关于等差等比数列的组合数列前n项和

罗彪

1 研究背景

高中学生在学习了人教版普通高中数学课程标准实验教科书必修5第二章数列的内容后，初步掌握了等差数列和等比数列前n项和公式S_n，学生已经熟知了倒序相加法、递推公式法、错位相减法等求数列前n项和S_n的方法，基于学生已有的学习经验，大多数学生能单独地进行等差、等比数列的题目解答，但对于由等差数列与等比数列组合成的混合数列（差比数列）的解答尤为困难，缺乏对教材内容的深入理解，联系和发现问题的能力较差，学生在学习过程中，只注重结果而忽视了过程，即只注重公式的记忆，而忽视推导过程.

分析 基于这道题目（1）（2），计算相对容易，大多数学生基本都能把它们拆分成等比数列与等差数列的和差形式，但题目（3）相对较难，多数学生无从下手，其原因是在学习等比数列的前n项和公式中忽视推导过程，只是停留在公式的记忆，缺乏如等比等差数列再创造，构建诸如等差等比数列的新模型.

这里基于高中学生已有的等差等比数列，学习的最近发展区是构建差比积（商）数列，再提出差比型数列，其学习知识的过程是：等差数列等比数列一差比积（商）数列一差比型数列.

5 启发

本文是从两个基本数列的学习出发，沿用等比数列的前n项和公式的推导方法，形成差比数列的求和公式的推导，其意义在于从学生已有的认知出发，培养学生的逻辑推理能力和计算能力，克服学生学习的心理障碍，

第一，通过题目（1）～（3）的习题训练，创设情境，让学生在该题目情境中理解（差比积商数列）数学概念和构建过程，感悟问题的本原和数学表达的意义，

第二，大多数学生会把辛辛苦苦记住的那些数学概念、证明方法以及解题技能逐渐忘掉，因此，在基础教育数学教学过程中，在注重数学概念、技巧和技能的基础之上，更当注重让学生感悟一些东西、积累一些经验让学生终生受益，

第三，注重技巧，更当注重过程，过程应当是学生教师引导学生在独立思考中形成思维的习惯;会在错综复雜的事物中把握本质，进而培养抽象能力;会在杂乱无章的事物中理清思绪，培养推理能力;在事物中发现规律，培养建模能力，

总之，把握本质培养抽象能力，理清关系培养逻辑能力，发现规律培养建模能力，这也是高中数学核心素养所要求的.