这里采用计算机床旋转轴的角速度，然后判定其超差区域，作为危险区域的方法。危险区域表示为

危险区域确定后，即可确定代表性刀位的位置。一般情况下，把刀具进入危险区域的刀位点P1，以及离开危险区域的刀位点P2，选取为代表性刀轴的刀位点。另外，为了确保在危险区域中，刀轴可以避开障碍，在危险区域中也会选取一个代表性刀轴，称为P3。因为这些刀轴都是调整后的刀轴，与工件之间不存在碰撞，因此初始的刀具姿态仍保持为原来的刀具姿态。这里需要指出的是，此处选取的这些代表性刀轴，仅仅是初步选取，在后续的优化和检验过程中，如果发现计算出的刀具轨迹不符合要求，比如仍存在碰撞，或者存在运动学参数超差，那么将重新选择代表性刀轴，其姿态也会重新调整。

为了之后对初始代表性刀轴进行调整，需要先计算出这些代表性刀轴的可行域。针对刀轴可行域的计算，前人在这方面已经研究了很多，提出了许多具有代表性的方法。比如参数空间方法等[10]。但是由于自由曲面类零件自身结构比较复杂，如果再存在障碍区，将会导致刀具可行域边界非常不规则，因此导致后续的约束优化计算时间特别长，或者出现优化过程不收敛的情况。针对参数空间方法的这一缺点，有些学者提出了简化的参数空间方法，比如把不规则的参数空间，简化为一个规则的四棱锥[16]，或者将三维空间简化为二维平面，提出了参考平面法[17]等。对于上述两种简化方法，将刀具可行域约束在以刀位点为顶点的空间四棱锥内，更具有普遍性，是一种较好的刀具可行域确定方法。

文中在该方法的基础上进行了改进，将刀具可行域约束在以刀位点为顶点，底面为环形的椎体内。具体来说，就是确定出刀具在局部坐标系下的前倾角范围和侧倾角范围。之后，从工件坐标系向机床坐标系转换时，扇形的（i，j）可行域，将导致计算出B、C边界更加不规则，难以计算。因此在扇形（i，j）可行域内部，选取一个面积最大的矩形，作为工件坐标系下的刀轴可行域。

具体确定过程仍利用UG NX软件，将刀具轨迹导入后，在代表性刀位处调整刀具姿态，确定出代表性刀轴的可行域，可行域FR表示为

在得到局部坐标系下的可行域后，通过运动学变换，可以得到机床坐标系下B轴转角和C轴转角的可行域。由于三角函数变换的特殊性，变换出的可行域边界是不规则的，为了便于计算，在不规则区域中，选取一个与B、C轴平行，且面积最大的矩形，作为最终的可行域。表示为

2 刀轴优化方法

衡量旋转轴运动的光顺性，首先考虑的是旋转轴角速度不能超差。针对B′-C′型机床，对于任一旋转轴，其角速度ω表示为

为了便于研究，假定刀具沿着刀具轨迹运动时，在相邻两个刀触点之间，其进给率f是恒定不变的。事实上，由于机床各驱动轴的约束，以及刀具轨迹的变化，实际进给率是在一个区间内不断变化的。但是根据极限理论，当相邻两个刀触点之间距离很短时，可以假定进给率恒定不变。则可以用相邻两刀触点之间距离L来代表时间t。从而，上述角速度公式可以表示为

由于上述求导过程仍然较为复杂，我们采用差分方法进行求解如下:

从而在整个刀具轨迹上，每两点之间的角速度就确定下来。为了得到光顺的刀具轨迹，显然需要使角速度的总变化量尽可能取得最小值。根据最小二乘法，得到目标函数为

为了使目标函数取得极小值，公式的一阶导数值为零即可，即

图3 初始刀具轨迹

图4 优化后的刀具轨迹

为了使方程有解，需要至少指定2个θ的值。而正如在1节中讲述的，为了确保刀具和工件之间不发生干涉碰撞，必须指定几个代表性刀轴。因此这些代表性刀轴就作为本算法中的已知量，代入方程，求出其余刀位点处的旋转轴角度，进而确定出整个刀具轨迹。在实际刀轴优化过程中，由于代表性刀轴是根据避免刀轴突变而设定的，因此实际代表性刀轴个数可能多于2个。为了确保刀轴不发生碰撞干涉，所有代表性刀轴必须给定。这样可以顺利求解出结果。

3 仿真实验验证

为了验证上述刀轴优化方法的正确性，文中针对一个自由曲面上的刀具轨迹，进行了仿真实验。如图3所示，初始刀具轨迹的刀轴方向是给定的，前倾角为6°，侧倾角为0°。在靠近障碍物区域，为了避障，前倾角变为40°，侧倾角变为60°。

首先，为了确定刀具轨迹中危险区域的区间，需要计算出A、C轴的角速度，角速度曲线分别在进入碰撞区域处，和离开碰撞区域处存在两个突变，且突变区域的角速度都超出旋转轴角速度的限定值：在靠近障碍处，A轴角速度由0.23 rad/s突变至-5.84 rad/s，C轴角速度由0.16 rad/s突变至-4.63 rad/s。根据第1节中介绍的危险区域确定方法，在进入危险区域，危险区域中间以及离开危险区域处，各选择一个特殊刀位。

在确定了特殊刀位后，需要计算这些特殊刀位处刀轴的可行域。利用UG NX软件，根据避免碰撞的原则，可以确定出特殊刀轴的可行域。对于本例，侧倾角的变化与刀具是否碰撞相关度不大，因此侧倾角保持60°不变，确定出碰撞区域处，刀轴侧倾角的可行域为［40°，80°］，之后进行运动学变换，可以获得A、C轴的可行域，由于各个特殊刀轴对应的A、C轴可行域不同，需要分别确定。

在利用角速度最小化方法进行刀轴优化时，代入特殊刀轴的A、C轴转角，可以方便地计算出其他位置处的A、C轴转角。优化后的刀具轨迹如图4所示。可见优化后刀轨明显光顺了许多。而且角速度曲线的突变情况有了改善：在靠近障碍处，A轴角速度从-5.84 rad/s降低到了-0.46 rad/s，C轴角速度从-4.63 rad/s降低到了-0.34 rad/s。证明了该优化方法的正确性和有效性。

4 结 语

对于文中提出的基于驱动约束的刀轴优化方法。其突出特点在于综合考虑了几何特性和驱动特性，得到的刀具轨迹既保证了不发生干涉碰撞，而且也保证了机床驱动轴运动的光顺性。最后经过仿真试验验证，证明了本优化方法确实可以减小五轴数控机床两个旋转轴的角速度、角加速度值，使其突变情况得到了明显改善，证明了算法的有效性。

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Tool Orientation Smoothing Based on Drive Constraints

ZHANG Dayuan, LIU Yong,WANG Hao,SUN Yuwen
（School ofMechanical Engineering,Dalian UniversityofTechnology,Dalian 116024,China）

A novel method based on the drive constraints for tool orientation optimization is proposed in this paper.As to the original tool path where tool orientation suffer from drastic change,some representative tool orientation are picked out,the feasible regions are determined under the condition of collision avoidance.Then the tool path is optimized by the angular velocity minimization method.Experiment proves that a smooth tool path can be acquired by the proposed method

drive constraints;tool orientation smoothing

TG 519.1

A

1002－2333（2018）01－0062－04

（编辑立 明）

张大远（1991—），男，硕士研究生，研究方向为刀具轨迹优化；

孙玉文（1971—），男，博士，教授，研究方向为快速制造技术，反求工程等。

2017-03-28