基于时间调制的稀疏直线阵方向图综合

王新宽， 蒋 媛， 熊召新

(陕西理工大学 物理与电信工程学院， 陕西 汉中 723000)

稀疏阵列是指从一个周期阵列中去除掉某些单元后得到的阵列。与满阵相比，稀疏阵列不但可以减小质量和成本，而且能够获得更低的旁瓣电平却不会引起波束宽度的明显展宽。除此之外，稀疏阵列也为缓解紧密排列的T/R组件的散热问题带来有效的解决方案。因此，针对稀疏阵列的方向图综合一直是学者关注的问题。到目前为止，该领域典型的研究工作包括：Haupt[1]首次把遗传算法应用于稀疏阵综合，获得了具有更低旁瓣电平的阵列；Quevedo-Teruel等分别采用蚂蚁算法[2]、二进制粒子群算法[3]、一种改进的遗传算法[4]来实现低副瓣稀疏阵的方向图综合；何学辉等[5]提出了一种整数编码遗传算法并结合凸优化方法来优化稀疏阵列的权值，从而显著提升了阵列方向图的主副瓣比；何向翎等[6]提出了一种基于离网格并结合粒子群算法的方案来综合稀布阵列的单元位置以使增益最大化，并能对扫描过程中产生的栅瓣进行有效抑制。杨鹏等[7]把阵列天线的波束形成等效为求解稀疏信号向量的最优化问题，并利用欠定系统局域算法(focal undetermined system solver，FOCUSS)对该问题进行快速求解，从而能够在保持给定方向图基本不变的情况下，得到具有较大稀疏率的阵列。可以看出，以智能优化为代表的各类算法在稀疏阵设计中得到了广泛应用。然而当阵列单元数较多，尤其针对大型、超大型阵列，上述算法会面临巨大的计算负担。为此，Keizer[8-9]引入了一种称为迭代傅里叶算法(iterative Fourier technique，IFT)的方案并把其应用于直线阵和大型平面阵的方向图综合。研究结果表明，IFT算法能够应用于各种尺寸的稀疏阵列，并且具有快速收敛的特点。

综上所述，用较小的代价实现更低副瓣的稀疏阵，始终是众多学者追求的目标和关注的焦点。然而，由于在稀疏阵的设计中，阵列单元大都采用均匀激励的方式，这样带来的好处是馈电网络简单，但却限制了阵列设计的自由度，造成很难获得更低副瓣的阵列。因此，在超低副瓣阵列的设计中，大多采用单元非均匀馈电的方案，典型的如切比雪夫阵列、泰勒阵列等[10]。

时间调制阵列天线(time modulated antenna array，TMAA)的概念及其理论模型的提出始于20世纪50年代末期，H. E. Shanks等[11]首次把时间自由度作为一个设计参数，引入到阵列天线的设计中。TMAA的核心思想是采用一组周期性通断的射频开关来独立控制阵列中不同单元的通断状态(这些被射频开关控制的单元又被称为“动态单元”，反之则被称为静态单元)，利用每个动态单元的“归一化接通时长”来等效该单元的静止激励权重值，由此得到的辐射方向图在一个接通周期内的时间平均值和传统静止阵列的辐射方向图等效。由于数字电路技术能够实现对单元工作时间的精确控制，使得在TMAA中，不同单元之间时间加权的比值可以任意大而不受传统阵列中因静止激励幅度的动态范围比过高带来的影响，从而很容易实现低/超低副瓣，并能大幅降低馈电网络的成本和复杂度。由此可见，时间调制技术提供了一种低成本的低/超低副瓣阵列设计方案。然而，这种技术面临的最大缺陷是存在大量频率为实际工作频率整数倍的谐波电磁辐射，从而导致阵列主辐射方向图(简称主方向图)的能量损失以及方向性系数的下降。基于此，在大量针对TMAA的研究文献中[12-18]，除了获取满足目标要求的主方向图外，还需要采取各种不同策略和算法来抑制旁带辐射。由于第一谐波的旁带辐射最大，因此大多数文献中均以降低第一谐波旁带电平(sideband level，SBL)值为目标来抑制谐波辐射。

为了在单元均匀激励情况下获取具有更低副瓣的稀疏阵列，本文提出了一种基于时间调制的稀疏阵设计方案。该方案旨在保持阵列方向性系数基本不变并且各单元均匀馈电的基础上，选取少量单元作为动态单元，通过控制这些动态单元的接通状态来实现对单元静态激励的非均匀加权，进而达到低副瓣的目标。为了实现该方案，本文首先采用IFT算法获得一个高质量的稀疏单元分布，该单元分布中会包含约10%的动态单元。在此基础上，利用差分进化(differential evolution， DE)算法对上述动态单元时间脉冲的长度和接通状态进行优化来进一步降低稀疏阵主方向图的最大旁瓣电平(maximum sidelobe level， MSLL)并抑制旁带电平值。最后，利用MATLAB进行仿真并和已有文献中的结果相对比来验证本文方案的有效性。

1 理论模型和算法步骤

1.1 理论模型

对于一个含有N个全向辐射单元且单元相位为零、间距为半波长的直线阵列，其方向图可表示为

(1)

其中k为波数，d为单元间距，u=sinθ且θ代表辐射场方向和直线阵法向之间的夹角，An代表第n个单元的激励，为了和时间调制情况下的动态激励相区别，An又称静态激励。所有静态激励组成的集合记为A={An|n=0，1，2，…，N-1}。采用时间调制技术以后，每个单元的工作状态均由对应的射频开关来控制，从而第n个单元的静止激励An变为Anwn(t)，其中wn(t)代表第n个单元的动态加权值，并满足[19]：

(2)

这里τnON、τnOFF分别代表第n个单元处于接通和断开的时刻，T0为射频开关的调制周期，对应的调制频率为f0=1/T0，其值远小于阵列的工作频率以避免由于频率接近产生的耦合效应。由此可把TMAA的方向图表示为

(3)

由于wn(t)以T0为周期，根据傅里叶级数理论有：

(4)

(5)

其中ω=2π/T0为调制角频率。把(2)式代入(5)式可以得到：

(6)

这里τnon=τnON/T0，τnoff=τnOFF/T0。将式(6)和式(4)代入(3)式可得：

(7)

若令

(8)

(9)

则有

F(θ)=F0(u)+Fω0(u)，

(10)

上式表明，TMAA的方向图可分为两部分：第一部分F0(u)代表其工作频率处的方向图，即主方向图。从式(8)可以看出，对一个确定结构的TMAA来说，F0(u)仅取决于单元的接通时长，与单元的通断时刻无关。第二部分Fω0(u)代表谐波方向图，这些谐波的频率是阵列工作频率的整数倍，它们的存在会降低F0(u)的辐射功率和方向性系数。从式(9)可以看出，Fω0(u)不仅取决于单元的接通时长，还与其通断时刻有关。在F0(u)确定情况下，只要合理调整不同单元在一个调制周期内的通断时刻，就可达到抑制谐波电平的目的。进一步还可看出，静态单元可看作动态单元当τnon=0，τnoff=1时的特殊情形，当所有动态单元均退化成静态单元后，TMAA就转化为常规阵列。

考虑一个N单元且单元均匀激励的周期直线阵，则A={1|n=0，1，2，…，N-1}。当单元数为M(M

Tc=100%·M/N，

(11)

这样向量A中被稀疏掉的单元激励就被看作零。为了在获取更低副瓣的同时，尽可能保持原阵列的方向性系数没有大的变化，我们首先按照IFT算法中对单元的选取规则，选择迭代过程中振幅较小、数量约为M·10%的单元作为动态单元，通过对这些单元进行时间调制所产生的动态加权来实现非均匀激励，进而达到降低稀疏阵主方向图旁瓣电平的目的。在时间调制过程中，把单元的调制时长以相等概率随机设定为0.3T0、0.5T0和0.8T0，这样设置不但有利于减少旁带辐射，还可降低前端控制电路的复杂度。当采用IFT算法得到一个较优解后，进一步利用差分进化算法，结合脉冲移位策略，以0.1T0为步长，对动态单元时间脉冲的时长和通断状态进行优化，以进一步降低主方向图的旁瓣电平及谐波电平。其中脉冲长度限定在0.3T0～0.8T0之间。

1.2 算法步骤

从1.1描述的理论模型可以看出，本算法可分为两个阶段，我们以一个含有N个单元位置的周期直线阵为例，对其详细阐述如下。

第一阶段：利用迭代傅里叶算法获得一个较优解，具体步骤如下：

(1)在[0.5，1)之间以相等概率随机初始化各单元的激励An，把得到的激励集合记为A，这样做的好处是后面得到的动态单元的归一化激励值也位于[0.5，1)范围内，从而有利于降低谐波能量，提升主波束的方向性系数；

(2)对A施加K点IFFT(inverse fast Fourier transform)得到阵列方向图F(u)，其中K>2N；

(3)在F(u)的旁瓣区域中，对电平高于目标值的采样点，将其值用一个低于目标值的电平值代替；

(4)对更新后的F(u)，施加K点FFT(fast Fourier transform)得到新的集合{Al′|l=0， 1， 2,…，K}，记为A′；

(5)在集合A′的K个点中，保留和阵列结构匹配的前N个采样点，其余的值被截断，从而得到新的激励集合A；

(6)根据填充因子Tc的不同，保留A中具有较大绝对值的前M个值，其余值均置零；

(7)对上述M个值按照绝对值大小降序排列，把排序靠前的约M·90%个单元的激励值置1，其余单元被设置为动态单元，它们的时间加权值被以相等概率，随机地置为0.3T0、0.5T0和0.8T0；

(8)保留具有最低旁瓣电平的一组激励值后，重复(2)以后的操作，直到满足最大的迭代次数后，转向(1)，开启下一次试验。当达到预设的试验次数后，输出试验过程中的最优解，本阶段结束。

第二阶段：针对上一阶段得到的解，利用差分进化算法并结合脉冲移位策略，以0.1T0为步长，对动态单元时间脉冲的长度和接通状态进行优化，以期获得具有更低旁瓣电平的主方向图，并进一步压低谐波电平值。

2 算例仿真

为了说明上述算法的有效性，我们规定算法中IFT的试验次数为10 000次，DE的种群规模为20，杂交概率为0.9，缩放因子为0.7。设定N等于200，在Tc分别取77%、66%、69.5%和39%四种情况下，利用该算法综合得出不同稀疏阵列的方向图并和文献[8]中的结果进行对比分析。图1、2分别给出了优化前及优化后，填充因子为77%、对应静态单元数为140、动态单元数为14时，一个对称TMAA阵列的主方向图分布及其第一旁带辐射情况。图1(a)所示阵列的主方向图旁瓣电平为-24.19 dB，比文献[8]中的结果低1.27 dB，但由于时间调制的原因，会产生如图1(b)所示，最高电平值为-34.52 dB的谐波辐射，使得主方向图产生了1.89%的功率损耗，方向性系数也从静止激励情况下的154，降低到148。

图1 填充因子为77%、14单元调制的对称阵列优化前的结果

为了进一步降低主方向图的旁瓣电平并更好地抑制谐波电平，在算法的第二步，保持静态单元位置不变，采用DE对前述动态单元的接通时长和通断时刻进行优化，所得阵列主方向图的旁瓣电平降低到-24.54 dB，而SBL也降低到-37.19 dB，其结果如图2(a)和图2(b)所示。此时主方向图的功率损耗为2.14%，方向性系数变为146。可以看出，与优化前相比，阵列主方向图的功耗增加，同时方向性系数有所下降。其原因在于优化后，部分动态单元的接通时长变短(如图2(c)所示)，从而导致谐波能量增加的缘故。进一步对比图1(c)和图2(c)可发现，优化后动态单元的时间脉冲不但发生了移位，部分动态单元的接通时长也发生了变化，并且处于对称位置的动态单元的接通时长也不再相同。图2(d)给出了采用DE优化前后，一到九次谐波的旁带电平对比图。可以看出，优化后各次谐波的旁带电平均得到了明显抑制。

图2 填充因子为77%、14单元调制的对称阵列优化后的结果

类似地，图3、4分别给出了填充因子为39%、对应静态单元数为70、动态单元数为8时，一个非对称TMAA阵列，在优化前后的主方向图分布及其第一旁带辐射情况。可以看出，优化后阵列主方向图的旁瓣电平为-18.98 dB，比优化前的结果低0.23 dB，比文献[8]中的结果低1.65 dB，而波束宽度只展宽了0.13度，同时一次谐波的旁带电平也从-32.79 dB降至-34 dB。与静止阵列相比，此阵列主方向图的方向性系数仅从78下降到75.1。图4(d)表明，优化后并非所有的谐波电平都低于优化前的值，通常情况下，只要最高的第一谐波电平值能够降低，就可达到抑制谐波干扰的目的。进一步，当填充因子不变，动态单元数为3时，所得阵列的结果如图5所示。该阵列主方向图的旁瓣电平为-18.6 dB，比文献[8]中的结果低1.27 dB，波束宽度却只展宽了0.077度，而且SBL只有-41.23 dB。与静止阵列相比，该阵列主方向图只产生了约0.72%的功率损耗，方向性系数也仅下降了0.8。从图5(c)可以看出，此阵列3个动态单元的接通时长分别为0.8T0、0.8T0和0.6T0，依照(6)式，当谐波次数为5时，amn等于零，从而不会产生第5次谐波，该结论也反映在图5(d)所示的曲线中。

图3 填充因子为39%、8单元调制的非对称阵列优化前的结果

图4 填充因子为39%、8单元调制的非对称阵列优化后的结果

图5 填充因子为39%、3单元调制的非对称阵列优化后的结果

表1列出了针对不同稀疏阵列的仿真结果。可以看出，与文献[8]中的结果相比，采用本文算法后，所得阵列的旁瓣电平值最低下降了1.09 dB，最高下降了1.65 dB，而且波束宽度没有明显的展宽，阵列主方向图的方向性系数也没有明显的下降。由此可以看出，本文算法能够行之有效地应用于低副瓣稀疏阵的设计。

3 结束语

本文基于单元非均匀激励的构想来获取低副瓣的稀疏阵列。为了实现该构想，引入时间调制方案，以用部分动态单元的时间加权来获得单元的非均匀激励。在此基础上，提出了采用IFT和DE的联合算法来实现低副瓣稀疏阵列的方法。针对不同稀疏直线阵的仿真结果验证了本文构想和算法的有效性。由于考虑到方向性系数的稳定性，本文算法中只采用了很少量的动态单元，并且对动态单元的接通时长也有严格的规定，从而限制了副瓣进一步降低的空间。可以预计，在对方向性系数要求不高的场合，可以采用更多的动态单元，并放宽接通时长的限制，从而获取更低副瓣的稀疏阵。除此之外可以看出，只要稍加修改，本文算法就可推广到平面阵情况，从而亦可为低副瓣稀疏平面阵的设计提供一定的参考价值。

表1 不同稀疏阵列的仿真结果