小学数学“烙饼问题”表征模型的比较与反思

李婷 卢建川

摘 要：在小学数学“烙饼问题”的教学研究中，通过几类表征模型的比较与教学实验反思，笔者认为教学时应该选择恰当的表征模型，突破“烙饼问题”的教学难点，引导学生深入探究，使学生对课题内容及问题解决策略有直观且本质的认识。

关键词：烙饼问题；表征模型；图形化；符号化

表征模型是学生运用已有的知识经验，将思考的“情境”用符号、图形等形式表现出来，对知识加以呈现、组织与表征，是对学生实际操作的补充、细化和强化，是数学思想理解与深化的途径，可以促进学生解决问题的能力。“烙饼问题”是人教版数学四年级上册第八章数学广角《优化》课题的内容，教材通过“烙饼图”的表征模型引导学生深入探究，得到烙三张饼的最优方案。教研文献资料显示，许多一线教师为了突破“烙饼问题”的难点，尝试简化教材的表征模型，进行教学重构。

笔者通过小学数学“烙饼问题”几类表征模型的比较，进行了教学实验，发现这些表征模型依旧不能很好地突破“烙饼问题”，也不能迁移解决更复杂的情境问题。因此，笔者认为选择恰当的表征模型，注重启发式思维尤为重要。

一、“烙饼问题”几种常见表征模型的分析

1. 教材中直观化的表征模型

人教版教材“烙饼问题”由情境图引入，即一个平底锅，每次只能烙两张饼，每面都要烙，每面需要3分钟。问：要烙三张饼，怎样才能尽快吃上饼？

通过直观形象的“烙饼图”表征模型，展示烙三张饼的最优方案（图1）。

教材“烙饼图”是最贴近问题原型的直观化表征模型，用大圆表示平底锅，1、2、3号小圆分别表示三张饼，正、反两面由不同颜色构成；主要通过在“烙饼”过程中，如何合理安排操作最节约时间，促使学生在解决问题中体会优化思想。然而，在教材的表征模型中，由于图形符号表征的不一致性，会干扰学生对问题要素的认识。笔者对此稍做改动（图2），使得学生对“烙饼”有更直观的认识，能够感知“烙饼”的详细过程，探究烙更多张饼的规律。“烙饼图”的表征模型也仅能得知“饼”的正、反面以及“烙饼”的过程，不能表现烙每面饼的时间要素，因此从中获取的解题策略并不能很好地迁移到更复杂的情境问题中。

2. 三类图形化与符号化的表征模型

（1）文献1在“烙饼”的探究过程中，逐步优化操作环节，通过1张、2张，渗透“满锅”的思想，不断修正，建立数学模型，选取最优的组合方式。

烙三张饼时，通过基本烙法进行对比，选择最优烙法（图3）：

此表征模型是基于教材“烙饼图”，采用直观实物模型，将其抽象分离，简化表征，分层次地进行最优方法的探索。文中对不同的烙法进行分类、组合，构建具体而形象的表征模型，使学生进一步体会优化思想的运用。

（2）文献2由教材情境引入，由简及繁，从易到难，探究过程从简单问题入手，寻找复杂问题的解决策略：

①教师由“烙两张饼”的问题引入，画出如下表征模型：

②再研究“烙一张饼”的问题：（位置空着时用“0”表示）

③于是研究“烙三张饼”的问题：（位置空着时用“0”表示）

此表征模型将“烙饼问题”简单图形化，把时间要素融入图形，每次烙饼的时间，即烙每面（3分钟）为结点，类似“树状分支”，从结点处分离两支，满足一次能烙两张饼。在上述模型中进一步抽象分离，由实物到图形，实现“烙三張饼”即“2+1”的简单叠加，然后进行优化，使学生理解优化的目的是节省时间，尽量不要让另一个位置空余。

（3）文献3直接从“烙饼”的难点考虑，即饼数是单数时，如何整体把握，合理的搭配组合，“保证每次锅里也能烙两张饼”时才最省时间；用三角形（图7）从整体构建符号化表征模型，实现三张饼“两两组合一次”。即第一次烙A和C，第二次烙C和B，第三次烙B和A，共用3×3=9（分钟）。

此表征模型仅为了突破“烙饼问题”中烙三张饼最优方案的教学难点，通过“两两组合”的三角形整体符号的表征模型，看似简单；可基于小学生的认知特点和已有知识经验，学生缺乏抽象逻辑推理能力，他们的思维更多具体直观，需要凭借具体形象模型的支撑。这显然不利于学生对“烙饼问题”有更直观的认识，但文献③从大局、整体把握，合理搭配组合“烙饼”，笔者认为有可供参考之处。

二、教学实验与表征模型选择的思考

1. “烙饼问题”的教学实验

笔者在“烙饼问题”的实验课中进行测试，有习题如下：“烤面包时，第一面要烤2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。小丽用的烤面包机一次只能放两片面包，她每天早上吃三片面包，最少需要烤多少分钟？”

发现学生沿用教材“烙饼图”的表征模型无法做出正确解答（图8），也并不能够选择上述几类表征模型求解。

图形化与符号化的表征模型虽然突破了常规教学，从实物直观到图形、符号的抽象升华，但仍然只是在教材“烙饼图”的基础上进行改进，不能够从本质上突破“烙饼问题”的教学难点，不适合情境迁移，也没有真正体会优化思想的应用。本人在小学应用题的教学中，由常见“线段图”的设计思考，可以借助“线段图”表征模型的直观辅助，来表征实际问题中的信息。对“烙饼问题”中的“饼”进行整体把握，运用分离组合的思想，建立实物直观与线段图直观的对应，不仅能得知数目及正反面，还能直接反映时间要素。

2. 表征模型的重构

“烙饼问题”是人教版小学数学四年级上册中的内容，学生随着年龄增长和经验积累，会逐渐淘汰掉一些费时且效率不高的表征模型，取而代之的是一些相对高效的表征模型，也就是说一个年龄段的学生拥有相对普遍的表征倾向，而且这种表征倾向随着年龄的增长会发生质的变化。四年级学生已经对“线段图”有了一定的认识，能够利用线段合理表示题意信息，解决实际问题。因此，笔者选择“线段图”的直观表征模型进行教学，并将此运用于上述实验测试习题中，可以恰当的表示“烙饼问题”的题意信息，探究最优方案。

将每一片“面包”看成一条长线段（这里将会用不同的“仿线段”表示），三片面包分别用三条不同长线段表示，一条长线段即一片面包，每片面包由三条单位线段（单位线段表示1分钟）组成，即表示烤两面所花总时间（第一面2分钟+第二面1分钟），此时需要注意，烤第一面为其正面，需要烤2分钟，烤第二面为其反面。每一条短线段表示单位时间（即1分钟）。题中需要烤三片面包（图9）：

将“面包”内化成“线段”，用不同的“仿线段”来表示不同的面包，即长线段的条数代表面包的片数，长线段由短线段组成，短线段既能反映面包的正反面，亦能反映烤此面所需要的时间。如：烤第一面需要2分钟，正面所对应的线段长由两个单位线段“”组成，即两个单位时间长度。

（1）若烤面包机一次只能烤一片面包，烤三片面包所需时间最长，即如图10。

（2）若烤面包机一次能烤两片面包，可将总线段分离组合，即如图11。“线段图”图形的表征模型中，左右反映总时间，上下即同侧表示同时性和“烤法”安排。考虑同一个“面包”的正反面不能放在烤面包机上同时“烤”，即相对应的短线段（亦相同短线段）不可上下搭配，应该交替组合，此时可将线段分离再组合，体会优化思想在“线段图”中的运用。

线段的分离、再组合，不仅是“烙饼问题”表征模型的简化，也是优化思想的再应用，更是学生启发式思维的进一步深化！

说明：

文献1：苏梅荣，小学数学“优化”教学策略探索——小学数学四上数学广学“烙饼问题”例谈[J]. 新课程研究（上旬刊），2011，（08）：48-50.

文献2：石荣学，用三角形构造突破“烙饼”难点[J]，中小数学（小学版），2011，（11）：57.

文献3：张小燕，让学生触摸问题的本质——“烙饼问题”的教学重构与思考[J]. 教育科研论坛，2011，（03）：43-44.