紧扣基本方法 打破初中几何复习课的“怪圈”

李美静

初中阶段，几何一直是学生掌握的薄弱环节.“课上明白，课后见题死”的怪圈导致学生在心理上害怕研究几何问题，对几何学习有畏难情绪，遇到陌生问题就束手无策.加之复习课多以知识点回顾和习题讲解为主，往往是老师讲台上滔滔不绝，学生课桌上昏昏欲睡.老师费尽心思，学生受尽折磨，却毫无效果.如何打破“怪圈”，做好几何复习课的有效教学是我们面临的一个重要问题.

下面以人教版九年级上册“直线和圆的位置关系”的阶段性复习课的教学片段为例，进行分析探讨.本节课已经在两个班进行过复习教学尝试，学生反映良好.这节课的主要特点是：紧扣判断直线与圆位置关系的基本方法，一法多題，题组递进.

1小题点睛，小坑怡情

例1已知⊙O的半径为2，直线L上有一点P满足PO=2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）

A.相切

B.相离

C.相离或相切

D.相切或相交

生l：相切关系，因为直线L与圆有一个交点.

师：这样分析准确吗？

生2：不准确！“有一点”，不是有且只有一点，还可能有两个交点.漏掉了相交的位置关系，当直线L与圆相交P为交点时，满足PO=2，所以选D.

师：对！利用直线和圆公共点的个数可以判定两者的位置关系，还有其他方法吗？

生3：我是通过圆心到直线的距离和半径的数量关系来判定两者的位置关系的……

师：很好！我们得到判定直线和圆位置关系的两种方法.

变式 已知⊙O的半径为2，直线L上有一点P满足PO=2，则圆心O到直线L的距离d（d取整数）的值为___.

生4：当相切时，则d=r=2;当相交时，则d

师：分析思路很好，根据位置关系进行分类讨论，但“d>0”准确吗？

生5：不准确，当直线过圆心与圆相交时，d可以取零.

师：所以d的值为0、l或2.我们发现已知位置关系，d，r中任意两个能确定第三个的情况.

设计意图 单纯知识点的梳理使课堂枯燥无味，利用小题重温知识点可以克服这种弊端.在题目中设计小陷阱，考验学生对知识点的掌握程度和数学严谨性.错因分析，加深学生对定理、性质的掌握，防止再犯类似的错误.注意教学过程中渗透分类数学思想方法.

2例题变式，思维拓展

例2如图l，△ABC为等腰三角形，底边AB经过⊙O上的点c，点C是底边AB的中点，求证：AB是⊙O的切线.

生6：连接OC，知OC为半径，由SSS证△AOC≌△BOC，得∠AOC=∠BOC=90°，即Oc⊥AB，因而AB是⊙O的切线.

师：有没有更简单的证明方法？

生7：△ABC为等腰三角形，c为底边中点，由三线合一得Oc⊥AB，则AB是⊙O的切线.

师：很好！要求大家能利用等腰三角形三线合一性质便捷地解决问题.

变式1如图2，△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：Ac与⊙O相切.

生8：作OE⊥AC于点E，OE是半径，Ac就是切线了！咦，好像哪里不对.

生9：点E在Ac上没有在圆上呀，不能说是切线.哦，可以证明点E在圆上！连接OD，由切线的性质，知OD上AB.证△DOB≌△EOC……

师：可以，但证明方法不够完美，谁能给出更好的证明方法？

生9：哦，我知道了！△ABC是等腰三角形，连接OA，OA是中线也是角平分线，直接就有点O到角两边的距离相等，即OE=OD，因而Ac是⊙O的切线.

师：很好，方法的选择也是能力的考查.谁能将这两种证切线的方法进行简单的归纳？

生9：当没有给出直线和圆的交点时，可通过作垂直，证垂线段等于半径来解决.

师：简记为“无交点，作垂直，证半径”.谁能给出例2题型的口诀？

生10：“有交点，连半径，证垂直”.

设计意图不搞“题海战术”，将课本例题进行变式，培养学生思维的深刻性和灵活性.注重探索解题规律，做到闻一知十，增强学生应用知识能力和应变能力.重视题目讲解后的小结，培养学生解题后反思和总结的习惯.

3提炼基图，强化能力

师：由这两题我们得到了证明切线的重要口诀，还收获了什么？

生11：出现等腰三角形时要考虑利用它的性质来解题.

师：很好，我们将等腰三角形的三线合一作为基本图形提炼出来，如图3.在一些较复杂的题目中要会辨认出或者构造出这些基本图形，选择有效的信息和结论，迅速的找到证明思路和证明方法.

变式2如图4，△ABC为等腰三角形，内接于大圆O，小圆O与腰AB相切于点D，求证：Ac是小圆O的切线.

生12：跟上题解法同，连接OD，得OD⊥AB，再作OE⊥Ac于点E，但好像证不出，没有办法利用三线合一.

师：题目中还有什么条件没有用？

生12： △ABC内接于大圆O！连接AO，BO，CO，有AO=BO=CO.

师：可以用三线合一吗？

生12：可以.△AOB为等腰三角形，OD是高线也是中线，则AD=1/2AB.同理AE=1/2Ac，又AB=AC，得AD=AE.由HL证Rt△DOA≌Rt△EOA，得OE=OD，因而AC是小圆O的切线.

师：很好，要懂得发现隐藏的条件，构造基本图形，应用它来解决问题.

变式3已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF.

（l）如图5，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（写出三种情况）：①___ ;②___ ;③___.

（2）如图6，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线.

（3）如图7，AB是非直径弦，∠CAE=∠ABC，EF还是⊙O的切线吗？请说明理由.

师：看图6，如何证EF是⊙O的切线？

生13：作直径AD，连接CD，构造直角三角形，由圓周角定理得∠D=∠B，然后类比（l）求出∠CAE+∠CMA=90°，即OA⊥EF，则EF是⊙O的切线.

师：你是怎么想到的？

生13：我先是连OA，但是证不出，然后就尝试延长OA作直径仿照图5构造直角三角形.

师：很好，学会利用题设或者问题结论解决问题，继续思考（3）.

生14：作直径AD，连BD，作直角三角形.由圆周角定理得∠DAC=∠DBC，而∠CAE=∠ABC，∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC=〉∠DAE=∠ABD=90°，即OA⊥EF，则EF是⊙O的切线。

师：对！看来大家已经有了构造直角三角形的意识，我们将在圆内连直径构造直角三角形做为基本图形提炼出来，直角三角形有很多特殊的性质（勾股定理、30°角与边的关系、斜边中线等于斜边一半、锐角三角函数等）为解决问题提供了很多便利条件.

设计意图 课标对学生几何部分的要求是“能从复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直观来进行思考”.熟悉和运用基本图形的性质为学习和解决几何问题开启了一扇便捷之门.当然基本图形的应用并不是一成不变的，需要我们灵活掌握，才能得心应手.

4课后训练，模拟中考

练习△ABC是⊙O的内接三角形，Bc=√3.

（1）如图8，若AC是⊙O的直径，∠BAC=60°，延长BA到点o，使得DA=1/2BA，过点D作直线ι⊥BD，垂足为点D，请将图形补充完整，判断直线L和⊙O的位置关系并说明理由.

（2）如图9，∠B=120°，点D是优弧AC的中点，DE∥BC交BA延长线于点E，BE=2，请将图形补充完整并求AB的值.

设计意图 让学生感受中考题型，做到心里有底，本题综合性较强，考查直线与圆的位置关系、图形中位线的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识.同时需要学生构造图形中位线和全等三角形来解决问题，讲评时要注意化归思想的渗透.中考题每日一练，磨炼心态，增强自信.

复习课意在深化学生对已学知识的理解与记忆，弥补知识缺漏，将已学知识系统化、规律化，使学生的数学能力、思想感悟和经验积累达到一定高度.在这个过程切忌本末倒置，学生不仅是“听”和“写”的主体，更是“讲”和“思”的主体，而教师是这一过程的引导者.当学生深入参与其中，乐在其中时，整堂课的目的就达到了.

以上是笔者在教学中的一种尝试，意在打破几何复习课的低效怪圈.当然，教无定法，复习课的教学设计并不局限以上几个环节，我们还需要不断地总结完善.希望我们每一位教师都能不断更新自己，无愧于三尺讲台.