徐永贤
【摘要】抽象函数不仅是高中数学教学的难点,也是高考的热点,特别是抽象函数中的周期型抽象函数和对称型抽象函数问题,是绝大多数学生最困惑、最难以解决的问题,因此,熟练掌握这两类抽象函数是非常重要的.
【关键词】周期型;对称型;抽象函数
在日常学习中,抽象函数是经常困扰学生学好函数的拦路虎,要想学好抽象函数就得熟练掌握两种类型的抽象函数:周期型抽象函数和对称型抽象函数,下面就这两类抽象函数做一些探究,供大家参考学习.
一、周期型抽象函数
(一)f(x)=f(x+T)型周期函数
周期函数定义:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.
例1设f(x)是定义在R上的偶函数,图像关于x=1对称,任给的x1,x2∈0,12都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)且f(1)=a>0.求证:f(x)是周期函数.
证明∵f(x)的图像关于x=1对称,
∴f(x)=f(1+1-x),即f(x)=f(2-x),x∈R.
又由f(x)是偶函数知f(-x)=f(x),x∈R,
∴f(-x)=f(2-x),x∈R,
将上式中-x以x代换得f(x)=f(x+2),
∴f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.
(二)f(x+a)=f(b+x)型周期函数
若f(x+a)=f(b+x),则函数f(x)的周期为T=|b-a|.
证明令x=x-a,则f(x)=f(x+b-a).
例2偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=110x在0,103 上根的个数是()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解由已知条件f(x-1)=f(x+1)得周期为T=2,
又∵在x∈[0,1]时,f(x)=x2,且f(x)是偶函数,∴f(x)=x2,x∈[-1,1],
∴f103=f103-4=f-23=f23,
由图知f(x)=110x在[0,3]上根的个数是3个,
∵y=1103=11000<f23=49,
∴f(x)=110x在3,103上根的个数是0个.
故关于x的方程f(x)=110x在0,103上根的个数是3个.因此,选C.
(三)f(x+a)=-f(x+b)型周期函数
若f(x+a)=-f(x+b),则函数f(x)的周期T=2|b-a|.
证明令x=x-a,∴f(x)=-f(x+b-a).①
令x=x-b,∴f(x+a-b)=-f(x).②
由①②得-f[x+(a-b)]=-f[x+(b-a)],
∴f[x+(a-b)]=f[x+(b-a)],
∴T=2|b-a|.
例3设f(x)是定义在R上的函数,对任意的x∈R均有f(x)+f(x+2)=0,当-1<x≤1时f(x)=2x-1,求当1<x≤3时,f(x)的解析式.
解由任意的x∈R有f(x)=-f(x+2),
得T=2|2-0|=4.
設x∈(1,3],则(x-2)∈(-1,1],于是
f(x-2)=f(x-2+4)=f(x+2)=-f(x),
∴f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-1]=-2x+5,
故当1<x≤3时,f(x)=-2x+5.
二、对称型抽象函数
f(a+x)=f(b-x)(或f(2a-x)=f(x)或f(2a+x)=f(-x))型对称函数
① 若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)图像的对称轴为x=a+b2.
② 若f(2a-x)=f(x),则函数f(x)图像的对称轴为x=a.
③ 若f(2a+x)=f(-x),则函数f(x)图像的对称轴为x=a.
下面仅对结论①进行证明,②③可类似证明.
证明要证函数f(x)图像的对称轴为x=a+b2成立,
只需证fa+b2+x=fa+b2-x.
令x=b-a2+x,代入f(a+x)=f(b-x),
则fa+b2+x=fa+b2-x.
抽象函数的学习,必须灵活把握两类函数中a,b的不同取值,以及注意函数f(x)前正负号的差异,并通过不断的学习积累,对抽象函数的学习才能达到事半功倍的效果.