妙解二次函数中考题

毕美秀

二次函数是初中数学中既重要又基础的内容，并还将延伸到高中数学学习中去.它在中考中是考查同学们初中数学综合应用能力的重要题目类型之一，涉及多方面的基础知识.从近年来的中考试题来看，将二次函数与一次函数、反比例函数等函数，以及与圆、三角形、四边形等图形方面的知识点综合出题的情况十分常见，并且这类题目解题的重要突破口往往就在于二次函数.因此，对于这部分内容的学习来说，充分掌握二次函数相关题目的解题策略是十分重要且有意义的.下面，我们以近年中考题为例，谈一谈二次函数中常见的解题技巧.

一、在求二次函数解析式时，除了数值代入一般式外，还可考虑顶点式或者交点式

例1（2018·湖南怀化）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点.

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标.

图1

【解析】第一问的通法是：函数解析式中有两个待定的系数，将A（-1，0），B（3，0）代入，得到关于a，c的二元一次方程组，解方程组可得a，c的值，从而确定抛物线的解析式.如果仔细审题，看到A（-1，0），B（3，0）两点是抛物线与x轴的交点，那么也可以设交点式来解决.

对于第二问，BD的长已经确定了，若使△BDM的周长最小，即找一点M，使BM+DM最小，且M在y轴上.

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），展开得到y=ax2-2ax-3a，由代数式的恒等可得-2a=2，解得a=1，即可得抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3.

（2）作点B关于y轴的对称点B1，连接B1D，交y轴于一点，则此点即为M点.

∵BM+DM=B1M+DM，

若使BM+DM最小，满足B1M+DM最小即可.

而两点之间，线段最短，所以B1D与y轴的交点就是点M.

∵B（3，0），

∴B1（-3，0）.

又∵点D是抛物线的顶点，

∴D（1，4），

∴直线B1D的解析式是：y=x+3，当x=0时，y=3.

∴点M的坐标是（0，3）.

【点评】这道题如果都使用通法，将点坐标数值代入一般式，需要解二元一次方程组或者三元一次方程组，计算量较大；而通过交点式则只需解一元一次方程，无疑计算量大大减少，速度和正确率也得到提升.

二、利用二次函数图像的轴对称性解题

例2 （2018·贵州黔南）已知：二次函数y=ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图像与x轴的另一个交点坐标是_______.

x y……-1 0 0 3 1 4 2 3……

【解析】通过观察，发现（0，3），（2，3）两点纵坐标相等，从而求得对称轴，再利用对称性解答即可.

解：由（0，3），（2，3）可知对称轴方程为x=，点（-1，0）关于对称轴直线x=1的对称点应为（3，0），因此抛物线的图像与x轴的另一个交点坐标是（3，0）.

例3 （2018·北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（a≠0）.

下图2记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）.

图2

A.10m B.15m C.20m D.22.5m

【解析】本题是选择题，不一定要直接求出对称轴，可根据抛物线的对称性判断出对称轴的范围，进而做出正确的选择.

解：设对称轴为直线x=h，

所以10＜h＜20.

即该运动员飞到最高点时水平距离h应在10m与20m之间，因此选B.

【点评】按照一般方法，例2要求出抛物线与x轴的交点，得先利用待定系数法求出抛物线的解析式y=ax2+bx+c，再令y=0，求ax2+bx+c=0的解，得到交点的横坐标.例3要求出运动员飞到最高点时的水平距离即顶点的横坐标，需要先求出抛物线的解析式，再通过配方法求出顶点坐标.在求抛物线解析式时无一例外都要通过数值代入得到二元一次方程组或者三元一次方程组，例3的数据比较大，势必给同学们的计算带来难度.而这两道题都是客观题，在中考中如果因为采用通法进行大量计算而花费较多时间，无疑会影响答题速度.

三、利用二次函数图像的性质与系数之间的关系，解二次函数图像信息题

近几年全国许多中考试卷中都出现了不同层次的二次函数图像信息题，即根据二次函数y=ax2+bx+c确定相关代数式取值范围的考题.我们将涉及到的二次函数图像的位置与系数之间的关系整理成以下六条“辨析点”：

辨析1：a的符号与抛物线的开口方向有关，a＞0，开口向上；a＜0，开口向下.

辨析2：ab的符号与对称轴的位置有关，ab＞0，对称轴在y轴左侧；ab＜0，对称轴在y轴右侧.

辨析3：c的符号与抛物线和y轴交点的位置有关，c＞0，交点在y轴正半轴（或称为在x轴上方）；c＜0，交点在y轴负半轴（或称为在x轴下方）.

辨析4：b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；b2-4ac=0，抛物线与x轴有且只有1个交点；b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点.

辨析5：x的特殊值确定了特殊代数式的取值及符号.

例如，x=1时，y=a+b+c，a+b+c的值的符号由x=1时y的符号确定.

x=-1时，y=a-b+c，a-b+c的值的符号由x=-1时y的符号确定.

辨析6：只与a，b两字母有关的代数式取值一般与对称轴方程取值有关.

例4 （2018·湖北恩施）抛物线的对称轴为直线，部分图像如图3所示，下列判断中：

①abc＞0.

②b2-4ac＞0.

③9a-3b+c=0.

④若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2.

⑤5a-2b+c＜0.

其中正确的个数有（ ）个.

A.2 B.3 C.4 D.5

【解析】根据二次函数六条辨析点一一判断即可.

解：根据辨析1，抛物线开口向上，所以a＞0.

根据辨析2，对称轴为直线x=-1，在y轴左侧，所以ab＞0.

根据辨析3，图像与y轴交点在y轴负半轴上，所以c＜0.因此abc＜0，选项①错误.

根据辨析4，图像与x轴有两个交点，所以b2-4ac＞0，因此选项②正确.

根据对称性，抛物线与x轴的另一个交点应为（-3，0），根据辨析5，将（-3，0）代入y=ax2+bx+c，可知9a-3b+c=0，因此选项③正确.

因为点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，对称轴为直线x=-1，（-0.5，y1）与对称轴的水平距离小于（-2，y2）与对称轴的水平距离，所以（-0.5，y1）更靠近顶点，则y1＜y2，因此选项④错误.

根据辨析5，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），则有a+b+c=0，根据辨析6，抛物线的对=-1，即b=2a.所以a+b+c=a+2a+c=0，可得c=-3a，即5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，因此选项⑤正确.

故选：B.

【点评】本题考查二次函数与系数的关系、二次函数图像上的点的特征，解题的关键是灵活运用六条辨析点，属于中考常考题型.

四、巧用平移变换简化二次函数问题

例5 （2013·江苏南京）已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，a≠0）.

（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值.

【解析1】要找抛物线与x轴的交点情况，根据上述辨析4，要看b2-4ac的符号.

解：（1）将y=a（x-m）2-a（x-m）化为一般式y=ax2-（2ma+a）x+（am2+am），计算b2-4ac，得b2-4ac=（2ma+a）2-4a（am2+am）=a2，因为a≠0，所以a2＞0，即b2-4ac＞0，所以抛物线与x轴总有两个公共点.

当y=0时，a（x-m）2-a（x-m）=0.

解得x1=m，x2=m+1.所以AB=1.

【点评】因为本题含有两个参数a，m，计算量较大，容易出错.

【解析2】先看参数m.参数m的意义是使函数图像左右平移，通过平移y=a（x-m）2-a（x-m）的图像，可以得到函数y=ax2-ax.由于左右平移不会改变图像的形状和大小，所以也就不会改变图像与x轴的交点个数和交点间的距离.那么研究新函数y=ax2-ax与x轴交点问题就能解决题目设置的关于原始函数的有关问题.

再看参数a.a的意义就是把图像纵向拉长或者缩短，横向不变，它也不会改变图像与x轴的交点个数和交点间的距离.不妨设a=1.这样y=a（x-m）2-a（x-m）就可以简化为y=x2-x，再研究y=x2-x与x轴的交点个数即可.

解：二次函数y=x2-x，根据判别式b2-4ac得b2-4ac=1＞0，则抛物线与x轴总有两个公共点，经过纵向的拉长或缩短及平移，可知y=a（x-m）2-a（x-m）的图像与x轴总有两个公共点.

【点评】在函数问题中，如果研究复杂函数图像与x轴的交点情况，我们可以通过平移变换，使问题简单化.